苏教版（2019）- 选择性必修第一册- 第5章 导数及其应用- 本章复习与测试

第=page1111页，共=sectionpages1717页苏教版选必一第五章导数及其应用章末检测卷5一、单选题1.函数fx=axxA.-∞,-1 B.-1,1

C.1,+∞ D.-∞,-1和1,+∞2.已知函数f(x)=f'(1)x3A.-12 B.12 C.-26 D.263.曲线f(x)=ax-xlnx在点(1,f(1))处的切线与直线x+y=0垂直，则a=A.-1 B.0 C.1 D.24.已知函数f(x)=ex-(x+1)2，则A. B.

C. D.5.已知函数f(x)=x3-2mx2+m2A.1 B.3 C.1或3 D.2或-26.已知函数f(x)=ex,g(x)=lnx2+12的图象分别与直线A.2 B.e2+12 C.7.设a=4104，b=ln1.04，c=A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a8.函数fx是定义是在R上的可导函数，其导函数f'x满足2fx+xf'x<0A.-∞,0 B.-∞,1 C.0,+∞ D.-∞,+∞9.已知函数y=fx在R上可导且f0=2，其导函数f'x满足，f'x-fxx-2>0，若函数A.函数gx在2,+∞上为增函数 B.x=2是函数gx的极小值点

C.x≤0时，不等式fx≤2ex10.设函数fx=lnxx,x⩾1-x-13,x<1，若关于xA.-1,1e-1 B.-1-1e,-111.过点M(1,m)可以作3条直线与函数y=lnxx的图象相切，则实数m的取值范围是A.(-1e,e32-12e二、多选题12.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)A.-3 B.-1 C.313.函数fx=ax3+bx2+cx+dA.若f(x1)⋅f(x2)<0，则f(x)有3个零点

B.过f(x)上任一点至少可作两条直线与f(x)相切

C.若af14.已知函数fx=lnx-ax有两个零点x1和x2A.0<a<1e B.x1+x2<2e

15.对于函数f(x)=lnxx，下列说法正确的有A.f(x)在x=e处取得极大值1e

B.f(x)有两个不同的零点

C.f(2)<f(3)<f(π)

D.若f(x)<k-1x在三、填空题16.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)=2x⋅f'(e)+lnx，则f'e等于

17.已知函数f(x)=lnx+1x+ax,x∈0,+∞，若a=0，则f(x)的最小值为

，若f(x)在2,+∞上为单调函数，则18.关于x的不等式λx1+eλx≥1+xlnx在0,+∞四、解答题19.已知函数f(x)=aexlnx+bexx．

(1)求导函数f'(x)；

(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x+1)20.已知x=-1是函数fx=-(1)求fx(2)求fx在区间-4,4上的最大值．21.(本小题15分)

已知函数f(x)=x2⋅ex．

(Ⅰ)求f(x)的极值；

(Ⅱ)若函数y=f(x)-ax22.已知函数f(x)=lnx-ax+1，其中a∈R．

(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)①若f(x)≤0恒成立，求a的最小值；

②23.已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a<0时，证明：f(x)≤-3答案和解析1.【答案】B

