2025年中考数学压轴试题及答案

2025年中考数学压轴试题及答案

一、单项选择题1.若二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，且过点$(2,0)$，则下列结论正确的是（）A.$abc\gt0$B.$b\lt0$C.$c\lt0$D.$a+b+c=0$答案：D2.已知点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的图象上，若$x_1\lt0\ltx_2$，且$y_1\gty_2$，则$k$的取值范围是（）A.$k\lt0$B.$k\gt0$C.$k\geq0$D.$k\leq0$$答案：A3.如图，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$，以点$C$为圆心，$r$为半径作圆，当$r$满足（）时，圆$C$与直线$AB$相切。A.$r=\frac{12}{5}$B.$r\gt\frac{12}{5}$C.$r\lt\frac{12}{5}$D.$r=\frac{5}{12}$答案：A4.一元二次方程$x^2-2x-3=0$的两个根为（）A.$x_1=1$，$x_2=3$B.$x_1=-1$，$x_2=3$C.$x_1=1$，$x_2=-3$D.$x_1=-1$，$x_2=-3$答案：B5.如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$\angleBAC=120^{\circ}$，$AD\perpBC$于点$D$，则下列结论错误的是（）A.$AD=\frac{1}{2}AB$B.$BD=\frac{1}{2}AB$C.$AD=BD$D.$BC=\sqrt{3}AB$答案：C6.若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x\gta\\x\lt2\end{cases}$无解，则$a$的取值范围是（）A.$a\leq2$B.$a\geq2$C.$a\lt2$D.$a\gt2$答案：B7.如图，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$AD=1$，$DB=2$，则$\triangleADE$与$\triangleABC$的面积之比为（）A.$1:2$B.$1:3$C.$1:4$D.$1:9$答案：D8.已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(0,1)$和$(1,0)$，则$k$，$b$的值分别为（）A.$k=-1$，$b=1$B.$k=1$，$b=-1$C.$k=-1$，$b=-1$D.$k=1$，$b=1$答案：A9.如图，在$\odotO$中，弦$AB=8$，圆心$O$到弦$AB$的距离$OC=3$，则$\odotO$的半径为（）A.$4$B.$5$C.$6$D.$7$答案：B10.若分式方程$\frac{x}{x-3}-2=\frac{m}{x-3}$有增根，则$m$的值为（）A.$3$B.$-3$C.$0$D.以上都不对答案：A二、多项选择题1.下列函数中，是二次函数的有（）A.$y=2x^2$B.$y=(x+1)(x-1)-(x-1)^2$C.$y=\frac{1}{x^2}$D.$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$为常数）答案：AB2.下列命题中，正确的是（）A.圆的切线垂直于经过切点的半径B.垂直于半径的直线是圆的切线C.经过半径外端的直线是圆的切线D.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点答案：AD3.已知点$P(x,y)$在第四象限，且$|x|=3$，$|y|=5$，则点$P$的坐标是（）A.$(3,-5)$B.$(-3,5)$C.$(5,-3)$D.$(-(5,3)$答案：A4.如图，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AC=6$，$BC=8$，则下列说法正确的是（）A.$\sinA=\frac{4}{5}$B.$\cosA=\frac{3}{5}$C.$\tanA=\frac{4}{3}$D.$\sinB=\frac{3}{5}$答案：ABC5.若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$的两个根为$x_1$，$x_2$，则下列结论正确的是（）A.$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$B.$x_1x_2=\frac{c}{a}$C.$b^2-4ac\geq0$D.方程可变形为$a(x-x_1)(x-x_2)=0$答案：ABCD6.下列图形中，是中心对称图形的有（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形答案：ABCD7.如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$的中点，下列结论正确的是（）A.$AD=AE$B.$DE\parallelBC$C.$\triangleADE\sim\triangleABC$D.$DE=\frac{1}{2}BC$答案：ABCD8.已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$，当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大，则$k$的值可以是（）A.$-1$B.$-\frac{1}{2}$C.$1$D.$2$答案：AB9.如图，在$\odotO$中，直径$AB=10$，弦$CD\perpAB$于点$E$，$OE=3$，则弦$CD$的长为（）A.$4$B.$6$C.$8$D.$10$答案：C10.若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x\gtm\\x\ltn\end{cases}$有解，则$m$，$n$的大小关系是（）A.$m\ltn$B.$m\leqn$C.$m\gtn$D.$m\geqn$答案：A三、判断题1.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象一定是抛物线。（）答案：√2.圆的切线只有一条。（）答案：×3.若点$P(x,y)$在第一象限，则$x\gt0$，$y\gt0$。（）答案：√4.直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（）答案：√5.一元二次方程$x^2+2x+3=0$有两个不相等的实数根。（）答案：×6.中心对称图形一定是轴对称图形。（）答案：×7.相似三角形的对应边成比例，对应角相等。（）答案：√8.反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一、三象限，则$k\lt0$。（）答案：×9.圆的半径越大，圆的面积越大，所以圆的面积与半径成正比例。（）答案：×10.若关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$有一个根为$0$，则$c=0$。（）答案：√四、简答题1.简述二次函数$y=ax^2+bx+c$的性质（$a\neq0$）。答案：当$a\gt0$时，图象开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，在对称轴左侧，$y$随$x$增大而减小，在对称轴右侧，$y$随$x$增大而增大；当$a\lt0$时，图象开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，在对称轴左侧，$y$随$x$增大而增大，在对称轴右侧，$y$随$x$增大而减小。2.如何判断一条直线是圆的切线？答案：若圆心到直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线；或者经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。3.解分式方程$\frac{1}{x-2}+3=\frac{x-1}{x-2}$。答案：方程两边同乘$(x-2)$得$1+3(x-2)=x-1$，展开得$1+3x-6=x-1$，移项得$3x-x=-1+6-1$，合并同类项得$2x=4$，解得$x=2$。经检验，$x=2$是增根，原方程无解。4.已知$\triangleABC$中，$\angleA=60^{\circ}$，$AB=4$，$AC=3$，求$\triangleABC$的面积。答案：根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}AB\cdotAC\cdot\sinA$，可得$S=\frac{1}{2}\times4\times3\times\sin60^{\circ}=3\sqrt{3}$。五、讨论题1.讨论二次函数与一元二次方程的关系。答案：二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），当$y=0$时，就得到一元二次方程$ax^2+bx+c=0$。一元二次方程的根就是二次函数图象与$x$轴交点的横坐标。通过求解一元二次方程可以确定二次函数图象与$x$轴的交点坐标，利用二次函数图象的性质也能辅助分析一元二次方程根的情况。2.谈谈相似三角形在生活中的应用。答案：比如在建筑施工中，利用相似三角形原理来测量高楼的高度。先在地面上立一根已知长度的标杆，然后分别测量标杆和高楼的影子长度，通过相似三角形对应边成比例的关系，就能计算出高楼的高度。在绘制地图时，也会利用相似关系将实际地形按比例缩小绘制在图纸上。3.讨论反比例函数图象的对称性。答案：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$）的图象关于原点对称。因为对于图象上任意一点$(x,y)$，其关于原点的对称点$(-x,-y)$也在函数图象上。这一性质在解题中很重要，