2025年大学《数理基础科学》专业题库- 线性规划在运输问题中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——线性规划在运输问题中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题3分，共30分。请将正确选项的字母填在括号内）1.运输问题的数学模型属于（）。A.整数规划B.非线性规划C.线性规划D.动态规划2.在产销平衡的运输问题中，若某个供应点到某个需求点的单位运价为零，这意味着（）。A.该运输方式不可行B.从该供应点运输到该需求点没有成本C.该供应点的产量必须为零D.该需求点的销量必须为零3.表上作业法求初始解的西北角法，其核心思想是（）。A.优先满足行或列的需求/供应B.使运输总成本最小C.确保每个分配量非负且满足平衡条件D.随机选择一个单元格开始分配4.在运输问题的表上作业法中，若在确定某个基变量后，该变量所在的行和列的其他单元格均为非基变量，则称该基变量（）。A.产生退化B.处于非最优状态C.处于最优状态D.无关紧要5.检验运输问题中某个非基变量（空格）能否进入基变量，需要计算该变量的（）。A.运量B.供应量C.需求量D.检验数6.运输问题的检验数（对偶价格）的经济含义是（）。A.对应单位产品的利润B.增加一个单位供应量对总成本的影响C.减少一个单位需求量对总成本的影响D.对应基变量的值7.若运输问题的最优解中，某个供应点的产量未被完全分配出去（即存在剩余），则对应的对偶价格（影子价格）一定为（）。A.0B.正数C.负数D.无法确定8.对于产销不平衡的运输问题，通常的处理方法是（）。A.增加一个虚设的行或列B.减少一个虚设的行或列C.修改单位运价表D.修改目标函数9.在运输问题的表上作业法中，使用闭回路法调整运输方案时，调整量应为闭回路上（）。A.最小元素的值B.最大元素的值C.所有偶数步元素的和D.所有奇数步元素的和10.若运输问题的初始解通过Vogel近似法得到，则其初始解的（）通常优于西北角法。A.精度B.计算速度C.美观性D.复杂性二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在横线上）1.标准的运输问题线性规划模型中，决策变量表示从每个供应点到每个需求点的______。2.表上作业法中，闭回路的每一条边要么连接一个已分配格和一个空格，要么连接两个已分配格，且闭回路上奇数步的______之和等于该空格的检验数。3.运输问题的对偶变量通常表示对应供应点产量或需求点销量的______价值。4.当运输问题的检验数向量中存在负数时，说明当前解______。5.若运输问题的单位运价矩阵中，所有元素均大于零，且不存在两个相邻元素（行列相邻）同时为零，则该问题具有______性质。三、计算题（共5小题，共50分）1.（10分）某公司有A、B两个工厂生产同一种产品，产品需运往C、D两个仓库销售。工厂A每天生产量为400件，工厂B每天生产量为600件。仓库C每天需求量为500件，仓库D每天需求量为500件。从每个工厂到每个仓库的单位运价（元/件）如下：工厂\仓库CDA311B19请建立该问题的标准线性规划模型。2.（10分）已知一个产销平衡的运输问题，通过表上作业法得到初始解和部分最优解的检验数如下表（单位：元/件）：仓库\产地C1C2S1S2D1021-1D210-3请问：（1）当前解是否为最优解？（2）若非最优，应选择哪个空格进入基变量以改进解？（3）简要说明如何使用闭回路法确定调整量。3.（10分）求解以下运输问题的最优方案（用表上作业法步骤写出关键表格，无需完整画出所有表格，但要体现核心步骤）。产地\销地C1C2供应量A317B129销量46（要求：用Vogel近似法求初始解，并进行最优性检验）4.（10分）某运输问题的最优解为：x11=3,x12=4,x21=6,x22=5。对应的单位运价表如下：产地\销地C1C2A28B46已知该问题的对偶解（影子价格）y1=3,y2=1。请计算产地B对销地C的单位运价，并解释其对偶价格的经济意义。5.（10分）假设在上题的运输问题中，若产地A的供应量增加1单位，而对偶解y1=3保持不变，试解释这说明了什么？（结合对偶理论进行分析）---试卷答案一、选择题1.C2.B3.A4.A5.D6.B7.A8.A9.A10.A二、填空题1.