【解析】f'(x)=a⋅1-x2(1+x2)2，(a>0)，

令f'(x)>0，解得：-1<x<1，

2.【答案】A

【解析】f'(x)=3f'(1)x2+2x，故f'(1)=3f'(1)×12+2×1，

解得3.【答案】D

【解析】f(x)=ax-xlnx的导数为f'(x)=a-1-lnx，

可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为a-1，

由切线与直线x+y=0垂直，可得a-1=1，

解得a=2，

故选：D．4.【答案】C

【解析】由f(x)=ex-(x+1)2，得f(-1)>0，f(0)=0，f(1)<0，故排除A，D．

由函数f(x)=ex-(x+1)2知f'(x)=ex-2(x+1)，

在同一坐标系作出函数y=ex和y=2(x+1)的图像，如图所示，

可知函数y=ex和y=2(x+1)的图像有两个交点，

设交点的横坐标为x1，x2，x1<x2，则-1<x1<0，x2>1，

当x<x1时，ex>2x-1，此时f'(x)>0，f(x)单调递增；

当x1<x<x2时，5.【答案】B

【解析】函数f(x)=x3-2mx2+m2x，

f'(x)=3x2-4mx+m2，

∵函数f(x)在x=1处取得极大值，

∴f'(1)=3-4m+m2=0，解得m=1或3，

m=1时，∴f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1)，

可得x=1是函数f(x)6.【答案】C

【解析】由题意，A(lnm,m)，B2em-12,m，2em-12>lnm,且m>0

所以AB=2em-12-lnm，令y=2em-12-lnm(m>0)，则y'=2e7.【答案】D

【解析】记f(x)=ex-1-x，(x>0)，

因为f'(x)=ex-1，

当x>0时，f'(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，

当x>0时，f(x)>f(0)=0，即ex-1>x，

所以因为g'(x)=11+x-1=-x1+x<0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，

当x>0时，g(x)<g(0)=0，所以ln(1+x)<x，x>0，

则ln1.04<0.04，

所以c>b因为h'(x)=11+x-1(1+x)2=x(1+x)2，

所以当x>0时，h'(x)>0，所以h(x)在(0,+∞)上单调递增，

所以当x>0时，h(x)>h(0)=0，即ln(1+x)>x1+x8.【答案】D

【解析】设g(x)=x2fx，

则g'(x)=2xfx+x2f'x=x2f(x)+xf'(x)，

当x<0时，g'(x)>0，函数g(x)单调递增，

当x>0时，g'(x)<0，函数g(x)单调递减，

则x=0时，g(x)有极大值为g(0)=0，

所以g(x)⩽0，

当x≠0时，x2fx<0，即fx9.【答案】C

【解析】因为g'(x)=f'(x)-f(x)ex，所以当x>2时，g'(x)>0，∴g(x)在(2,+∞)上单调递增，A选项正确；

当x<2时，g'(x)<0，∴g(x)在(-∞,2)上单调递减，∴g(x)极小值=g(2)，B选项正确；

若g(2)<0，且g(0)=2>0，则y=g(x)有一个或两个零点；若g(2)=0，则y=g(x)有1个零点；若g(2)>0，则y=g(x)有没有零点，所以D选项正确；

∵g(x)在(-∞,2)上单调递减，∴g(x)在(-∞,0]上单调递减，∴g(x)≥g(0)=f(0)e010.【答案】B

【解析】因为fx2+mfx-1-m=0恰好有4个不相等的实数解，

所以fx+m+1fx-1=0恰好有4个不相等的实数解，

所以fx=1或fx=-m-1共有4个解，

设h(x)=lnxx，x≥1，则h'x=1-lnxx2，

所以x∈1,e时，h'x>0，h(x)单调递增，

x∈e,+∞时，h'x<0，h(x)单调递减，

且h(1)=0，h(e)=1e，

当x→+∞时，hx→0，所以h(x)∈0,1e;

