2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 量子力学中的线性代数与算符理论

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——量子力学中的线性代数与算符理论考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设$V$是实数域$\mathbb{R}$上的$n$维向量空间，$\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n$是$V$的一组基。定义$V$上的线性变换$T$如下：$$T(\mathbf{e}_i)=\mathbf{e}_{i+1},\quadi=1,2,\dots,n-1,\quadT(\mathbf{e}_n)=\mathbf{e}_1.$$1.求$T$在基$\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n$下的矩阵表示。2.证明$T$是可逆的，并求$T^{-1}$在基$\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n$下的矩阵表示。二、设$\mathbf{A}$是$n$阶实对称矩阵，且$\mathbf{A}^2=\mathbf{A}$。证明：1.$\mathbf{A}$的特征值只能是0或1。2.存在正交矩阵$\mathbf{Q}$，使得$\mathbf{Q}^T\mathbf{A}\mathbf{Q}$为对角矩阵，且对角线元素仅为0或1。三、考虑量子力学中的粒子在无限深势阱中运动，其波函数为$\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{\pix}{a}\right)$，其中$0<x<a$。定义算符$\hat{L}=-i\hbar\frac{d}{dx}$。1.求$\hat{L}$作用在$\psi(x)$上的结果。2.证明$\hat{L}$的本征值为$-\hbar\frac{\pi}{a}$，并求对应的本征函数。四、设$\hat{H}$是量子力学系统中的哈密顿算符，$\hat{H}$具有完备的本征函数系$\{\phi_n\}$，对应的本征值为$E_n$。定义算符$\hat{A}$为$\hat{A}=\sum_{n=1}^\inftyE_n\langle\phi_n|\hat{A}|\phi_n\rangle\phi_n$。1.证明$\hat{A}$是一个有界算符。2.若$\hat{A}$是厄米算符，证明$\hat{A}$的本征值是实数。五、考虑一维谐振子，其哈密顿算符为$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2$，其中$\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partialx}$，$\hat{x}$是位置算符。定义动量算符$\hat{p}$和位置算符$\hat{x}$的对易子$[\hat{p},\hat{x}]$。1.求$[\hat{p},\hat{x}]$。2.证明存在算符$\hat{N}=\hat{p}\hat{x}-\frac{1}{2m\omega}\hat{H}$，使得$\hat{N}$的本征值是量子数$n$，且对应的本征值为$n(n+1)$。六、设$\hat{S}_z$是自旋$\frac{1}{2}$粒子的$z$分量算符，其本征值为$\pm\frac{\hbar}{2}$，对应的本征函数分别为$\alpha$和$\beta$。定义算符$\hat{S}_x=\frac{\hbar}{2}\left(\alpha|\beta\rangle+\beta|\alpha\rangle\right)\left(\alpha\langle\beta|+\beta\langle\alpha|\right)$。1.求$\hat{S}_x$的本征值和本征函数。2.计算$\hat{S}_x^2$的期望值，假设粒子处于$\alpha$态。试卷答案一、1.$T$在基$\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n$下的矩阵表示为$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}0&0&0&\cdots&0\\1&0&0&\cdots&0\\0&1&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1\end{pmatrix}$。2.$T^{-1}$在基$\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n$下的矩阵表示为$\mathbf{A}^{-1}=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\0&0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&1\\1&0&0&\cdots&0\end{pmatrix}$。解析思路：1.根据线性变换的定义，计算$T(\mathbf{e}_i)$在基$\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n$下的坐标，并将这些坐标作为矩阵$\mathbf{A}$的列向量。2.由于$T$是一个循环移位变换，其逆变换是将向量循环左移一位，因此$\mathbf{A}^{-1}$也是循环移位矩阵，方向相反。二、1.令$\lambda$为$\mathbf{A}$的特征值，$\mathbf{v}$为对应的特征向量，则$\mathbf{A}\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$。由于$\mathbf{A}^2=\mathbf{A}$，有$\mathbf{A}^2\mathbf{v}=\mathbf{A}\mathbf{v}$，即$\lambda^2\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$。因为$\mathbf{v}\neq0$，所以$\lambda(\lambda-1)=0$，得$\lambda=0$或$\lambda=1$。2.由于$\mathbf{A}$是实对称矩阵，根据实对称矩阵的性质，存在正交矩阵$\mathbf{Q}$，使得$\mathbf{Q}^T\mathbf{A}\mathbf{Q}$为对角矩阵。由第1问可知，对角线元素只能是0或1。三、1.$\hat{L}\psi(x)=-i\hbar\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{\pix}{a}\right)\right)=-i\hbar\frac{\pi}{a}\sqrt{\frac{2}{a}}\cos\left(\frac{\pix}{a}\right)=-\hbar\frac{\pi}{a}\psi(x)$。2.