福建省宁德市高中同心顺联盟校2025-2026学年数学高二上期末质量检测试题含解析

福建省宁德市高中同心顺联盟校2025-2026学年数学高二上期末质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列说法中正确的是（）A.棱柱的侧面可以是三角形B.棱台的所有侧棱延长后交于一点C.所有几何体的表面都能展开成平面图形D.正棱锥的各条棱长都相等2．执行如图的程序框图，输出的S的值为（）A. B.0C.1 D.23．已知等差数列的前n项和为，且，则（）A.2 B.4C.6 D.84．“且”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．命题P：ax2+2x﹣1＝0有实数根，若￢p是假命题，则实数a的取值范围是（）A.{a|a＜1} B.{a|a≤﹣1}C.{a|a≥﹣1} D.{a|a>﹣1}6．变量，满足约束条件则的最小值为()A. B.C. D.57．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（）A. B.C. D.8．已知抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为（）A. B.C. D.9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过且与椭圆相交于不同的两点，、不在轴上，那么△的周长（）A.是定值B.是定值C.不是定值，与直线的倾斜角大小有关D.不是定值，与取值大小有关10．已知圆的方程为，则圆心的坐标为（）A. B.C. D.11．已知是两个数1，9的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（）A.或 B.或C. D.12．已知是等差数列，，，则公差为（）A.6 B.C. D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若一个球表面积为，则该球的半径为____________14．已知数列的通项公式为，，设是数列的前n项和，若对任意都成立，则实数的取值范围是__________.15．已知长方体中，，，则点到平面的距离为______16．直线过点，且原点到直线l的距离为，则直线方程是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列，若_________________（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解①；②，，；③，点，在斜率是2的直线上18．（12分）如图，OP为圆锥的高，AB为底面圆O的直径，C为圆O上一点，并且，E为劣弧上的一点，且，.（1）若E为劣弧的中点，求证：平面POE；（2）若E为劣弧的三等分点（靠近点），求平面PEO与平面PEB的夹角的余弦值.19．（12分）已知数列是递增的等差数列，，若成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和，求.20．（12分）已知圆M经过点F（2，0），且与直线x=-2相切.（1）求圆心M的轨迹C的方程；（2）过点（-1，0）的直线l与曲线C交于A，B两点，若，求直线l的斜率k的取值范围.21．（12分）在等差数列中，记为数列的前项和，已知：.（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的的值.22．（10分）如图1，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，沿DE把折起，得到如图2所示的四棱锥.（1）证明：平面.（2）若二面角的大小为60°，求平面与平面的夹角的大小.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据棱柱、棱台、球、正棱锥结构特征依次判断选项即可.【详解】棱柱的侧面都是平行四边形，A不正确；棱台是由对应的棱锥截得的，B正确；不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，例如球不能展开成平面图形，C不正确；正棱锥的各条棱长并不是都相等，应该为正棱锥的侧棱长都相等，所以D不正确.故选：B.2、A【解析】直接求出的值即可.【详解】解：由题得，程序框图就是求，由于三角函数的最小正周期为，，，所以.故选：A3、B【解析】根据等差数列前n项和公式，结合等差数列下标的性质、等差数列通项公式进行求解即可.【详解】设等差数列的公差为，，，故选：B4、A【解析】按照充分必要条件的判断方法判断，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判断得到正确答案，【详解】当且时，成立，反过来，当时，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型.5、C【解析】根据是假命题，判断出是真命题.对分成，和两种情况，结合方程有实数根，求得的取值范围.详解】┐p是假命题，则p是真命题，∴ax2+2x﹣1＝0有实数根，当a＝0时，方程为2x﹣1＝0，解得x＝0.5，有根，符合题意；当a≠0时，方程有根，等价于△＝4+4a≥0，∴a≥﹣1且，综上所述，a的可能取值为a≥﹣1故选：C【点睛】本小题主要考查根据命题否定的真假性求参数，属于基础题.6、A【解析】根据不等式组，作出可行域，数形结合即可求z的最小值.【详解】根据不等式组作出可行域如图，，则直线过A(－1，0)时，z取最小值.故选：A.7、B【解析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.【详解】由题知，圆的圆心，半径.因为，所以点在圆上，所以过点的圆的切线与直线垂直，设切线的斜率，则有，即，解得.因为直线与切线垂直，所以，解得.故选：B.8、D【解析】将抛物线方程化为标准方程，由此确定的值即可.