2025年大学《数理基础科学》专业题库-线性代数与嵌入式系统的关系

2025年大学《数理基础科学》专业题库——线性代数与嵌入式系统的关系考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设V={(x₁,x₂,...,xₙ)|x₁+x₂+...+xₙ=0,xᵢ∈R}是Rⁿ中的子集。证明V是Rⁿ的一个子空间，并求V的维数及一个基。二、计算矩阵乘积AB，其中A=[(1,2),(3,4),(5,6)],B=[(2,0,-1),(1,1,3)]。三、求解线性方程组：x₁-2x₂+x₃=12x₁+x₂-3x₃=-2-3x₁+x₂+2x₃=0四、设矩阵A=[(1,1,1),(1,0,2),(0,1,-1)]。求A的特征值和对应的特征向量。五、将矩阵A=[(2,1),(1,2)]对角化。即求可逆矩阵P和对角矩阵D，使得A=PDP⁻¹。六、已知3×3矩阵A的逆矩阵为A⁻¹=[(1/2,0,-1/2),(-1/3,1/3,1/3),(1/6,-1/3,1/6)]。求行列式det(A)。七、考虑R²上的线性变换T：T((x₁,x₂))=(x₁+x₂,x₁-x₂)。1.求T在标准基{(1,0),(0,1)}下的矩阵表示。2.求T的核(Kernel)和像(Image)，并说明它们各自的维数。八、解释如何利用线性代数中的主成分分析（PCA）思想对嵌入式系统中的图像数据进行降维，以提高处理速度或降低存储需求。简要说明其基本步骤和涉及的关键数学概念。九、在嵌入式系统设计中，滤波器是常用模块。简述线性滤波器（如FIR滤波器）的设计过程中可能如何应用卷积运算，并说明卷积运算在此场景下的作用。十、在机器人或相机标定问题中，常常需要求解一系列线性方程组来获取未知参数。假设通过实验测量得到4组对应关系，建立了一个4x3的线性方程组Ax=b，其中A的秩为3。讨论该方程组解的存在性和唯一性，并解释其几何意义。试卷答案一、证明V是Rⁿ的子空间：1.零向量0=(0,0,...,0)∈V，因为0₁+0₂+...+0ₙ=0。2.设u=(u₁,u₂,...,uₙ),v=(v₁,v₂,...,vₙ)∈V，则u₁+u₂+...+uₙ=0且v₁+v₂+...+vₙ=0。u+v=(u₁+v₁,u₂+v₂,...,uₙ+vₙ)，且(u₁+v₁)+(u₂+v₂)+...+(uₙ+vₙ)=(u₁+u₂+...+uₙ)+(v₁+v₂+...+vₙ)=0+0=0。故u+v∈V。3.设u=(u₁,u₂,...,uₙ)∈V，k∈R，则ku=(ku₁,ku₂,...,kuₙ)，且k(u₁+u₂+...+uₙ)=k*0=0。故ku∈V。V对加法和数乘封闭，因此V是Rⁿ的子空间。求V的维数及一个基：V中的向量满足x₁+x₂+...+xₙ=0。可以表示为xₙ=-(x₁+x₂+...+xₙ₋₁)。令x₁,x₂,...,xₙ₋₁为自由变量，则V中任意向量可写为：(x₁,x₂,...,xₙ₋₁,-x₁-x₂-...-xₙ₋₁)。取以下n-1个向量：v₁=(1,0,0,...,0,-1)v₂=(0,1,0,...,0,-1)...vₙ₋₁=(0,0,...,1,-1)这些向量显然在V中，且线性无关（若线性组合为0，则所有xᵢ=0，矛盾）。任一v∈V均可由v₁,v₂,...,vₙ₋₁线性表示。故V的维数为n-1，v₁,v₂,...,vₙ₋₁是V的一组基。