由第1问的结果可知，$-\hbar\frac{\pi}{a}$是$\hat{L}$的一个本征值，对应的本征函数为$\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{\pix}{a}\right)$。四、1.对于任意向量$|\psi\rangle$，有$$\|\hat{A}|\psi\rangle\|^2=\langle\psi|\hat{A}^2|\psi\rangle=\langle\psi|\left(\sum_{n=1}^\inftyE_n\langle\phi_n|\hat{A}|\phi_n\rangle\phi_n\right)^2|\psi\rangle=\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\inftyE_nE_m\langle\psi|\phi_n\rangle\langle\phi_n|\hat{A}|\phi_m\rangle\langle\phi_m|\phi_n\rangle|\psi\rangle=\sum_{n=1}^\inftyE_n^2|\langle\phi_n|\psi\rangle|^2\leq\sum_{n=1}^\inftyE_n^2\|\psi\|^2.$$因此，$\|\hat{A}|\psi\rangle\|\leq\max_{n}E_n\|\psi\|$，即$\hat{A}$是有界算符。2.由于$\hat{A}$是厄米算符，对于任意向量$|\psi\rangle$和$|\phi\rangle$，有$\langle\psi|\hat{A}|\phi\rangle=\langle\phi|\hat{A}|\psi\rangle^*$。令$|\psi\rangle=|\phi\rangle=|\phi_n\rangle$，则$\langle\phi_n|\hat{A}|\phi_n\rangle=\langle\phi_n|\hat{A}|\phi_n\rangle^*$，即$\langle\phi_n|\hat{A}|\phi_n\rangle$是实数。因此，$\hat{A}$的本征值$E_n=\langle\phi_n|\hat{A}|\phi_n\rangle$是实数。五、1.$[\hat{p},\hat{x}]=\hat{p}\hat{x}-\hat{x}\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partialx}\hat{x}-\hat{x}(-i\hbar\frac{\partial}{\partialx})=i\hbar$。2.首先，证明$\hat{N}$是厄米算符：$$\langle\phi|\hat{N}^2|\phi\rangle=\langle\phi|\hat{N}\hat{N}|\phi\rangle=\langle\phi|\hat{N}\left(\hat{p}\hat{x}-\frac{1}{2m\omega}\hat{H}\right)|\phi\rangle=\langle\phi|\hat{N}\hat{p}\hat{x}|\phi\rangle-\frac{1}{2m\omega}\langle\phi|\hat{N}\hat{H}|\phi\rangle.$$由于$\hat{H}$和$\hat{N}$都是厄米算符，$\hat{p}$和$\hat{x}$是反对易的，所以$$\langle\phi|\hat{N}\hat{p}\hat{x}|\phi\rangle=\langle\hat{p}\hat{x}\hat{N}|\phi\rangle=\langle\hat{p}\hat{x}\left(\hat{p}\hat{x}-\frac{1}{2m\omega}\hat{H}\right)|\phi\rangle=\langle\hat{p}\hat{x}\hat{p}\hat{x}|\phi\rangle-\frac{1}{2m\omega}\langle\hat{p}\hat{x}\hat{H}|\phi\rangle=\langle\hat{p}\hat{x}\hat{p}\hat{x}|\phi\rangle-\frac{1}{2m\omega}\langle\hat{p}^2\hat{x}^2|\phi\rangle.$$由于$\hat{p}^2\hat{x}^2=\hat{x}^2\hat{p}^2$，所以$$\langle\hat{p}\hat{x}\hat{p}\hat{x}|\phi\rangle=\langle\hat{x}^2\hat{p}^2|\phi\rangle=\langle\hat{x}^2\hat{p}\hat{p}|\phi\rangle=\langle\hat{x}^2\hat{p}^2|\phi\rangle=\langle\hat{x}^2\hat{p}\hat{p}|\phi\rangle=\langle\hat{x}^2\hat{p}^2|\phi\rangle.$$因此，$$\langle\phi|\hat{N}^2|\phi\rangle=2\langle\hat{p}\hat{x}\hat{p}\hat{x}|\phi\rangle-\frac{1}{2m\omega}\langle\hat{p}^2\hat{x}^2|\phi\rangle=2\langle\hat{p}\hat{x}\hat{p}\hat{x}|\phi\rangle-\frac{1}{2m\omega}\langle\hat{x}^2\hat{p}^2|\phi\rangle=\langle\phi|\hat{N}\hat{N}|\phi\rangle,$$即$\hat{N}^2$是厄米算符，所以$\hat{N}$是厄米算符。其次，证明$\hat{N}$的本征值是量子数$n$，且对应的本征值为$n(n+1)$。考虑谐振子的本征函数$\psi_n(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\frac{1}{\sqrt{2^nn!}}H_n(x)e^{-m\omegax^2/2\hbar}$，其中$H_n(x)$是谐振子厄米多项式。计算$\hat{N}\psi_n(x)$：$$\hat{N}\psi_n(x)=\hat{p}\hat{x}\psi_n(x)-\frac{1}{2m\omega}\hat{H}\psi_n(x)=\left(\frac{\hbar}{2m\omega}\frac{d^2}{dx^2}-\frac{\hbar}{2m}\frac{d}{dx}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\right)\psi_n(x).$$利用谐振子本征函数的性质，可以得到$$\hat{N}\psi_n(x)=\hbar\omega\left(n-\frac{1}{2}\right)\psi_n(x).$$因此，$n-\frac{1}{2}$是$\hat{N}$的本征值，对应的本征函数为$\psi_n(x)$。由于$\hat{N}$的本征值是量子数$n$，所以$\hat{N}$的本征值为$n(n+1)$。六、1.由于$\hat{S}_x$是厄米算符，其本征值是实数。考虑$\hat{S}_x^2$的