2025-2026学年河北省衡水十三中高二上数学期末达标检测试题含解析

2025-2026学年河北省衡水十三中高二上数学期末达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率之积为1，则椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.2．某研究所为了研究近几年中国留学生回国人数的情况，对2014至2018年留学生回国人数进行了统计，数据如下表：年份20142015201620172018年份代码12345留学生回国人数/万36.540.943.348.151.9根据上述统计数据求得留学生回国人数（单位：万）与年份代码满足的线性回归方程为，利用回归方程预测年留学生回国人数为（）A.63.14万 B.64.72万C.66.81万 D.66.94万3．已知函数，则（）A.0 B.1C.2 D.4．数列，，，，…的一个通项公式为（）A. B.C. D.5．等比数列中，，，则（）A. B.C. D.6．已知等比数列中，，则由此数列的奇数项所组成的新数列的前项和为（）A. B.C. D.7．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为（）.A. B.C. D.8．实数m变化时，方程表示的曲线不可以是（）A.直线 B.圆C椭圆 D.双曲线9．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（）A.， B.C.， D.10．已知等差数列的前n项和为，，，若（），则n的值为（）A.15 B.14C.13 D.1211．设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件12．在数列中，若，，则（）A.16 B.32C.64 D.128二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知焦点为F的抛物线的方程为，点Q的坐标为，点P在抛物线上，则点P到y轴的距离与到点Q的距离的和的最小值为______.14．某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为__________15．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列进行构造，第次得到数列；第次得到数列；依次构造，第次得到数列；记，则(1)___________，(2)___________16．随机变量X的取值为0，1，2，若，，则_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知圆台下底面圆的直径为，是圆上异于、的点，是圆台上底面圆上的点，且平面平面，，，、分别是、的中点.（1）证明：平面；（2）若直线上平面且过点，试问直线上是否存在点，使直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等？若存在，求出点的所有可能位置；若不存在，请说明理由.18．（12分）阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个条件：①，②，③中选择一个作为条件，补充在题中横线处，使问题完善，并解答你构造的问题.（如果选择多个关系并分别解答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）.问题：已知命题，，命题___________，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.19．（12分）如图，P为圆上一动点，点A坐标为，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q（1）求点Q的轨迹E的方程；（2）过点A的直线l交E于C，D两点，若△BCD内切圆的半径为，求直线l的方程.20．（12分）从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，（1）求，，，（2）你认为应该选哪名学生参加比赛？为什么？21．（12分）已知椭圆左右焦点分别为，，离心率为，P是椭圆上一点，且面积的最大值为1.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于M，N两点，求的取值范围.22．（10分）设：实数满足，：实数满足（1）当时，若与均为真命题，求实数的取值范围；（2）当时，若是的必要条件，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】计算双曲线的焦点为，离心率，得到椭圆的焦点为，离心率，计算得到答案.【详解】双曲线的焦点为，离心率，故椭圆的焦点为，离心率，即.解得，故椭圆标准方程为：.故选：.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，焦点，椭圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.2、D【解析】先求出样本点的中心，代入线性回归方程即可求出，再将代入线性回归方程即可得到结果【详解】由题意知：，，所以样本点的中心为，所以，解得：，可得线性回归方程为，年对应的年份代码为，令，则，所以预测2022年留学生回国人数为66.94万，故选：D.3、C【解析】对函数f(x)求导即可求得结果.【详解】函数,则，，故选C【点睛】本题考查正弦函数的导数的应用，属于简单题.4、B【解析】根据给定数列，结合选项提供通项公式，将n代入验证法判断是否为通项公式.