二、AB=[(1,2),(3,4),(5,6)]*[(2,0,-1),(1,1,3)]=[(1*2+2*1,1*0+2*1,1*(-1)+2*3),(3*2+4*1,3*0+4*1,3*(-1)+4*3),(5*2+6*1,5*0+6*1,5*(-1)+6*3)]=[(4,2,5),(10,4,9),(16,6,11)]三、对增广矩阵进行行变换：[1,-2,1|1][2,1,-3|-2][-3,1,2|0]~[1,-2,1|1][0,5,-5|-4][0,-5,5|3]~[1,-2,1|1][0,5,-5|-4][0,0,0|-1]~[1,-2,1|1][0,1,-1|-4/5][0,0,0|-1]~[1,0,-1|9/5][0,1,-1|-4/5][0,0,0|-1]~[1,0,-1|9/5][0,1,-1|-4/5][0,0,0|1]此形式表明方程组无解，因为最后一行等价于0x₁+0x₂+0x₃=1，这是矛盾的。四、计算特征多项式p(λ)=det(A-λI)：p(λ)=det([(1-λ,1,1),(1,-λ,2),(0,1,-1-λ)])=(1-λ)det([(-λ,2),(1,-1-λ)])-1*det([(1,2),(0,-1-λ)])=(1-λ)[(-λ)(-1-λ)-2*1]-1[(1)(-1-λ)-2*0]=(1-λ)(λ²+λ-2)-(λ+1)=(1-λ)(λ-1)(λ+2)-(λ+1)=(λ-1)²(λ+2)-(λ+1)=(λ²-2λ+1)(λ+2)-(λ+1)=λ³+2λ²-2λ²-4λ+λ+2-λ-1=λ³-3λ+1特征值为λ₁=1(重根),λ₂=-2。求λ₁=1对应的特征向量：(A-I)x=0[(0,1,1),(1,-1,2),(0,1,-2)]*[(x₁),(x₂),(x₃)]=[(x₂+x₃),(x₁-x₂+2x₃),(x₂-2x₃)]=[0,0,0]得x₂+x₃=0,x₁-x₂+2x₃=0,x₂-2x₃=0。由x₂-2x₃=0得x₂=2x₃。代入x₂+x₃=0得2x₃+x₃=0,3x₃=0,x₃=0。则x₂=0,x₁-0+0=0,x₁=0。解为x=t[(1),(0),(0)],t≠0。对应特征向量为(1,0,0)。求λ₂=-2对应的特征向量：(A+2I)x=0[(3,1,1),(1,2,2),(0,1,1)]*[(x₁),(x₂),(x₃)]=[(3x₁+x₂+x₃),(x₁+2x₂+2x₃),(x₂+x₃)]=[0,0,0]得3x₁+x₂+x₃=0,x₁+2x₂+2x₃=0,x₂+x₃=0。由x₂+x₃=0得x₂=-x₃。代入x₁+2(-x₃)+2x₃=0得x₁+0=0,x₁=0。代入3x₁+(-x₃)+x₃=0得0=0(恒成立)。解为x=s[(0),(-1),(1)],s≠0。对应特征向量为(0,-1,1)。特征值λ₁=1对应的特征向量为k₁(1,0,0)(k₁≠0)，特征值λ₂=-2对应的特征向量为k₂(0,-1,1)(k₂≠0)。五、计算特征值：det(A-λI)=det([(2-λ,1),(1,2-λ)])=(2-λ)(2-λ)-1*1=λ²-4λ+3=(λ-1)(λ-3)。特征值为λ₁=1,λ₂=3。求λ₁=1对应的特征向量：(A-I)x=0[(1,1),(1,1)]*[(x₁),(x₂)]=[(x₁+x₂),(x₁+x₂)]=[0,0]得x₁+x₂=0,即x₂=-x₁。解为x=t[(1),(-1)],t≠0。特征向量为v₁=(1,-1)。求λ₂=3对应的特征向量：(A-3I)x=0[(2-3,1),(1,2-3)]*[(x₁),(x₂)]=[(-1,1),(1,-1)]*[(x₁),(x₂)]=[(-x₁+x₂),(x₁-x₂)]=[0,0]得-x₁+x₂=0,即x₂=x₁。解为x=s[(1),(1)],s≠0。特征向量为v₂=(1,1)。