专题01 有理数（解析版）-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（人教版）

专题01有理数知识点1：正负数小学学过的除0以外的数都是正数.在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数.大于零的数是正数，小于零的数是负数.0既不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界点.知识点2：有理数的分类用正、负数表示具有相反意义的量.（1）概念整数：正整数、0、负整数统称为整数.分数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数.（2）分类：两种按正、负性质分类：按整数、分数分类：知识点3：有理数的相关概念1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|.知识点4：有理数的运算1.有理数的加法加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.（3）一个数同0相加，仍得这个数.加法运算定律：（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a+b=b+a.（2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变，即a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c）.2.有理数的减法减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a-b=a+（-b）.3.有理数的乘法乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.（2）任何数同0相乘，都得0.（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值.（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0.乘法运算定律：（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等.即a×b＝ba.（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚.（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即a×﹙b+c﹚＝a×b+a×c.4.有理数除法法则（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数.（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0.5.有理数的乘方运算法则（1）正数的任何次幂都是正数.（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.（3）0的任何正整数次幂都是0.6.科学记数法1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n为正整数）.这种记数的方法叫做科学记数法.﹙1≤|a|＜10﹚2.近似数的精确度：两种形式（1）精确到某位或精确到小数点后某位.（2）保留几个有效数字.注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示.例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105.3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数.注意：（1）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：3.0×104的有效数字是3.（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字.例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5.考点剖析考点一：正负数【典例1】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走40m，那么表示（

）A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走【答案】D【解析】表示向西走，故选D．【变式1-1】何小虎是航天科技六院西安航天发动机有限公司的数控车工、高级技师，他的绝活是在非精密环境中实现产品精密加工．在长三乙火箭发动机喷注器架的生产中，需要加工几项基本尺寸为的深小轴（）范围内的尺寸均为合格品，则下列深小轴的尺寸中合格的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得合格品的范围是，则A，B，D均不符合题意，故选：C．【变式1-2】某校仪仗队队员的平均身高为，如果高于平均身高记作，那么低于平均身高应该记作（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】高于平均身高记作，那么低于平均身高应该记作．故选B．考点二：有理数的相关概念【典例2】的相反数是（

）A．2023 B． C． D．【答案】A【解析】的相反数是2023．故选：A．【变式2-1】下列7个数：、、、、0、、，其中有理数有（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】有理数有：、、、0、、，故选：D．【变式2-2】数轴上的点表示的数是，那么在数轴上与点相距个单位长度的点表示的数是（

）A． B．或4 C． D．4【答案】B【解析】与点相距个单位长度的点在点左边时，；与点相距个单位长度的点在点右边时，．与点相距个单位长度的点表示的数是或．故选：．【变式2-3】若，则的值为（）A．8 B． C．8或 D．以上答案都不对【答案】C【解析】∵，∴，故选：C．【变式2-4】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上随意画出一条长2023厘米的线段，则线段盖住的整点个数是（

）A．2020或2021 B．2021或2022 C．2022或2023 D．2023或2024【答案】D【解析】当长2023厘米的线段的端点与整数点重合时，两端与中间的整数点共有2024个，当长2023厘米的线段的端点不与整数点重合时，中间的整数点只有2023个，故选：D．【变式2-5】数轴上点A，B表示的数分别为和5，点M也在该数轴上，且到A，B两点的距离相等，则点M表示的数是．【答案】1【解析】点A，B表示的数分别为和5，，点M到A，B两点的距离相等，，且点M在点B的左边，点M表示的数是，故答案为：1．【变式2-6】比较大小：（填“＜”或“＞”）．【答案】【解析】∵，，∵，∴，故答案为：．【变式2-7】已知，，在数轴上的位置如图，化简．

【答案】【解析】由，，在数轴上的位置可知，，，∴．考点三：非负性的性质【典例3】若，则的值一定是（

）A．0 B．负数 C．非负数 D．非正数【答案】D【解析】，的值一定是非正数，故选：D．【变式3-1】若a是有理数，则的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】∵a是有理数，∴可为正数、负数、零．由绝对值的非负性可知：，∴，即：的最小值是，故选：C．【变式3-2】若，则．【答案】【解析】∵，∴，，∴，，∴，故答案为：．【变式3-3】已知数，，满足，请回答问题：

