2025年大学《应用统计学》专业题库- 统计学专业的应用案例探讨

2025年大学《应用统计学》专业题库——统计学专业的应用案例探讨考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、假设某连锁超市希望了解其顾客的年龄分布情况，并希望分析不同年龄段顾客对其新推出的某款健康饮料的购买意愿是否存在显著差异。为此，超市随机抽取了1000名近期购物的顾客，记录了他们的年龄（单位：岁）以及是否购买了该健康饮料（是=1，否=0）。收集到的年龄数据呈现近似正态分布，标准差为8岁。购买该健康饮料的顾客共有280名。请基于以上背景信息，完成以下分析：1.描述该超市顾客样本的年龄分布特征（例如，使用合适的集中趋势和离散程度度量）。2.计算购买该健康饮料顾客的样本比例，并构建该比例的95%置信区间。3.提出检验“不同年龄段顾客购买该健康饮料的意愿存在显著差异”的原假设和备择假设。4.假设将顾客按年龄分为三组：GroupA（年龄小于30岁）、GroupB（年龄在30岁至50岁之间）、GroupC（年龄大于50岁）。请说明你会选择哪种统计方法来检验该假设，并简要说明理由。如果选择参数检验方法，请说明需要满足哪些假设条件。5.简要说明如果选择非参数检验方法，其基本原理是什么。二、一家房地产公司希望评估房屋价格（Y，单位：万元）与其面积（X1，单位：平方米）、房龄（X2，单位：年）以及是否拥有地下室（X3，是=1，否=0）之间的关系。他们收集了50套已售房屋的数据，并使用统计软件进行了线性回归分析。部分输出结果如下：*回归模型：Ŷ=β0+β1X1+β2X2+β3X3*β1的估计值为120，p值为0.003。*β2的估计值为-5，p值为0.150。*β3的估计值为20，p值为0.045。*模型的总决定系数R²为0.65，调整后的决定系数R²为0.63。*F检验的p值为0.000。请基于以上信息，完成以下分析：1.解释β1,β2,β3的经济含义。2.判断面积、房龄和是否拥有地下室对房屋价格是否有显著影响（请分别说明）。3.解释R²和调整后R²的含义，并比较两者的差异及原因。4.简述你对模型整体拟合优度的评价。5.如果该房地产公司想预测一套90平方米、房龄15年且拥有地下室的房屋价格，请给出预测值。并解释这个预测值的含义。三、某医院想知道两种不同的治疗方法（A和B）对于降低高血压患者的收缩压效果是否存在差异。他们随机选取了60名高血压患者，其中30名接受治疗A，30名接受治疗B。经过一个月的治疗后，记录了所有患者的收缩压变化量（单位：mmHg）。数据初步分析显示，两组治疗后的收缩压变化量数据均近似服从正态分布，且两组数据的方差大致相等。请基于以上背景信息，完成以下分析：1.为了检验两种治疗方法的收缩压变化量是否存在显著差异，请写出相应的零假设和备择假设。2.说明你会选择哪种统计检验方法，并简要说明理由。3.如果检验结果显示拒绝零假设，请解释这意味着什么。并列出至少两种可能导致这种结果的原因分析。4.如果检验结果显示无法拒绝零假设，请提出一种可能的解释，并说明在这种情况下，医院是否应该完全放弃治疗B。5.简述在什么情况下，即使方差不等，你仍然可能选择使用t检验来比较两组均值。四、一家制造企业关心其产品的质量稳定性。具体而言，他们关注产品重量这一关键指标。历史上，该产品的重量服从正态分布，均值μ为100克，标准差σ为1.5克。为了监控当前生产过程是否正常，质检部门决定每天抽取50件产品，测量其重量。假设今日抽样的50件产品重量的样本均值为99.5克。请基于以上信息，完成以下分析：1.提出检验今日生产过程的产品重量均值是否仍为100克的零假设和备择假设。2.说明你会选择哪种统计检验方法，并简要说明理由。3.计算检验的p值（或给出p值所在的范围）。4.假设质检部门设定显著性水平α为0.05，请根据p值（或p值范围）做出统计决策，并解释该决策的含义。5.如果实际生产中产品重量标准差可能发生变化，这对你的检验方法选择和决策有何影响？请简要说明。试卷答案一、1.年龄的集中趋势可用均值或中位数衡量，离散程度可用标准差或方差衡量。由于数据近似正态分布，均值是合适的集中趋势度量。样本均值为μ=280/1000=0.28（注意：此处题目给出标准差为8岁，但未给出均值，通常此类题目会隐含均值或要求计算，若需计算均值需补充信息或按比例估算，此处按题目要求描述性统计量）。标准差为8岁。因此，年龄分布特征可描述为：样本顾客的平均年龄约为μ岁，年龄数据的标准差为8岁，整体呈近似正态分布。2.购买比例p̂=280/1000=0.28。95%置信区间的计算公式为p̂±z*(√(p̂(1-p̂)/n))，其中z为1.96（对应95%置信水平）。区间=0.28±1.96*√(0.28*0.72/1000)≈0.28±1.96*0.0169≈0.28±0.0331。因此，95%置信区间约为(0.2469,0.3131)。3.H0:不同年龄段顾客购买意愿无显著差异(即各年龄组的购买比例相同)。H1:不同年龄段顾客购买意愿存在显著差异(即至少有一个年龄组的购买比例与其他不同)。4.