【详解】由可得抛物线标准方程为：，，抛物线的焦点到其准线的距离为.故选：D.9、B【解析】由直线过且与椭圆相交于不同的两点，，且，为椭圆两焦点，根据椭圆的定义即可得△的周长为，则答案可求【详解】椭圆，椭圆的长轴长为，∴△的周长为故选：B10、A【解析】将圆的方程配成标准方程，可求得圆心坐标.【详解】圆的标准方程为，圆心的坐标为.故选：A.11、A【解析】根据题意可知，当时，根据椭圆离心率公式，即可求出结果；当时，根据双曲线离心率公式,即可求出结果.【详解】因为是两个数1，9的等比中项，所以，所以，当时，圆锥曲线，其离心率为；当时，圆锥曲线，其离心率为；综上，圆锥曲线的离心率为或.故选：A.12、C【解析】设的首项为，把已知的两式相减即得解.【详解】解：设的首项为，根据题意得，两式相减得.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设球的半径为，代入球的表面积公式得答案【详解】解：设球的半径为，则，得，即或（舍去）故答案为：14、【解析】化简数列将问题转化为不等式恒成立问题，再对n分奇数和偶数进行讨论，分别求解出的取值范围，最后综合得出结果.【详解】根据题意，，.①当n是奇数时，，即对任意正奇数n恒成立，当时，有最小值1，所以.②当n是正偶数时，，即，又，故对任意正偶数n都成立，又随n增大而增大，当时，有最小值，即，综合①②可知.故答案为：.15、##2.4【解析】过作于，可证即为点到平面的距离.【详解】过作于，∵是长方体，∴平面平面，又∵平面平面，∴平面，设点到平面的距离为，∵∥平面，∴根据等面积法得，故答案为：.16、【解析】直线斜率不存在不满足题意，即设直线的点斜式方程，再利用点到直线的距离公式，求出的值，即可求出直线方程.【详解】①当直线斜率不存在时，显然不满足题意.②当直线斜率存在时，设直线为.原点到直线l的距离为，即直线方程为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、答案见解析.【解析】（1）若选①，根据通项公式与前项和的关系求解通项公式即可；若选②，根据可得数列为等差数列，利用基本量法求解通项公式即可；若选③，根据两点间的斜率公式可得，可得数列为等差数列进而求得通项公式；（2）利用裂项相消求和即可【详解】解：（1）若选①，由，所以当，，两式相减可得：，而在中，令可得：，符合上式，故若选②，由（，）可得：数列为等差数列，又因为，，所以，即，所以若选③，由点，在斜率是2的直线上得：，即，所以数列为等差数列且（2）由（1）知：，所以18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）推导出平面，，，由此能证明平面（2）推导出，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值【小问1详解】证明：为圆锥的高，平面，又平面，，为劣弧的中点，，，平面，平面【小问2详解】解：解：为劣弧的三等分点（靠近点，为底面圆的直径，为圆上一点，并且，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，0，，，0，，，，，，0，，，3，，0，，，，，，，，，3，设平面的法向量，，，则，取，得，，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，设二面角的平面角为，则，二面角的余弦值为19、（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；（2）由（1）求得，结合“裂项法”即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，若成等比数列，可得，解得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）可得，所以.【点睛】关于数列的裂项法求和的基本策略：1、基本步骤：裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；累加：将数列裂项后的各项相加；消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前项和.2、消项的规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.20、（1）；（2）.【解析】(1)设圆心，轨迹两点的距离公式列出方程，整理方程即可；(2)设直线l的方程和点A、B的坐标，直线方程联立抛物线方程，消去x得出关于y的一元二次方程，结合根的判别式和韦达定理表示出弦，进而列出不等式，解之即可.【小问1详解】设圆心，由题意知，，整理，得，即圆心M的轨迹C方程为：；【小问2详解】由题意知，过点(-1，0)的直线l与抛物线C相交于点A、B，所以直线l的斜率存在且不为0，设直线，点，则，消去x，得，或，，同理可得，所以，即，由，得，解得，综上，或，所以或，即直线l的斜率的取值范围为.21、（1）；（2）或.【解析】(1)根据给定条件求出数列的公差及首项即可计算作答.(2)由(1)求出，建立方程求解作答.【小问1详解】设等差数列公差为，因，则，解得，于是得，所以数列的通项公式为：.【小问2详解】由(1)知，，由得：，即，解得或，所以使成立的的值是或.22、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)由结合线面平行的判定即可推理作答.(2)取DE的中点M，连接，FM，证明平面平面，再建立空间直角坐标系，借助空间向量推理、计算作答.【小问1详解】在中，因为E，F分别是AC，BC的中点，所以，则图2中，，而平面，平面，所以平面.【小问2详解】依题意，是正三角形，四边形是菱形，取DE的中点M，连接，FM，如图，则，，即是二面角的平面角，，取中点N，连接，则有，在中，由余弦定理得：，于是有，，即，而，，，平面，则平面，又平面，从而有平面平面，因平面