2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 在医学中用傅立叶分析技术检测疾病

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——在医学中用傅立叶分析技术检测疾病考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题1.函数f(x)=x在区间[-π,π]上展开的傅立叶级数中，其正弦系数bₙ的表达式为_______。2.若F(ω)是函数f(t)的傅立叶变换，则f(-t)的傅立叶变换为_______。3.傅立叶变换的时移特性表明，若f(t)的傅立叶变换为F(ω)，则f(t-t₀)的傅立叶变换为_______。4.傅立叶变换的频移特性表明，若f(t)的傅立叶变换为F(ω)，则f(t)*e^(iω₀t)的傅立叶变换为_______。5.周期信号f(t)的傅立叶级数展开式中，系数aₙ与信号f(t)在一个周期内的平均功率P相关，关系式为_______。6.在医学信号处理中，傅立叶变换常用于将信号从_______域转换到_______域，以便分析其频率成分。7.心电图（ECG）信号中，主要频率成分通常位于_______Hz范围内，反映了正常心脏的电活动频率。8.傅立叶变换的卷积定理表明，函数f(t)与g(t)的卷积在频域中等于它们的傅立叶变换F(ω)与G(ω)的_______。9.若一个医学信号在时域上是周期性的，则其傅立叶变换在频域中表现为_______。10.若一个医学信号在时域上是非周期性的，则其傅立叶变换在频域中表现为_______。二、选择题1.下列哪个函数在区间[-π,π]上不能展开成傅立叶级数？（）A.f(t)=tB.f(t)=sin(t)C.f(t)=cos²(t)D.f(t)=e^t2.若F(ω)=∫[-∞,∞]f(t)*e^(-iωt)dt，则f(t)的傅立叶逆变换表达式为？（）A.(1/2π)∫[-∞,∞]F(ω)*e^(iωt)dωB.(1/2π)∫[0,∞]F(ω)*e^(iωt)dωC.∫[-∞,∞]F(ω)*e^(iωt)dωD.∫[0,∞]F(ω)*e^(iωt)dω3.函数f(t)=cos(ω₀t)的傅立叶变换是？（）A.2πδ(ω-ω₀)B.2πδ(ω+ω₀)C.π[δ(ω-ω₀)+δ(ω+ω₀)]D.π[δ(ω-ω₀)-δ(ω+ω₀)]4.哪个性质表明傅立叶变换具有对称性？（）A.线性性B.时移特性C.频移特性D.对称性定理（f(t)的傅立叶变换是f(-t)的傅立叶变换的复共轭）5.在医学超声成像中，不同组织对超声波的吸收和反射不同，这导致回波信号在时域上的差异。傅立叶分析可以用来？（）A.直接测量组织内部的血流速度B.分析回波信号中不同频率成分的强度，以区分不同组织C.计算组织内部的温度分布D.模拟超声波在介质中的传播路径6.对于一个实偶函数f(t)，其傅立叶变换F(ω)具有什么性质？（）A.只包含正弦分量B.只包含余弦分量（包括直流分量）C.是实函数且为偶函数D.是复函数且为奇函数7.在分析脑电图（EEG）信号时，检测到某个特定的高频段（如β波，13-30Hz）活动增强，可能指示？（）A.睡眠状态B.极度放松状态C.警觉或思考状态D.心脏跳动8.傅立叶级数适用于分析哪种类型的信号？（）A.非周期信号B.周期信号C.离散时间信号D.数字信号9.在使用傅立叶变换分析短时信号（如语音的某个音节）时，可能会遇到什么问题？（）A.无法得到任何频率信息B.频谱图中所有频率成分都混叠在一起，难以区分C.只能得到信号起始时刻的频率信息D.变换结果总是一个常数10.医学上利用傅立叶变换分析心音图（ECG的一种变体，记录心脏声音）的目的是？（）A.测量心脏的大小B.计算心脏的泵血量C.