2025年安徽省芜湖市名校数学高二第一学期期末监测模拟试题含解析

2025年安徽省芜湖市名校数学高二第一学期期末监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是周期为2的奇函数，当时，，则（）A. B.C. D.2．下列关系中，正确的是（）A. B.C. D.3．年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收量可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为.已知氧有、、三种天然同位素，碳有、、三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有（）A.种 B.种C.种 D.种4．甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为（）A. B.C. D.5．已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（）A.（0，0） B.（2，2）C. D.6．抛物线的焦点到直线的距离（）A. B.C.1 D.27．若直线l与椭圆交于点A、B,线段的中点为,则直线l的方程为()A. B.C. D.8．已知向量与向量垂直，则实数x的值为（）A.﹣1 B.1C.﹣6 D.69．已知直线，若异面，，则的位置关系是（）A.异面 B.相交C.平行或异面 D.相交或异面10．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆的蒙日圆的半径为（）A.3 B.4C.5 D.611．下列说法正确的是（）A.空间中的任意三点可以确定一个平面B.四边相等的四边形一定是菱形C.两条相交直线可以确定一个平面D.正四棱柱的侧面都是正方形12．在空间直角坐标系中，若，，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数在处切线的斜率为_____14．已知双曲线，（，）的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则直线的斜率是___________，双曲线的渐近线方程为___________.15．已知的展开式中项的系数是，则正整数______________.16．关于曲线C：1，有如下结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线x±y＝0对称；③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2＝2无公共点；⑤曲线C与曲线D：|x|+|y|＝2有4个公共点，这4点构成正方形其中正确结论的个数是_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为2（1）求实数p的值；（2）若直线l过C的焦点，与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程18．（12分）已知圆的圆心为，且经过点.（1）求圆的标准方程；（2）已知直线与圆相交于、两点，求.19．（12分）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内（圆形区域的边界上无暗礁），已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处.（1）若，轮船直线返港，没有触礁危险，求的取值范围?（2）若轮船直线返港，且必须经过小岛中心东北方向处补水，求的最小值.20．（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的值域.21．（12分）如图，四棱锥中，，，，平面.（1）在线段上是否存在一点使得平面？若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由；（2）求四棱锥的体积.22．（10分）已知四边形是空间直角坐标系中的一个平行四边形，且，，（1）求点的坐标；（2）求平行四边形的面积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由周期函数得，再由奇函数的性质通过得结论【详解】∵函数是周期为2的周期函数，∴，而，又函数为奇函数，∴．故选A【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性，属于基础题．此类题型，求函数值时，一般先用周期性化自变量到已知区间关于原点对称的区间，然后再由奇函数性质求得函数值2、B【解析】根据对数函数的性质判断A，根据指数函数的性质判断B，根据正弦函数的性质及诱导公式判断C，根据余弦函数的性质及诱导公式判断D；【详解】解：对于A：因为，，，故A错误；对于B：因为在定义域上单调递减，因为，所以，又，，因为在上单调递增，所以，所以，所以，故B正确；对于C：因为在上单调递减，因为，所以，又，所以，故C错误；对于D：因为在上单调递减，又，所以，又，所以，故D错误；故选：B3、C【解析】分两种情况讨论：两个氧原子相同、两个氧原子不同，分别计算出两种情况下二氧化碳分子的个数，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：若两个氧原子相同，此时二氧化碳分子共有种；若两个氧原子不同，此时二氧化碳分子共有种.由分类加法计数原理可知，由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有种.故选：C.4、D【解析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解.【详解】甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为.