微专题22 计数原理与概率统计压轴小题（原卷版）-高考数学第三阶段零基础or艺考生

微专题22计数原理与概率统计压轴小题典型例题例1．（2022·全国·高三专题练习）我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有___________种.例2．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）①；②；③；④.例3．（2022·全国·高三专题练习）如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角形，设.若在大等边三角形内任取一点P，则该点取自小等边三角形内的概率为___________.例4．（2022·全国·高三专题练习）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：，令，是的前项和，则______.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列，对任意都有成立，则数列的前项和__________．例6．（2022·全国·高三专题练习）数列共项，且，，关于的函数，，若是函数的极值点，且曲线的在点处的切线的斜率为，则满足条件的数列的个数为__________．例7．（2022·全国·高三专题练习）考查等式：(*)，其中，且.某同学用概率论方法证明等式(*)如下：设一批产品共有件，其中件是次品，其余为正品.现从中随机取出件产品，记事件{取到的件产品中恰有件次品}，则，，1，2，…，.显然，，…，为互斥事件，且(必然事件)，因此，所以，即等式(*)成立.对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断：①等式(*)成立，②等式(*)不成立，③证明正确，④证明不正确，试写出所有正确判断的序号___________.例8．（2022·全国·高三专题练习）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G，H八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有___________种.过关测试一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）设是离散型随机变量的期望，则下列不等式中不可能成立的是（

）A． B．C． D．2．（2022·江苏·高三专题练习）已知，，其中为展开式中项系数，，则下列说法不正确的有（

）A．，B．C．D．是，，，…，是最大值3．（2022·新疆·一模（理））如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（

）A．5 B．6 C．7 D．84．（2022·重庆南开中学模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项不正确的是（

）A．在第9条斜线上，各数之和为55B．在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小C．在第条斜线上，共有个数D．在第11条斜线上，最大的数是5．（2022·福建泉州·高三开学考试）若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两项都是正数的概率为，则（

）A．B．C．D．.6．（2022·全国·高三专题练习）由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足a1＝0，且对任意n∈N*，an+1等概率地取an+1或an﹣1，设an的值为随机变量ξn，则（）A．P（ξ3＝2）＝ B．E（ξ3）＝1C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2） D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0）8．（2022·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．9．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则（

）A． B．C．5 D．10．（2022·全国·高三专题练习（理））圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（

）A．10 B．20 C．40 D．6011．（2022·全国·高三专题练习（文））已知递增正整数数列满足，则下列结论中正确的有（

）（1）､､可能成等差数列；（2）､､可能成等比数列；（3）中任意三项不可能成等比数列；（4）当时，恒成立.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个12．（2022·浙江·高三专题练习）设集合，我们用表示集合的所有元素之和，用表示集合的所有元素之积，例如：若，则；若，则，．那么下列说法正确的是（

）A．若，对的所有非空子集，的和为320B．若，对的所有非空子集，的和为C．若，对的所有非空子集，的和为D．若，对的所有非空子集，的和为013．（2022·全国·高三专题练习（理））2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为，则满足的分配方案的概率为（

）A． B． C． D．14．（2022·上海·高三专题练习）如果数列同时满足以下四个条件：（1）（）；（2）点在函数的图像上；（3）向量与互相平行；（4）与的等差中项为（）；那么，这样的数列，，，的个数为（

）A．78 B．80 C．82 D．9015．（2022·全国·高三专题练习（理））甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为，则的值为（

）A． B． C． D．16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列为有穷数列，共95项，且满足，则数列中的整数项的个数为（

）A．13 B．14 C．15 D．1617．（2022·全国·高三专题练习）2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（）A． B． C． D．18．（2022·江苏·高三专题练习）已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则随机变量的期望为（

）A． B． C．3 D．419．（2022·全国·高三专题练习）已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（

）A． B． C．2021 D．20．（2022·全国·高三专题练习）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（

）A． B．C． D．21．（2022·上海·高三专题练习）用表示个实数的和，设，，其中，则的值为（

）A． B． C． D．22．（2022·全国·高三专题练习）设是常数，对于，都有，则（

）A． B． C． D．23．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（

）.A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种24．（2022·全国·高三专题练习）（1）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为；（2）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记号盒子中小球的个数为，则（

）A． B．C． D．25．（2022·全国·高三专题练习（理））罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：数字123456789形式ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示.（如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（

）A．87 B．95 C．100 D．10326．（2022·全国·高三专题练习）在元数集中，设，若的非空子集满足，则称是集合的一个“平均子集”，并记数集的元“平均子集”的个数为．已知集合，，则下列说法错误的是（

）A． B．C． D．二、多选题27．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知，则下列结论正确的是（

）A．若，，则B．与都是正整数C．是的小数部分D．设，，则28．（2022·江苏南通·模拟预测）若，则（

）A． B．C． D．29．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）已知数列中，，且，设，则下列结论正确的是（

）A．B．数列单调递增C．D．若为偶数，则正整数n的最小值为830．（2022·江苏南京·高三开学考试）设，，，则下列结论中正确的是（

）A．B．当时，C．若，，则D．当，时，31．（2022·全国·高三专题练习）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（

）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.132．（2022·江苏·高三专题练习）下列说法不正确的是（

）A．随机变量，则B．某人在10次射击中，击中目标的次数为且，则当时概率最大；C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D．从个红球和个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；33．（2022·江苏·金陵中学二模）某人投了100次篮，设投完前n次的命中率为．其中，….100．已知，则一定存在使得（

）A． B． C． D．34．（2022·全国·高三专题练习）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进，例如：自然数1在二进制中就表示为1，2表示为10，3表示为11，7表示为111，即，，其中，或，记为上述表示中0的个数，如，．则下列说法中正确的是（

）．A．B．C．D．1到127这些自然数的二进制表示中的自然数有35个35．（2022·全国·高三专题练习）甲､乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（

）A． B．C． D．的最大值为36．（2022·全国·高三专题练习）已知下列说法正确的是（

）A．设，则数列的前项的和为B．C．=()D．为等比数列37．（2022·全国·高三专题练习）随着高三毕业日期的逐渐临近，有()个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（

）A．当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为B．当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为C．甲和乙恰好互换了卡片的概率为D．记个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为，则38．（2022·全国·高三专题练习）已知，设，其中则（

）A． B．C．若，则 D．39．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的命题是(

)A．已知随机变量服从，若，则B．已知，则C．设随机变量服从正态分布，若，则D．某人在次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大40．（2022·全国·高三专题练习）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（

）A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大C．若，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)三、双空题41．（2022·全国·高三专题练习）某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的数学期望______．42．（2022·全国·高三专题练习）袋子里装有编号分别为“2，3，3，4，4，5”的6个大小、质量相同的小球，小明从袋子中一次任取2个球，若每个球被取到的机会均等，记取出的2个小球编号之和为，编号之差的绝对值为，记，则______；_____.43．（2022·浙江·舟山中学高三阶段练习）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，第行的数字之和为______；去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前46项和为______.四、填空题44．（2022·浙江·模拟预测）“迎冬奥，跨新年，向未来”，水球中学将开展自由式滑雪接力赛．自由式滑雪接力赛设有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三个项目，参赛选手每人展示其中一个项目．现安排两名男生和两名女生组队参赛，若要求相邻出场选手展示不同项目，女生中至少一人展示雪上芭蕾项目，且三个项目均有所展示，则共有___种出场顺序与项目展示方案．（用数字作答）45．（2022·上海·高三专题练习）对于n∈N*，将n表示为n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+ak﹣1×21+ak×20，i=0时，ai=1，当1≤i≤k时，ai为0