微专题01 平面向量（原卷版）-高考数学第三阶段零基础or艺考生

微专题01平面向量秒杀总结结论1极化恒等式．1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：（1）（2）（2）两式相加得：2．极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式（1）平行四边形模式：几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的。（2）三角形模式：（M为BD的中点）AABCM结论2矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等。已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：。【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，则，设，则结论3三点共线的充要条件设、、是三个不共线向量，则A、B、P共线存在使．特别地，当P为线段AB的中点时，。结论4等和线【基本定理】平面向量共线定理已知，若，则三点共线；反之亦然。等和线平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。（1）当等和线恰为直线时，；（2）当等和线在点和直线之间时，；（3）当直线在点和等和线之间时，；（4）当等和线过点时，；（5）若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；结论5奔驰定理【奔驰定理】若O为内任一点，且，则例1.在中，是的中点，，则____.例2.正三角形内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则的取值范围是。例3.已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是。例4.在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（）A.B.C.D.例5.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，则（）A.B.C.D.例6、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动。若，其中，则的最大值是__________。过关测试一、单选题1．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2021-2022学年高三上学期第三次验收考试数学（理科）试题）已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（）A． B．2 C． D．2．（重庆市九龙坡区2022届高三上学期期中数学试题）已知，，，，则的取值范围（）A． B．C． D．3．（广东省肇庆市2022届高三上学期第一次统一检测数学试题）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（）A． B． C． D．4．（云南省师范大学附属中学2022届高三高考适应性月考卷（四）数学（理）试题）已知，，是平面向量，与是单位向量，且，向量满足，则的最大值与最小值之和是（）A． B． C． D．5．（中学生标准学术能力诊断性测试2021-2022学年高三上学期10月测试文科数学试题）已知是矩形，且满足.其所在平面内点满足：，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2021·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知平面向量，，，满足，且，则的最小值为（）A． B． C． D．7．（2021·湖南·永州市第一中学高一期中）已知平面向量满足，，则的最小值为（）A． B． C． D．8．（2021·全国·高二专题练习）P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．9二、多选题9．（广东省深圳市普通中学2022届高三上学期质量评估（新高考I卷）数学试题）在中，角所对的边分别为，，，为的外接圆，，给出下列四个结论正确的是（）A．若，则；B．若P在上，则的最大值为2；C．若P在上，则；D．若，则点P的轨迹所对应图形的面积为.10．（2021·广东·仲元中学高一期中）已知､是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（）A．､的夹角是 B．､的夹角是C． D．11．（2021·江苏·盐城中学高一阶段练习）在中，，，下述四个结论中正确的是（）A．若为的重心，则B．若为边上的一个动点，则为定值2C．若，为边上的两个动点，且，则的最小值为D．已知为内一点，若，且，则的最大值为212．（2021·广东·高三阶段练习）已知，点满足，则下列说法中正确的是（）A．当时，的最小值为1 B．当时，C．当时，的面积为定值 D．当时，13．（2021·河北邯郸·高一期中）如图，在中，，，，点，为边上两个动点，且满足，则下列选项正确的是（）

A．的最小值为B．的最小值为C．的最大值为D．当取得最大值时，点与点重合14．（2021·江苏常州·高一期末）如图，在等腰直角三角形中，，，，分别为，上的动点，设，，其中，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则与不共线C．若，记三角形的面积为，则的最大值为D．若，且，分别是，边的中点，则的最小值为15．（2021·云南·昆明一中高一期中）如图，在矩形ABCD内(不包含边界)有一动点Q，满足，，，若，其中，，则下列命题中正确的选项为（）A．为定值 B．且C．的最小值为 D．的最大值为三、填空题16．（浙江省91高中联盟2021-2022学年高三上学期期中联考数学试题）已知平面向量满足：，当与所成角最大时，则______17．（辽宁省实验中学2021-2022学年高三上学期期中数学试题）在锐角中，，若点为的外心，且，则的最大值为___________.18．（专题5.2解析几何与平面向量相结合问题-玩转压轴题，进军满分之2021高考数学选择题填空题）正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中，则的最大值是________19．（2021·湖南·嘉禾县第一中学高一阶段练习）如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为___________．20．（2021·内蒙古呼和浩特·高三阶段练习（理））如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是______.21．（2021·浙江省三门中学高三期中）已知平面向量，，满足，，则的最小值是___________.22．（2021·重庆八中高三阶段练习）已知向量，，满足，，，则的最大值是______________.23．（2021·浙江·绍兴一中高三期中）已知平面向量满足：，向量与向量的夹角为，，向量与向量的夹