运输量2.运量3.边际4.不是最优解（或不是最优）5.单纯形三、计算题1.模型建立：决策变量：xij表示从工厂i运往仓库j的产品数量（i=A,B;j=C,D）。目标函数：minZ=3xAC+11xAD+1xBC+9xBD约束条件：对于工厂：xAC+xAD=400(A的产量)xBC+xBD=600(B的产量)对于仓库：xC+xC=500(C的需求)xD+xD=500(D的需求)非负性：xij≥0(i=A,B;j=C,D)2.检验与调整：（1）检验数向量包含负数（如D1列的-1），故当前解不是最优解。（2）应选择检验数最小的空格进入基变量。比较C1列（2）、S1列（1）、S2列（-1），最小者为S2列的-1，故选择空格(C,S2)进入基变量。（3）使用闭回路法确定调整量：从空格(C,S2)出发，沿水平或垂直方向移动到有数字的格，然后转90度移动，直到回到空格，形成闭回路。闭回路顶点（格）的运量分别为0（起点空格）、xS1C（同行格）、xS1D（同列格）、0（终点空格）。调整量α=min{0,xS1C,xS1D}。调整后，沿闭回路偶数步（包括起点空格）增加α，奇数步减少α，非闭回路格不变。3.求解步骤：（1）用Vogel近似法求初始解：计算每行（产地）的最小运价与次小运价的差值：A(1-3)=2,B(2-1)=1。选择差值最大的行A，选择该行中最小运价1对应的列C，分配min(7,4)=4(xAC=4)。更新供应量A=7-4=3，销量C=4-4=0。删除已满足销量的列C。更新后的运价表：产地\销地C2S1供应量A113B229计算剩余行（A,B）的最小运价与次小运价的差值：A(1-1)=0,B(2-2)=0。选择差值非零的行A，选择该行中最小运价1对应的列S1，分配min(3,6)=3(xAS1=3)。更新供应量A=3-3=0，销量S1=6-3=3。删除已满足供应量的行A。更新后的运价表：产地\销地S1S2供应量B229分配xBS1=min(9,3)=3(xBS1=3)。更新供应量B=9-3=6，销量S1=3-3=0。删除已满足供应量的行B。分配xBS2=min(6,6)=6(xBS2=6)。供应量B=6-6=0，销量S2=6-6=0。所有供应量和销量均满足。初始解：xAC=4,xAS1=3,xBS1=3,xBS2=6。（2）最优性检验（用闭回路法）：计算空格的检验数：θ(C1)=cC1-(cAC+cS1)=1-(3+1)=-3；θ(S2)=cS2-(cAS1+cBS1)=2-(1+2)=-1；θ(D1)=cD1-(cAC+cAD)=3-(3+?)=3-?(AD格未分配)；θ(D2)=cD2-(cBC+cBD)=2-(1+2)=-1。（注：此处AD格未分配，其运价为11，检验数θ(D1)=3-(3+11)=-9。）检验数向量：(-3,-1,0,-9,-1)。存在负检验数，故当前解不是最优解。4.对偶价格与运价计算：（1）计算产地B对销地C的单位运价（即检验数θ(BC)）：θ(BC)=cC-(cB1+cB2)=1-(4+6)=1-10=-9。或根据对偶互补松弛性：BC格为非基变量（空格），其检验数等于对应对偶变量yC与该格运价的差。运价cBC=1，对偶变量yC=0（因为BC格的运量xBC=0），所以检验数θ(BC)=yC-cBC=0-1=-1。此处计算结果-9与-1矛盾，通常说明题目给定的最优解或对偶解不匹配，或者运价表理解有误。若按θ(BC)=yB-cBC=6-1=5。若按θ(BC)=yC-cBC=0-1=-1。标准运输问题对偶变量yC对应销地C，其值为0（因为C的销量xC=0）。更正：yC=0，θ(BC)=0-1=-1。因此，产地B对销地C的单位运价为1。（2）经济意义：对偶价格yB=6表示，若产地B的供应能力（产量）增加1单位，在不改变其他条件的情况下，运输总成本最多可以减少6元。或者说，产地B的产能对总成本的边际影响是-6元（即增加产能有利可图）。5.对偶理论分析：根据对偶理论，对偶问题中，对应于原问题中松变量的对偶变量（即剩余量）在对偶最优解中取值为0。在本题运输问题中，若将供应量增加1单位视为一个新增的约束（即新增一个松变量sA，sA≥0），其对偶变量为yA。原问题最优解下，所有供应量的剩余量均为0（即xA=xA=xA=0），这意味着yA的值等于原问题中对应供应