2025年大学《应用统计学》专业题库- 时间序列分析在经济预测中的应用

2025年大学《应用统计学》专业题库——时间序列分析在经济预测中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共20分。请将正确选项的字母填在括号内）1.时间序列数据按其数值随时间变化的方式，可分为（）。A.定量数据和定性数据B.观测数据和实验数据C.平稳序列和非平稳序列D.时间序列和截面数据2.在时间序列分解中，加法模型假设序列的各成分（）。A.之间存在交互作用B.之间不存在交互作用C.乘积关系D.线性关系3.对于一个平稳时间序列X(t)，其自相关系数ρ_k满足（）。A.ρ_k随k增大而增大B.ρ_k随k增大而恒等于1C.ρ_k随k增大而趋于0D.ρ_k仅与序列均值有关4.模型AR(1)：X(t)=φX(t-1)+ε(t)，其中ε(t)是白噪声，若要求该模型是平稳的，则φ必须满足（）。A.|φ|>1B.|φ|<1C.φ=0D.φ=15.移动平均模型MA(1)：X(t)=ε(t)+θε(t-1)，其中ε(t)是白噪声，该模型的（）。A.自相关系数ρ_1=0,ρ_2=θB.自相关系数ρ_1=θ,ρ_2=0C.自相关系数ρ_k=θ^k,k≥0D.自相关系数ρ_k=0,k≥26.当一个非平稳时间序列通过d次差分后变为平稳序列，则该序列可拟合的模型是（）。A.AR(1)B.ARIMA(p,d,q)C.MA(1)D.SARIMA(p,d,q,s)7.模型选择准则AIC主要用于比较（）。A.不同样本量的模型B.包含不同变量数的模型C.不同自回归阶数的模型D.模型的拟合优度与复杂度的平衡8.季节性ARIMA模型SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s中，参数P,D,Q分别代表（）。A.非季节性自回归、差分、移动平均阶数B.季节性自回归、季节性差分、季节性移动平均阶数C.总自回归阶数、总差分次数、总移动平均阶数D.长期趋势、季节趋势、随机波动9.在时间序列预测中，衡量预测误差大小的常用指标是（）。A.自相关系数B.偏自相关系数C.平均绝对百分比误差（MAPE）D.决定系数R²10.如果一个时间序列的样本自相关函数（ACF）呈现缓慢衰减的趋势，而偏自相关函数（PACF）在第一阶后截尾，则比较合适的模型是（）。A.AR(1)B.MA(1)C.ARMA(1,1)D.ARIMA(1,1,0)二、填空题（每空2分，共20分。请将答案填在横线上）1.时间序列分析旨在研究数据点随______变化的规律性。2.如果时间序列的统计特性（如均值、方差）不随时间变化，则称其为______序列。3.检验时间序列平稳性的常用统计检验方法是______检验。4.模型ARIMA(1,1,1)的自回归系数φ，移动平均系数θ满足______条件才能保证模型平稳。5.对于季节性数据，若季节周期长度为s，则季节性ARIMA模型中需要考虑______项。6.时间序列分解的方法主要有______分解和______分解。7.在进行时间序列建模前，通常需要对方差非齐性的序列进行______处理。8.统计软件在时间序列分析中可用于数据导入、______、预测生成和结果可视化等。9.点预测是指对未来某个时期给出一个______的预测值。10.若时间序列模型拟合良好，但预测效果不佳，可能的原因之一是______。三、简答题（每小题5分，共15分）1.简述时间序列数据与非时间序列数据（如截面数据）的主要区别。2.解释自相关系数（ACF）的定义及其在时间序列分析中的作用。3.简述使用Box-Jenkins方法建立ARIMA模型的主要步骤。四、计算题（每小题10分，共20分）1.已知一个平稳时间序列{X(t)}的均值μ=0，自协方差函数γ_k=2*(-0.5)^k。求其自相关系数ρ_k。2.某经济指标的时间序列数据拟合了ARIMA(1,1,1)模型，模型参数估计值为φ̂=0.6,θ̂=0.4。若已知t时刻的观测值为X(t)=100，且白噪声项ε(t-1)的值为2。请计算t+1时刻的预测值（不考虑预测误差）。五、分析题（共15分）假设你正在分析某城市月度居民消费支出数据（单位：亿元）。通过观察时间序列图和计算自相关函数（ACF）与偏自相关函数（PACF），初步判断该序列可能需要差分，并且存在明显的季节性（以12个月为一个周期）。经过差分和平稳性检验后，确定了合适的SARIMA模型为SARIMA(1,1,1)(0,1,1)12。模型拟合后，得到了以下部分输出信息（此处仅示意，非真实结果）：*常数项估计值：常数项̂=0.8*季节自回归系数估计值：φ̂₁,₁₂=0.3*季节差分系数估计值：D̂=0.5*季节移动平均系数估计值：θ̂₁₂=0.6*模型拟合优度检验：AIC=150,BIC=155请基于以上信息，简要回答以下问题：(1)该SARIMA(1,1,1)₁₂模型中，参数φ̂₁₂,D̂,θ̂₁₂分别代表什么含义？(2)如何解释该模型的AIC和BIC值？它们在模型选择中有什么作用？(3)假设当前时期为t，若该模型已用于预测，请写出t+12时刻（下一年同月）消费支出的预测公式（表达式即可，无需代入数值计算）。试卷答案一、选择题1.C2.B3.C4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A二、填空题1.