2026届吉林省榆树市一中数学高二第一学期期末检测试题含解析

2026届吉林省榆树市一中数学高二第一学期期末检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（）A. B.C. D.2．矿山爆破时，在爆破点处炸开的矿石的运动轨迹可看作是不同的抛物线，根据地质、炸药等因素可以算出这些抛物线的范围，这个范围的边界可以看作一条抛物线，叫“安全抛物线”，如图所示．已知某次矿山爆破时的安全抛物线的焦点为，则这次爆破时，矿石落点的最远处到点的距离为（）A. B.2C. D.3．过点且与直线垂直的直线方程是（）A. B.C. D.4．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是A.B.平面平面C.的最大值为D.的最小值为5．已知点是双曲线的左焦点，定点，是双曲线右支上动点，则的最小值为（）.A.7 B.8C.9 D.106．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A、B是的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边OM相切于点C时，最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点P、Q的坐标分别是（2，0），（4，0），R是y轴正半轴上的一动点，当最大时，点R的纵坐标为（）A.1 B.C. D.27．已知椭圆经过点，当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，其标准方程为（）A. B.C. D.8．甲组数据为：5，12，16，21，25，37，乙组数据为：1，6，14，18，38，39，则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是（）A.极差 B.平均数C.中位数 D.都不相同9．已知椭圆的两个焦点分别为，且平行于轴的直线与椭圆交于两点，那么的值为（）A. B.C. D.10．如果，，…，是抛物线C：上的点，它们的横坐标依次为，，…，，点F是抛物线C的焦点.若=10，=10+n，则p等于（）A.2 B.C. D.411．已知双曲线离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（）A. B.C. D.12．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若数列满足，，设，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得______________14．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是____________.15．点为双曲线上一点，为焦点，如果则双曲线的离心率为___________.16．已知平行四边形内接于椭圆，且的斜率之积为，则椭圆的离心率为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）近年来某村制作的手工艺品在国内外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（ⅰ）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ⅱ）若3位行家中仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关．若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级；若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（ⅲ）若3位行家中有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级．已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；（2）求81件手工艺品中，质量为C级的手工艺品件数的方差；（3）求10件手工艺品中，质量为D级的手工艺品最有可能是多少件？18．（12分）已知圆内有一点，过点作直线交圆于、两点（1）当经过圆心时，求直线的方程；（2）当弦的长为时，求直线的方程19．（12分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若关于x的不等式恒成立，试求a的取值范围20．（12分）已知：圆是的外接圆，边所在直线的方程为，中线所在直线的方程为，直线与圆相切于点.（1）求点和点的坐标；（2）求圆的方程.21．（12分）设点，动圆P经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W（1）求曲线W的方程；（2）直线与曲线W交于A、B两点，其中O为坐标原点，已知点T的坐标为，记直线TA，TB的斜率分别为，，则是否为定值，若是求出，不是说明理由22．（10分）计算：（1）求函数（a，b为正常数）的导数（2）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】共渐近线的双曲线方程，设，把点代入方程解得参数即可.【详解】设，把点代入方程解得参数，所以化简得方程故选：C.2、D【解析】根据给定条件求出抛物线的顶点，结合抛物线的性质求出p值即可计算作答.【详解】依题意，抛物线的顶点坐标为，则抛物线的顶点到焦点的距离为，p>0，解得，于是得抛物线的方程为，由得，，即抛物线与轴的交点坐标为，因此，，所以矿石落点的最远处到点的距离为.故选：D3、C【解析】根据两直线垂直时斜率乘积为，可以直接求出所求直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程，最后化成一般式方程即可.【详解】因为直线的斜率为，故所求直线的斜率等于，所求直线的方程为，即，故选：C4、C【解析】∵，，∴面，面，∴，A正确；∵平面即为平面，平面即为平面，且平面，∴平面平面，∴平面平面，∴B正确；当时，为钝角，∴C错；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，在中，，利用余弦定理解三角形得，即，∴D正确，故选C考点：立体几何中的动态问题【思路点睛】立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：