检测心脏瓣膜狭窄或关闭不全等引起的异常声音频率D.确定心脏的电活动位置三、计算题1.求周期为T=2π的函数f(t)=|t|在区间[-π,π]上的傅立叶级数展开式（只需写出系数表达式）。2.求函数f(t)=e^(-|t|)的傅立叶变换F(ω)。3.已知函数f(t)的傅立叶变换为F(ω)=(1/(1+ω²))，求函数g(t)=t*f(t)的傅立叶变换G(ω)。4.一个周期性医学信号f(t)可以表示为f(t)=2cos(10πt)+sin(20πt)-cos(30πt+π/4)。求该信号在一个周期内[0,1/5]的平均功率P。四、应用题1.简述利用傅立叶变换分析医学图像（如超声或MRI图像）的原理。在频域中，图像的哪些特征（如边缘、纹理）可能对应哪些频率范围？为什么增强或抑制特定频率范围的信号可能有助于改善图像质量？2.假设获得了一个简化的医学信号，其时域波形表现出明显的周期性波动，频率约为1Hz。对该信号进行傅立叶变换，得到频谱图显示在0Hz附近有一个峰值，且在±1Hz附近有对称的小幅值。请解释这个频谱结果的可能医学含义。如果信号中除了基波1Hz外，还检测到明显的3Hz成分，这可能暗示什么？3.解释为什么傅立叶变换是数字信号处理（如计算机辅助诊断系统）中分析医学信号频率成分的常用工具。提及至少两个傅立叶变换（或其快速算法FFT）在医学信号分析中的具体优势。试卷答案一、填空题1.(π/2)*sin(nω)2.F(-ω)3.F(ω-ω₀)4.F(ω-ω₀)5.aₙ²/(2π)=∫[-π,π]|f(t)|²dt6.时域；频域7.0.05-0.48.乘积9.一系列离散的冲激（δ函数）10.连续的频谱函数二、选择题1.A2.A3.C4.D5.B6.B7.C8.B9.B10.C三、计算题1.解析思路：利用绝对值函数的奇偶性和傅立叶级数的对称性。f(t)是奇函数，其傅立叶级数只含正弦项。bₙ=(2/π)∫[0,π]|t|sin(nω₀t)dt。利用积分技巧或对称性简化计算。答案：bₙ=(2/π)*(2/(n²-1))*sin(nπ/2)，n为奇数；bₙ=0，n为偶数。（注：具体系数表达式可能因计算过程细节略有差异，但形式应一致）2.解析思路：利用傅立叶变换的定义式F(ω)=∫[-∞,∞]f(t)*e^(-iωt)dt。将f(t)=e^(-|t|)分为t≥0和t<0两部分计算，然后利用对称性或傅立叶变换表。结果应为F(ω)=(2/(1+ω²))。3.解析思路：利用傅立叶变换的频域微分性质。若F(ω)是f(t)的傅立叶变换，则(t*f(t))的傅立叶变换为(i*d/dω)*F(ω)。因此，G(ω)=i*d/dω[1/(1+ω²)]=i*(-2ω/(1+ω²))=-2iω/(1+ω²)。4.解析思路：利用傅立叶级数系数与平均功率的关系。信号f(t)=A₁cos(Ω₁t)+A₂sin(Ω₂t)+A₃cos(Ω₃t+φ₃)。其傅立叶系数a₀=A₁/2，a₁=A₂/2，b₁=0，a₂=0，b₂=0，a₃=A₃cos(φ₃)/2，b₃=-A₃sin(φ₃)/2。平均功率P=a₀²/2+(a₁²+b₁²)/2+...+(a₃²+b₃²)/2。代入给定系数计算。P=(2²/8)+(1²/8)+((√2/2)²/2)=1/4+1/8+1/4=1/2。四、应用题1.解析思路：解释傅立叶变换如何将图像的空间域信息转换为频率域信息。强调频率与空间变化率（梯度）的关系。高频对应图像的边缘、细节；低频对应图像的整体结构和缓慢变化。滤波（增强或抑制特定频率）可以突出或抑制图像的某些特征，如锐化边缘或去除噪声。2.解析思路：解释0Hz峰值代表直流分量（可能表示基线偏移或信号平均水平）。±1Hz峰值对应信号的主要频率成分，解释为某个生理过程的频率（如心电图的QRS波群频率或呼吸频率）。检测到3Hz成分，可能解释为基波频率的谐