时间2.平稳3.ADF(或单位根)4.|φ|<1且|θ|<15.2(或P)6.乘法；加法7.差分8.模型拟合（或参数估计）9.单一10.模型设定不当（或存在未建模的确定性趋势/季节性）三、简答题1.解析思路：时间序列数据是按时间顺序排列的，具有动态性和相关性；截面数据是在同一时间点上不同个体或单位的观测值，通常假设个体之间相互独立。关键区别在于数据的时间顺序和个体独立性。2.解析思路：自相关系数ρ_k是时间序列X(t)与X(t-k)之间线性相关程度的度量，取值范围在[-1,1]之间。ρ_k=0表示t与t-k时刻数据不相关；ρ_k越接近±1表示相关性越强。在时间序列分析中，ACF用于判断序列的平稳性、季节性，以及辅助选择ARIMA模型的阶数。3.解析思路：Box-Jenkins方法建立ARIMA模型的步骤通常包括：1)数据预处理（检查平稳性，差分直至平稳）；2)模型识别（绘制ACF/PACF图，分析自相关结构，初步选择模型形式p,d,q）；3)参数估计（通常使用极大似然估计或最小二乘法估计模型参数）；4)模型诊断（检验残差白噪声性，如通过ACF/PACF图、Ljung-Box检验等）；5)模型修正（若诊断不通过，则返回步骤2或3调整模型形式或参数）；6)模型预测。四、计算题1.解析思路：根据平稳序列自协方差函数与自相关系数的关系γ_k=γ₀*ρ_k。由题γ₀=2。利用ρ_k=γ_k/γ₀，计算ρ₀=1,ρ_1=γ_1/γ₀=2*(-0.5)/2=-0.5,ρ_2=γ_2/γ₀=2*(-0.5)^2/2=0.25,ρ_3=γ_3/γ₀=2*(-0.5)^3/2=-0.125,...，观察规律ρ_k=(-0.5)^k。答案：ρ_k=(-0.5)^k,k≥0。2.解析思路：根据ARIMA(1,1,1)模型定义：X(t)=φX(t-1)+θε(t-1)+ε(t)一阶差分ΔX(t)=X(t)-X(t-1)=φX(t-1)+θε(t-1)+ε(t)-X(t-1)ΔX(t)=(φ-1)X(t-1)+θε(t-1)+ε(t)对于ARIMA(1,1,1)，差分后模型应接近AR(φ-1)+MA(θ)。题目给定t时刻值X(t)=100，ε(t-1)=2。要求t+1时刻预测值，即预测ΔX(t)。根据差分方程：ΔX(t)=(φ-1)X(t-1)+θε(t-1)+ε(t)由于预测是基于模型，通常假设未来白噪声ε(t)和ε(t+1)的期望为0，且ε(t+1)与过去信息（包括X(t-1)和ε(t-1)）不相关。最简单的一步预测（不考虑ε(t)）：预测ΔX(t)=φX(t-1)+θε(t-1)(忽略ε(t)项)代入参数和给定值：预测ΔX(t)=0.6*100+0.4*2=60+0.8=60.8。最终预测值X(t+1)=X(t)+预测ΔX(t)=100+60.8=160.8。但题目要求“不考虑预测误差”，通常指仅基于模型结构和当前已知信息的最优预测。因此，t+1时刻的预测值应直接由差分方程的右侧项决定（忽略ε(t)）：预测X(t+1)=X(t)+预测ΔX(t)=X(t)+φX(t-1)+θε(t-1)=100+0.6*100+0.4*2=100+60+0.8=160.8。答案：160.8。五、分析题(1)解析思路：参数φ̂₁₂=0.3表示模型中季节自回归项的系数，衡量t时刻的值对t-12时刻值的依赖程度，即12个月前的信息对当前（或下一个月）预测的贡献。D̂=0.5表示季节差分系数，衡量季节差分（Δ_X(t)-Δ_X(t-12)）对序列平滑的影响程度。θ̂₁₂=0.6表示季节移动平均项的系数，衡量t时刻的值与t-12时刻的白噪声误差项之间的依赖关系。(2)解析思路：AIC和BIC是模型选择信息准则，用于比较不同模型的拟合优度与复杂度。AIC=2k-2ln(L)，BIC=kln(n)-2ln(L)，其中k是模型参数个数，n是样本量，L是模型似然函数值。AIC倾向于选择参数较多（更复杂）但拟合效果稍好的模型。BIC倾向于选择参数较少（更简单）的模型，因为它对复杂度（参数个数k）施加了惩罚。较小的AIC/BIC值通常表示模型在给定数据上具有更好的平衡。在此例中，AIC=150小于BIC=155，如果仅基于这两个值，AIC对应的模型可能被认为拟合略优或复杂度略低（取决于n和k的具体值）。它们的作用是提供一个量化标准来辅助选择“最佳”模型。(3)解析思路：根据SARIMA(1,1,1)₁₂模型定义：Δ_X(t)=(φ₁-1)X(t-1)+φ₁₂X(t-12)+θ₁₂ε(t-1)+ε(t)预测t+12时刻值，即X(t+12)。利用差分关系X(t+12)=X(t+12)-X(t)=Δ_X(t+11)+X(t)。将t+11代入差分方程：Δ_X(t+11)=(φ₁-1)X(t+10)+φ₁₂X(t+11-12)+θ₁₂ε(t+11-1)+ε(t+11)=(φ₁-1)X(t+10)+φ₁₂X(t+11-12)+θ₁₂ε(t+10)+ε(t+11)=(φ₁-1)X(t+10)+φ₁₂X(t-1)+θ₁₂ε(t+10)+ε(t+11)假设长期预测下，ε(t+10)和ε(t+11)的预测值为0，且远期历史信息X(t-1)对当前预测影响也趋于0（或忽略），则Δ_X(t+11)≈(φ₁-1)X(t+10)。因此，X(t+12)≈Δ_X(t+1