故选：D5、B【解析】设点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，即可根据点到直线的距离最短求出【详解】如图所示：设点P到准线的距离为，准线方程为，所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为故选：B6、B【解析】由抛物线可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由抛物线可得焦点坐标为，根据点到直线的距离公式，可得，即抛物线的焦点到直线的距离为.故选：B.7、A【解析】用点差法即可获解【详解】设.则两式相减得即因为,线段AB的中点为,所以所以所以直线的方程为,即故选:A8、B【解析】根据数量积的坐标计算公式代入可得的值【详解】解：向量，与向量垂直，则，由数量积的坐标公式可得：，解得，故选：【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题9、D【解析】以正方体为载体说明即可.【详解】如下图所示的正方体：和是异面直线，，；和是异面直线，，与是异面直线.所以两直线与是异面直线，，则的位置关系是相交或异面.故选：D10、A【解析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆的两条切线的交点在圆上，所以，故选：A11、C【解析】根据立体几何相关知识对各选项进行判断即可.【详解】对于A，根据公理2及推论可知，不共线的三点确定一个平面，故A错误；对于B，在一个平面内，四边相等的四边形才一定是菱形，故B错误；对于C，根据公理2及推论可知，两条相交直线可以确定一个平面，故C正确；对于D，正四棱柱指上、下底面都是正方形且侧棱垂直于底面的棱柱，侧面可以是矩形，故D错误.故选：C12、B【解析】直接利用空间向量的坐标运算求解.【详解】解：因为，，所以.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】求得函数的导数，计算得，即可得到切线的斜率【详解】由题意，函数，则，所以，即切线的斜率为1，故答案为：114、①.②.【解析】由题意，不妨设直线与圆相切于点，由可得，代入双曲线方程，可得，因此，即得解【详解】如图所示，不妨设直线与圆相切于点，，由于代入进入，可得，渐近线方程为故答案为：，15、4【解析】由已知二项式可得展开式通项为，根据已知条件有，即可求出值.详解】由题设，，∴，则且为正整数，解得.故答案为：4.16、4【解析】直接利用曲线的性质，对称性的应用可判断①②；求出可判断③；联立方程，解方程组可判断④⑤的结论【详解】对于①，将方程中的x换为﹣x，y换为﹣y，方程不变，曲线C关于原点对称，故①正确；对于②，将方程中的x换为﹣y，把y换成﹣x，方程不变，曲线C关于直线x±y＝0对称，故②正确；对于③，由方程得，故曲线C不是封闭图形，故③错误；对于④，曲线C：，不是封闭图形，联立整理可得：，方程无解，故④正确；对于⑤，曲线C与曲线D：由于，解得，根据对称性，可得公共点为，故曲线C与曲线D有四个交点，这4点构成正方形，故⑤正确故答案为：4三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2（2）或【解析】（1）根据抛物线上的点到焦点与准线的距离相等可得到结果（2）通过联立抛物线与直线方程利用韦达定理求解关系式即可得到结果【小问1详解】抛物线焦点为，准线方程为，因为点到焦点F距离为2，所以，解得【小问2详解】抛物线C的焦点坐标为，当斜率不存在时，可得不满足题意，当斜率存在时，设直线l的方程为联立方程，得，显然，设，，则，所以，解得所以直线l的方程为或18、（1）；（2）.【解析】（1）求出圆的半径长，结合圆心坐标可得出圆的标准方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得.小问1详解】解：圆的半径为，因此，圆的标准方程为.【小问2详解】解：圆心到直线的距离为，因此，.19、（1）（2）120【解析】（1）建立平面直角坐标系设直线方程，根据点到直线的距离公式可得；（2）先求补水点的坐标，根据直线过该点，结合所求，根据基本不等式可得.【小问1详解】根据题意，以小岛中心为原点，建立平面直角坐标系，当时，则轮船返港的直线为，因为没有触礁危险，所以原点到的距离，解得.【小问2详解】根据题意可得，，点C在直线上，故点C，设轮船返港的直线是，则，所以.当且仅当时取到最小值.20、（1）单调递增区间（−∞，−1）和（4，＋∞），单调递减区间（−1，4）（2）【解析】（1）求出，令，由导数的正负即可得到函数f（x）的单调递增区间和递减区间；（2）求出函数在区间中的单调性，求出极大值和极小值以及区间端点的函数值，比较大小即可得到答案【小问1详解】由函数得，令，解得x＜−1或x＞4，；令，解得−1＜x＜4，故函数f（x）的单调递增区间为（−∞，−1）和（4，＋∞），单调递减区间为（−1，4）；【小问2详解】由（1）可知，当x∈[−3，−1）时，，f（x）单调递增，当x∈（−1，4）时，，f（x）单调递减，当x∈（4，6]时，，f（x）单调递增，所以当x＝−1时，函数f（x）取得极大值f（−1）＝，当x＝4时，函数f（x）取得极小值f（4）＝，又，所以当x∈[−3，6]时，函数f（x）的值域为21、（1）存在，为的中点，证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点，的中点，连接，，，证明，由线面平行的判定定理即可求证；（2）先证明平面面，过点作于点，即可证明面，在中，利用面积公式求出即为四棱锥的高，再由棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）线段上存在点使得平面，为的中点.证明如下：如图取的中点，的中点，连接，，，因为