构造矩阵P和D：P=[v₁,v₂]=[(1,-1),(1,1)]D=[(λ₁,0),(0,λ₂)]=[(1,0),(0,3)]验证P⁻¹AP=D：P⁻¹=1/[(1)(1)-(-1)(1)]*[(1,-1),(-1,1)]=1/2*[(1,-1),(-1,1)]=[(1/2,-1/2),(-1/2,1/2)]计算P⁻¹AP：[(1/2,-1/2),(-1/2,1/2)]*[(2,1),(1,2)]*[(1,-1),(1,1)]=[(1/2,-1/2),(-1/2,1/2)]*[(3,0),(0,3)]=[(3/2,0),(0,3/2)]=[(1,0),(0,3)]=D。故A=PDP⁻¹。六、det(A)=1/det(A⁻¹)=1/(1/2*1/2*1/2-1/3*(-1/3)*(-1/3)-1/6*(-1/3)*1/2-1/6*1/3*(-1/2))=1/(1/6-1/27+1/36+1/36)=1/(1/6-1/27+2/36)=1/(1/6-1/27+1/18)=1/(1/6-1/27+3/54)=1/(9/54-2/54+3/54)=1/(10/54)=1/(5/27)=27/5。七、1.T((x₁,x₂))=(x₁+x₂,x₁-x₂)。在标准基e₁=(1,0),e₂=(0,1)下：T(e₁)=T((1,0))=(1+0,1-0)=(1,1)。T(e₂)=T((0,1))=(0+1,0-1)=(1,-1)。T在标准基下的矩阵表示为A=[(1,1),(1,-1)]。2.核(Kernel)T⁻¹({0})={x∈R²|T(x)=0}。即(x₁+x₂,x₁-x₂)=(0,0)。得x₁+x₂=0,x₁-x₂=0。解为x₁=0,x₂=0。核中只有零向量，dim(Ker(T))=0。像是T(R²)={T(x)|x∈R²}={(x₁+x₂,x₁-x₂)|x₁,x₂∈R}。令y₁=x₁+x₂,y₂=x₁-x₂。解出x₁=(y₁+y₂)/2,x₂=(y₁-y₂)/2。由于y₁,y₂是任意实数，x₁,x₂也是任意实数。故T(R²)=R²。dim(Im(T))=2。八、线性代数中的主成分分析（PCA）可用于图像数据降维。其基本思想是：图像数据（如像素矩阵）通常包含冗余信息。PCA通过正交变换将原始数据投影到一组新的正交基上，这组新基的分量（主成分）按照它们对数据方差的贡献度排序。通常，前几个主成分包含了数据中的大部分信息。因此，只保留前几个最重要的主成分，即对数据投影到低维子空间，可以实现数据降维。降维后的数据保留了原始数据的主要特征，可用于后续处理（如加快传输、减少存储空间、提高分类/识别算法效率等）。涉及的关键数学概念包括：数据协方差矩阵、特征值分解、特征向量、方差贡献率。九、线性滤波器（如FIR滤波器）的设计和应用中广泛使用卷积运算。FIR滤波器的输出y[n]是其输入x[n]与一个固定的有限长度的冲激响应h[n]进行卷积的结果：y[n]=Σx[k]h[n-k]=Σx[n-k]h[k](交换卷积顺序)。冲激响应h[n]是滤波器特性的数学表示，它决定了滤波器对输入信号的不同频率成分的处理方式（如低通、高通、带通等）。卷积运算在此场景下的作用是：将输入信号x[n]通过滤波器的“线性时不变”特性进行处理，生成输出信号y[n]。具体来说，卷积计算了输入信号在各个时刻的加权叠加，权重由冲激响应h[n]在对应时刻的值决定。通过设计合适的h[n]，可以使特定频率范围的信号分量得到放大（通过零相位滤波器），而其他频率分量的信号分量得到抑制或衰减，从而达到信号处理的目的（如去除噪声、平滑图像、提取特征等）。十、在机器人或相机标定问题中，通常需要根据多组已知世界坐标点Pᵢ和对应图像坐标点pᵢ的测量数据，来估计相机的外参（世界坐标系到相机坐标系的旋转矩阵R和平移向量t）和内参（相机光学参数，如焦距f和主点(c₁,c₂)）。这往往