(1)请直接写出，，的值：_______，________，________．(2)数轴上，，三个数所对应的点分别为，，，则，两点的距离可表示为_______，数轴上有一点，它表示的数为．若，则点表示的数是______．(3)点和点分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度同时向右运动，设运动时间为．①当时，求的长；②当，两点的距离为时，求的值．【解析】（1）∵，且，，，∴，，，即，，，则，故答案为：，，．（2），，则或，故答案为：，或．（3）∵点和点分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度同时向右运动，设运动时间为，则点运动的长度为：，点运动的长度为：；即秒时，点对应数轴上的点为，点对应数轴上的点为，①当时，的距离为；②当B，C两点的距离为2时，即，解得：或，即当或时，，两点的距离为2．考点四：有理数的运算【典例4】计算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）．【变式4-1】计算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）．【变式4-2】计算：．【解析】原式.【变式4-3】计算：．【解析】原式．【变式4-4】计算：．【解析】．考点五：有理数的实际应用【典例5】有8筐白菜，以每筐25千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：1，4，2，，1，，，，求：(1)这8筐白菜一共多少千克？(2)如果每千克白菜能卖5元，这8筐白菜共能卖多少元？【解析】（1）由题意得：（千克），∴这8筐白菜一共201千克；（2）由题意得：（元），∴这8筐白菜共能卖1005元．【变式5-1】检修工乘汽车沿东西方向检修电路，规定向东为正，向西为负，某天检修工从O地出发，到收工时行程记录为：单位：千米，，，，，，，，，(1)收工时，检修工在O地的哪边？距O地多远？(2)若每千米耗油升，从O地出发到收工时，共耗油多少升？【解析】（1）（千米）；答：收工时，检修工在地的西边，距地1千米；（2）(千米)，(升)，答：共耗油18.3升．【变式5-2】某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产自行车100辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入．下表是某周的自行车生产情况（超过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆）：星期一二三四五六日增减(1)根据记录可知前三天共生产自行车__________________辆．(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产__________________辆．(3)若该厂实行按生产的自行车数量的多少计工资，即计件工资制．如果每生产一辆自行车就可以得到人民币60元．一周超额完成任务，每超一辆可多得15元；不足计划数的，每少生产一辆扣20元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少？【解析】（1）（辆），故答案为：303；（2）（辆），故答案为：27；（3），（元）．答：该厂工人这一周的工资总额是42675元．过关检测一、选择题1．下列四个数中，属于负数的是（

）A． B．3 C． D．0【答案】A【解析】-3是小于0的数，是负数，故选项A正确；3是大于0的数是正数，故选项B不正确；是大于0的数是正数，故选项C不正确；0不是负数，故选项D不正确．故选A．2．在，，0，1.7这4个数中绝对值最大的数是（

）A． B． C．0 D．1.7【答案】A【解析】|-5|=5，|-3|=3，|0|=0，|1.7|=1.7，∵5>3>1.7>0，∴绝对值最大的数为-5，故选:A.3．有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据数轴可得且，且，由此可得，故A选项错误；，故B选项错误；，故C选项正确；，故D选项错误．故选C．4．一种巧克力的质量标识为“克”，则下列质量合格的是（

）A．95克 B．99.8克 C．100.6克 D．101克【答案】B【解析】巧克力的质量在克到克的范围内即99.5克~100.5克之间，四个选项中只有B选项符合，故选B.5．下列说法不正确的是（

）A．0既不是正数，也不是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．1是绝对值最小的有理数 D．0的绝对值是0【答案】C【解析】A、0既不是正数，也不是负数，正确，故此选项不符合题意；B、整数和分数统称有理数，所以一个有理数不是整数就是分数，正确，故此选项不符合题意；C、绝对值最小的数是0，所以1是绝对值最小的有理数说法错误，故此选项符合题意；D、0的绝对值是0，正确，故此选项不符合题意．故选：C．6．2022年6月5日上午10时44分07秒，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射升空，顺利将3名中国航天员送入太空，3名航天员将在距离地球约388600米的中国空间站驻留6个月．其中388600用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】．故选：D．7．下列去括号正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】A.，故本选项正确，符合题意；B.∵，故本选项错误，不符合题意；C.∵，故本选项错误，不符合题意；D.∵，故本选项错误，不符合题意．故选：A．8．式子与互为相反数，则的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】解：∵与互为相反数，∴，解得：．故选B．二、填空题9．﹣2的倒数是．【答案】【解析】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以的倒数为．故答案为：．10．用四舍五入法对3.14取近似数精确到个位的结果是．【答案】3【解析】解：3.14≈3（精确到个位）．故答案为3．11．若，则的值为．【答案】3【解析】根据题意得，a+3=0，b-2=0，解得a=-3，b=2，所以，a+3b=-3+3×2=-3+6=3．故答案为3．三、解答题12．