求空间角、距离，归到三角形中求解；2．对于球的内接外切问题，作适当的截面，既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系；求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离5、C【解析】设双曲线的右焦点为M，作出图形，根据双曲线的定义可得，可得出，利用A、P、M三点共线时取得最小值即可得解.【详解】∵是双曲线的左焦点，∴，，，，设双曲线的右焦点为M，则，由双曲线的定义可得，则，所以，当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立，因此，的最小值为9.故选：C.【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.6、C【解析】由题意，借助米勒定理，可设出坐标，表示出的外接圆方程，然后在求解点R的纵坐标.【详解】因为点P、Q的坐标分别是（2，0），（4，0）是x轴正半轴上的两个定点，点R是y轴正半轴上的一动点，根据米勒定理，当的外接圆与y轴相切时，最大，由垂径定理可知，弦的垂直平分线必经过的外接圆圆心，所以弦的中点为（3，0），故弦中点的横坐标即为的外接圆半径，即，由垂径定理可得，圆心坐标为，故的外接圆的方程为，所以点R的纵坐标为.故选：C.7、A【解析】把点代入椭圆方程得，写出椭圆顶点坐标，计算四边形周长讨论它取最小值时的条件即得解.【详解】依题意得，椭圆的四个顶点为，顺次连接这四个点所得四边形为菱形，其周长为，，当且仅当，即时取“=”，由得a2=12，b2=4，所求标准方程为.故选：A【点睛】给定两个正数和(两个正数倒数和)为定值，求这两个正数倒数和(两个正数和)的最值问题，可借助基本不等式中“1”的妙用解答.8、B【解析】由平均数、极差及中位数的定义依次求解即可比较【详解】，，故甲、乙的平均数相同，甲、乙的极差分别为，，故不同，甲、乙的中位数分别为，，故不同，故选：9、A【解析】根据椭圆的方程求出，再由椭圆的对称性及定义求解即可.【详解】由椭圆的对称性可知，,所以，又椭圆方程为，所以，解得，所以，故选：A10、A【解析】根据抛物线定义得个等式，相加后，利用已知条件可得结果.【详解】抛物线C：的准线为，根据抛物线的定义可知，，，，，所以，所以，所以，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义解题是解题关键，属于基础题.11、C【解析】运用点差法即可求解【详解】由已知得，又，，可得.则双曲线C的方程为.设，，则两式相减得，即.又因为点P恰好是弦的中点，所以，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.经检验满足题意故选：C12、D【解析】利用双曲线定义可得到，将的最小值变为的最小值问题，数形结合得解.【详解】由题意得，故，如图所示：到渐近线的距离,则，当且仅当，，三点共线时取等号，∴的最小值为.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、n【解析】先对两边同乘以4，再相加，化简整理即可得出结果.【详解】由①得：②所以①②得：，所以，，故答案为【点睛】本题主要考查类比推理的思想，结合错位相减法思想即可求解，属于基础题型.14、【解析】由题意建立空间直角坐标系，然后结合点面距离公式即可求得点M到截面ABCD的距离.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，1，0），D（0，，1），M（0，1，0），∴（0，1，0），（1，1，0），（0，，1），设（x，y，z）为平面ABCD的法向量，则，取y＝﹣2，可得x＝2，z＝1，∴（2，﹣2，1），∴M到截面ABCD的距离d故答案为.【点睛】本题主要考查空间直角坐标系及其应用，点面距离的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15、【解析】利用双曲线的定义、离心率的计算公式、两角和差的正弦公式即可得出.【详解】由可得，根据双曲线的定义可得：，.故答案为：16、##0.5【解析】根据对称性设，，，根据得到，再求离心率即可.【详解】由对称性，，关于原点对称，设，，，，故.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）2件【解析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）首先求出一件手工艺品质量为C级的概率，设81件手工艺品中质量为C级的手工艺品是X件，则，再根据二项分布的方差公式计算可得；（3）首先求出一件手工艺品质量为D级的概率，设10件手工艺品中质量为D级的手工艺品是ξ件，则，根据二项分布的概率公式求出的最大值，即可得解；【小问1详解】解：一件手工艺品质量为B级的概率为【小问2详解】解：一件手工艺品质量为C级的概率为，设81件手工艺品中质量为C级的手工艺品是X件，则，所以【小问3详解】解：一件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中质量为D级的手工艺品是ξ件，则，则，由解得，所以当时，，即，由解得，所以当时，，所以当时，最大，即10件手工艺品中质量为D级的最有可能是2件18、（1）；（2）或【解析】（1）求得圆心坐标，由点斜式求得直线点的方程.（2）分成直线斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程.【详解】（1）圆心坐标为（1，0），，，整理得（2）圆的半径为3，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，整理得，圆心到直线的距离为，解得，代入整理得当直线的斜率不存在时，直线的方程为，经检验符合题意∴直线的方程为或19、（1）的减区间为，增区间为（2）【解析】（1）利用导数求得的单调区间.（2）利用分离参数法，结合构造函数法以及导数求得的取值范围.【小问1详解】当时，，，所以在区间递减；在区间递增.所以的减区间为，增区间为.【小问2详解】，恒成立.构造函数，，，构造函数，，所以在上递增，，所以在上成立，所以，所以，即的取值范围是.20、（1）A（1,7）,（2）【解析】（1）与的的交点为点D,与的的交点为点A,联立解方程即可得出结果.（2）设圆P的圆心P为，由，，计算求解即可得出点坐标，由求得半径，进而可得出圆的方程.【小问1详解】由题可得：与的的交点为点D,故由，解得：，故与的的交点为点A,，解得：，故A（1，7）【小问2详解】设圆P的圆心P为，由与圆相切于点A，且的斜率为,则即，即，①又圆P为的外接圆，则BC为圆P的弦，又边BC所在直线的科率为,故根据垂径定理，有进而，即②，联立①②，解得：，即故，则圆P的方程为：.21、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)根据给定条件结合抛物线定义直接求解作答.(2)联立直线与抛物线方程，借助韦达定理、斜率坐标公式计算作答.【小问1详解】过点P作直线的垂线，垂足为点N，依题意，，则动点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线W的