设g(x)=-x-13，(x<1)，

则g'x=-3x-12<011.【答案】D

【解析】设切点为(t,lntt)(t>0)，

因为函数y=lnxx的导数为y'=1-lnxx2，

所以切线斜率为1-lntt2，即切线方程为y-lntt=1-lntt2(x-t)，

切线过点M(1,m)，代入得m=lntt+(1-lnt)(1-t)t2，

化简得m=2tlnt-t-lnt+1t2，

记g(t)=2tln t-t-ln t+1t2(t>0)，

g'(t)=(t-1)(3-2ln t)t3，

令g​'(t)=0，得t=1和t=e32，

令g​'(t)<0，得0<t<1或t>e3212.【答案】ABC

【解析】f(x)=-x3+ax2-x-1的导函数为f'(x)=-3x2+2ax-1，

∵函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数，且导函数是开口向下的二次函数，

∴函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减，

∴f'(x)≤0在(-∞,+∞)上恒成立，

即-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立，

∴△=4a2-12≤0，13.【答案】ACD

【解析】因为fx=ax3+bx2+cx+da≠0，所以f'(x)=3ax2+2bx+c，

又因为函数f(x)有两个极值点x1、x2x1<x2，

所以当a>0时，函数f(x)在-∞,x1,x2,+∞上单调递增，在x1,x2上单调递减；

此时，x1为极大值，x2为极小值；

当a<0时，函数f(x)在x1,x2上单调递增，在-∞,x1,x2,+∞上单调递减；

此时，x1为极小值，x2为极大值；

对于选项A：若f(x1)⋅f(x2)<0，则f(x1)>0f(x2)<0或f(x1)<0f(x2)>0,

在(-∞,x14.【答案】ACD

【解析】∵f(x)=lnx-ax，x>0，∴f'(x)=1x-a=1-axx，

当a≤0时，f'(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)不可能有两个零点，

当a>0时，由f'(x)>0得到0<x<1a，由f'(x)<0得到x>1a，

∴f(x)在(0,1a)上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减，

∴x=1a是函数f(x)的极大值点，f(1a)=ln1a-1=-lna-1，

∴由题意知f(1a)>0，∴-lna-1>0，∴0<a<1e，∴A正确；

对于B、D，由上可得f(x)的极大值为f(1a)，0<x1<1a<x2，

设g(x)=f(2a-x)-f(x)，其中x∈(0,1a]，可得g(1a)=0，

可得g(x)=ln(2a-x)-a(2a-x)-lnx+ax，x∈(0,1a]，

可得g'(x)=a2-ax×-1-1x+2a=aax-2-1x+2a

=2ax2-2x+2a=2ax-12xax-2⩽0，x∈(0,115.【答案】AD

【解析】A、函数的导数f'(x)=1-lnxx2(x>0)，

令f'(x)=0，得x=e，

则当0<x<e时，f'(x)>0，函数为增函数；

当x>e时，f'(x)<0，函数f(x)为减函数，

则当x=e时，函数取得极大值，极大值为f(e)=1e，故A正确；

B、当x→0时，f(x)→-∞，x→+∞时，f(x)→0，则f(x)的图象如图：

由f(x)=0，得lnx=0，得x=1，即函数f(x)只有一个零点，故B错误；

C、∵f(2)=ln22=f(4)=ln44，由图象知f(3)>f(π)>f(4)，

故f(2)<f(π)<f(3)成立，故C错误；

D、若f(x)<k-1x在(0,+∞)上恒成立，

则k>[lnxx+1x]max，

设h(x)=lnxx+1x(x>0)，则h'(x)=-lnxx16.【答案】-1【解析】由fx=2xf'e+lnx，

得f'x=2f'e+1x，

令17.【答案】1；(-∞,-1【解析】当a=0时，f(x)=lnx+1x(x>0)，f'(x)=x-1x2，

当0<x<1时，f'(x)<0，当x>1时，f'(x)>0，

∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

∴f(x)min=f(1)=1；

若f(x)在2,+∞上为单调函数，则f'(x)=1x-1x2+a=ax2+x-1x2

当a≥0时，ax2+x-1在[2,+∞)上恒大于零，即f'(x)>0，符合题意;18.【答案】1e【解析】不等式λx1+eλx≥1+x构造函数fx=x+1lnx，x>0，则f(eλx)⩾f(x)，

f'x=当x∈0,1时，h'(x)<0，当x∈1,+∞∴f'xmin=f'1=2>0得eλx≥x，λx≥lnx，λ≥lnxx当x∈0,e时，g'x>0，gx单调递增，

当x∈e,+∞gxmax=ge=19.【解析】(1)由f(x)=aexlnx+bexx，

得f'(x)=(aexlnx)'+(bexx)'

=aex(1x+lnx)+bex(x-1)x2；

(2)∵切点既在曲线上，又在切线上，

∴将x=1代入切线方程y=e(x+1)，得y=2e20.【解析】(1)f'(x)=-3x2+6x+a，

∵x=-1是函数fx的一个极值点

∴f'(-1)=-9+a=0，

∴a=9，

∴f'(x)=-3x2+6x+9=-3x2-2x-3=-3x-3x+1，

令f'x<0，解得x<-1或x>3；令f'x>0，解得-1<x<3．

所以函数fx的减区间为(-∞,-1),(3,+∞)，增区间为-1,3．

(2)由(1)f(x)=-x3+3x2+9x，

又∵f21.【解析】由题意可知函数f(x)的定义域为R．

(Ⅰ)因为f(x)=x2⋅ex．

所以f'(x)=ex(x2+2x)，

由f'(x)=0，得x1=-2，x2=0，

当x<-2时，f'(x)>0，函数单调递增，当-2<x<0时，f'(x)<0，函数单调递减，当x>0时，f'(x)>0，函数单调递增，

因此，当x=-2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(-2)=4e2；

当x=0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)=0．

(Ⅱ)因为y=f(x)-ax=x2⋅ex-ax，

所以x=0为一个零点．

所以“函数y=x2⋅ex-ax，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程a=xex有两个非零实根”．

令h(x)=xex，则h'(x)=(x+1)ex，

所以，当x<-1时，h'(x)<0，h(x)在(-∞,-1)上单调递减；

当x>-1时，h'(x)>022.【解析】(1)由已知条件得fx=lnx-x+1，其中f(x)的定义域为(0,+∞)，

则f'x=1x-1=1-xx，

当x∈0,1时，f'x>0，当x∈1,+∞时，f'x<0，

可知：fx的单调递增区间为0,1，单调递减区间为1,+∞；

(2)①由fx=l