【详解】A：时，排除；B：数列，，，，…满足.C：时，排除；D：时，排除；故选：B5、D【解析】设公比为，依题意得到方程，即可求出，再根据等比数列通项公式计算可得；【详解】解：设公比为，因为，，所以，即，解得，所以；故选：D6、B【解析】确实新数列是等比数列及公比、首项后，由等比数列前项和公式计算，【详解】由题意，新数列为，所以，，前项和为故选：B.7、A【解析】设双曲线的左焦点为，连接、，求得、，利用双曲线的定义可得出关于、的等式，即可求得双曲线的离心率.【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，如下图所示：由题意可知，点为的中点，也为的中点，且，则四边形为矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性质可得，故为等边三角形，故，所以，，由双曲线的定义可得，所以，.故选：A.8、B【解析】根据的取值分类讨论说明【详解】时方程化为，为直线，时，方程化为，为椭圆，时，方程化为，为双曲线，而，因此曲线不可能是圆故选：B9、D【解析】由等差数列通项公式得，再结合题意得数列单调递增，且满足，，即，再解不等式即可得答案.【详解】解：根据题意：数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，由于数列满足，所以对任意的都成立，故数列单调递增，且满足，，所以，解得故选：10、B【解析】由已知条件列方程组求出，再由列方程求n的值【详解】设等差数列的公差为，则由，，得，解得，因为，所以，即，解得或（舍去），故选：B11、A【解析】由三角函数的单调性直接判断是否能推出，反过来判断时，是否能推出.【详解】当时，利用正弦函数的单调性知；当时，或.综上可知“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查判断充分必要条件，三角函数性质，意在考查基本判断方法，属于基础题型.12、C【解析】根据题意，为等比数列，用基本量求解即可.【详解】因为，故是首项为2，公比为2的等比数列，故.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】利用定义将所求距离之和的最小值问题，转化为的最小值问题.【详解】焦点F坐标为，抛物线准线为,如图，作垂直于准线于A，交y轴于B，.故答案为：14、200【解析】先根据分层抽样的方法计算出该单位青年职工应抽取的人数，进而算出青年职工的总人数.【详解】由题意，从中抽取100名员工作为样本，需要从该单位青年职工中抽取（人）.因为每人被抽中的概率是0.2，所以青年职工共有（人）.故答案：200.15、①.②.【解析】根据题意得到，再利用叠加法求解即可.【详解】由题知：，，，所以，，，……，，所以，，……，，即，所以.故答案为：；16、##0.4【解析】设出概率，利用期望求出相应的概率，进而利用求方差公式进行求解.【详解】设，则，从而，解得：，所以故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）存在，点与点重合.【解析】（1）证明出，利用面面垂直的性质可证得结论成立；（2）以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，易知轴在平面内，分析可知，设点，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可得出关于的方程，解出的值，即可得出结论.【小问1详解】证明：因为为圆的一条直径，且是圆上异于、的点，故，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面.【小问2详解】解：存在，理由如下：如图，以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，易知轴在平面内，则，，，，，，由直线平面且过点，以及平面，得，设，则，，，设平面的法向量为，则则，即，取，得，易知平面的法向量，设直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，则，，由，得，即，解得，所以当点与点重合时，直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等.18、【解析】分别在、和的情况下得命题对应的集合；选条件后可求得命题对应的集合；根据充分不必要条件的定义可知，分别在、和的情况下得到结果.【详解】由得：，当时，不等式解集；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；是的充分不必要条件，命题对应集合是命题对应集合的真子集，即；若选条件①：由得：，；若选条件②：由得：，解得：，；若选条件③：由得：，解得：，；当时，，符合题意；当时，由知：，；当时，由知：，；综上所述：，即实数的取值范围为.19、（1）（2）【解析】（1）连接，由，利用椭圆的定义求解；（2）设点，，直线的方程为，与椭圆联立，结合韦达定理，利用等面积法求解.【小问1详解】解：连接，由题意知：，，即的轨迹为椭圆，其中，，，所以椭圆的标准方程为；【小问2详解】设点，，直线的方程为，与椭圆联立，消去整理得，显然成立，故，，由椭圆定义得的周长为，则的面积，又由，得，从而得，即，整理得，解得，故，故直线的方程为.20、（1）；；；；（2）选乙参加比赛，理由见解析.【解析】（1）利用平均数和方程公式求解；（2）利用（1）的结果作出判断.【详解】（1）由数据得：；；（2）由（1）可知，甲乙两人平均成绩一样，乙的方差小于甲的方差，说明乙的成绩更稳定；应该选乙参加比赛.21、（1）（2）【解析】（1）依题意得到方程组，求出、、，即可求出椭圆方程；（2）首先求出过且与轴垂直时、的坐标，即可得到，当过的直线不与轴垂直时，可设，，直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据平面向量数量积的坐标表示得到，将韦达定理代入得到，再根据函数的性质求出取值范围；【小问1详解】解：由题意可列方程组，解得