方法选择：应使用卡方检验（Chi-squareTestforIndependence）或费舍尔精确检验（Fisher'sExactTest，当样本量较小时）。理由：此问题是比较两个或多个分类变量之间是否存在关联性（年龄组别是分类变量，购买意愿是分类变量），卡方检验适用于此类列联表分析。若选择参数检验，需要满足：1)各组的样本量足够大（通常每组>30）；2)各组的比例近似正态分布（可通过样本比例的正态性检验判断）；3)独立性假设。这些条件若不满足，参数检验结果可能不可靠。5.非参数检验的基本原理：不依赖于数据的特定分布形态，通过比较样本的秩（rank）或频率分布来检验假设。例如，卡方检验通过比较观察频数和期望频数（基于零假设）的差异来判断分类变量间是否存在关联。二、1.β1的经济含义：面积每增加1平方米，在其他变量不变的情况下，预计房屋价格将增加120万元。2.影响判断：*面积(β1=120,p=0.003)：<0.05，有显著影响。*房龄(β2=-5,p=0.150)：<0.05，无显著影响（p值大于0.05）。*是否拥有地下室(β3=20,p=0.045)：<0.05，有显著影响。结论：面积和是否拥有地下室对房屋价格有显著正向影响，房龄在本模型中无显著影响。3.R²(0.65)表示该回归模型能解释房屋价格变异性的65%。调整后R²(0.63)表示在考虑了模型中所有自变量的情况下，调整后的模型能解释房屋价格变异性的63%。调整后R²小于R²，这是因为调整R²考虑了模型中自变量的数量，并会随着自变量增加而下降（除非这些自变量对模型有显著的增量解释能力）。调整R²通常被认为更稳健，因为它惩罚了不必要自变量的加入。4.模型整体拟合优度较好。依据是调整后的R²为0.63，这意味着模型解释了因变量（房屋价格）约63%的变异，这是一个相对较高的比例，表明模型具有一定的解释力和预测能力。同时，F检验的p值（0.000）远小于0.05，表明模型整体是显著的，即至少有一个自变量对Y有显著的线性影响。5.预测值=β0+β1*90+β2*15+β3*1=β0+120*90-5*15+20*1=β0+10800-75+20=β0+10745。这个预测值表示，根据当前回归模型，预计一套90平方米、房龄15年且拥有地下室的房屋价格为β0+10745万元。注意：此预测值依赖于模型参数（包括未给出的β0）的有效性，且是基于样本数据对总体规律的估计。三、1.H0:治疗A与治疗B的收缩压变化量均值相等(μA=μB)。H1:治疗A与治疗B的收缩压变化量均值不相等(μA≠μB)。2.方法选择：使用独立样本t检验（IndependentSamplest-test）。理由：目的是比较两个独立组（接受治疗A和接受治疗B的两组患者）的连续型数据（收缩压变化量）的均值是否存在差异，且已知两组数据均近似正态分布，且方差相等（或题目暗示相等），满足独立样本t检验的条件。3.若检验结果拒绝H0，意味着有统计证据表明两种治疗方法的收缩压变化量均值存在显著差异。这并不直接说明哪种方法“更好”，只说明它们的效果在统计上不同。可能的原因分析包括：治疗方法本身的效力差异、患者基线条件的差异、随机误差等。4.若检验结果无法拒绝H0，意味着没有足够的统计证据表明两种治疗方法的收缩压变化量均值存在显著差异。这可以解释为两种方法的效果可能相似。在这种情况下，医院不应完全放弃治疗B。理由：统计上的不显著不等于实际效果上的无差异。可能存在效应量（effectsize）很小、样本量不足无法检测出差异、测量误差、或B方法在其他方面（如成本、副作用、患者偏好）有优势。医院应结合统计结果和临床意义、成本效益等多方面因素做决策。5.即使方差不等，如果样本量足够大（例如，较大的n导致检验对方差不敏感），或者两组方差差异不大，仍可能使用独立样本t检验（检验结果可能仍有效）。另一种选择是使用Welch'st检验，它不假设两组方差相等，能提供更稳健的结果。此外，可以使用非参数的Mann-WhitneyU检验来比较两组中位数是否存在差异。四、1.H0:今日生产过程的产品重量均值仍为100克(μ=100)。H1:今日生产过程的产品重量均值不为100克(μ≠100)。2.方法选择：使用单样本z检验（One-samplez-test）。理由：目的是检验单个样本（今日抽取的50件产品）的均值（99.5克）是否显著偏离已知的总体均值（100克），且已知总体标准差（σ=1.5克），样本量较大（n=50），满足z检验的条件。3.检验统计量z=(样本均值-总体均值)/(总体标准差/√样本量)=(99.5-100)/(1.5/√50)=-0.5/(1.5/7.071)=-0.5/0.2121≈-2.36。查标准正态分布表或使用计算器，得到双侧检验的p值约为2*P(Z<-2.36)≈2*0.0091≈0.0182。4.显著性水平α=0.05。由于计算得到的p值(0.0182)<α(0.05)，因此拒绝H0。决策含义：有足够的统计证据表明今日生产过程的产品重量均值与标准值100克存在显著差异。5.如果实际生产中产品重量标准差可能发生变化，对检验的影响：*若使用z检验：需要知道新的总体标准差σ'才能计算检验统计量和