2025年大学《数理基础科学》专业题库-微分几何学与流形分析

2025年大学《数理基础科学》专业题库——微分几何学与流形分析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设M是光滑流形。证明：如果M上的两个切向量场X和Y满足[X,Y]=0（其中[X,Y]是李括号），那么X和Y在M的任何点处的线性span(X_p,Y_p)都是平坦的（即在切空间T_pM中是直线）。二、设(M,g)是一个n维黎曼流形，(X^i)是其一个光滑标架场。定义联络系数ω^ij=∂X^i/∂X^j-Γ^k_ijX^k，其中Γ^k_ij是联络系数。证明：对于任何光滑向量场X和Y，有以下恒等式成立：(XY)=X(Y)+g(X,∂Y/∂X^i)ω^ijX^j其中(XY)表示向量场X和Y的张量积，(Y)表示向量场Y的协变导数。三、考虑n维球面S^n上的标准黎曼度量。证明：在S^n上存在唯一的测地线，其长度达到球面周长。并简述证明思路。四、设ω是光滑流形M上的k次闭微分形式。证明：存在唯一的(k+1)次微分形式η，使得dη=ω。即证明闭形式总是外可积的。五、设(M,g)是一个具有常数截面曲率K的n维黎曼流形。证明：M的所有测地线都是平行的。即证明测地线曲率张量为零。六、设π:E→B是一个光滑向量丛的投影映射，X是E上的一个光滑向量场。定义X的下降X_b为B上的一个向量场，其作用在B上任意点b的切向量v_b∈T_bB上为π_*X_b(v_b)。证明：下降X_b满足以下运算法则：(∇_YX_b)=d(π_*(Y))*X_b+π_*([Y,X])其中Y是B上的一个向量场，∇_Y是B上的连接，[Y,X]是X和Y在E上的李括号。七、设(M,g)是一个n维黎曼流形，χ:TM→M是切映射。证明：黎曼度量的对偶度量（即第二基本形式）是(g^ik(∂χ^i/∂x^j)-g^jk(∂χ^j/∂x^i))dx^i⊗dx^j的负数。其中g^ik是g的逆度量，(x^i)是M的局部坐标。八、设M是一个n维光滑流形，L:C∞(M)→C∞(M)是一个线性算子，满足以下条件：1.L(αβ)=L(α)β+αL(β)对所有α,β∈C∞(M)成立。2.L(α|_U)=L(α)|_U对所有α∈C∞(M)和开集U⊆M成立。证明：L是一个微分形式的外微分运算d。试卷答案一、证明：设X_p,Y_p∈T_pM。因为[X,Y]=0，所以对任意函数f∈C∞(M)，有(X(Yf))-(Y(Xf))=0。这表明向量场X和Y在任何点p处“交换”，即X_p(Y_pv)=Y_p(X_pv)对任意v∈T_pM成立。设v=X_p，则Y_p(X_p^2w)=X_p(Y_pw)对任意w∈T_pM成立。设w=Y_p，则Y_p(X_p^2Y_p)=X_p(Y_p^2)=0(因为Y_p(X_pY_p)=0)。由于X_p^2Y_p=0，说明X_p在Y_p的方向上的作用是零或与Y_p正交。考虑X_p和Y_p的线性组合{aX_p+bY_p}。取f=aX+bY，则X(Yf)-Y(Xf)=aX_p(Y_pX_p)+bX_p(Y_pY_p)-aY_p(X_pX_p)-bY_p(X_pY_p)=aX_p(0)+bX_p(0)-aY_p(0)-bY_p(0)=0。由于X_p和Y_p交换，故aX_p+bY_p与X_p和Y_p都交换。对任意v∈T_pM，有(aX_p+bY_p)(X_pv)=X_p((aX_p+bY_p)v)=X_p(aX_pv+bY_pv)=aX_p^2v+bX_p(Y_pv)=aX_p^2v+bX_p(0)=aX_p^2v。同样，(aX_p+bY_p)(Y_pv)=Y_p((aX_p+bY_p)v)=Y_p(aX_pv+bY_pv)=aY_p(X_pv)+bY_p^2v=a(0)+bY_p^2v=bY_p^2v。因此，(aX_p+bY_p)(X_pv)和(aX_p+bY_p)(Y_pv)都在X_p和Y_p的线性span内。由于v是任意向量，这表明aX_p+bY_p也属于X_p和Y_p的线性span。由于a和b的任意性，任意线性组合都在span(X_p,Y_p)内。因此，span(X_p,Y_p)是平坦的，即是一个直线。二、证明：首先计算向量场X和Y的张量积(XY)：(XY)(f)=X(Y(f))=X(g(Y,f))=g(X,g(Y,f))(因为g是对称双线性形式)另一方面，计算g(X,∂Y/∂X^i)ω^ijX^j：(g(X,∂Y/∂X^i)ω^ijX^j)(f)=g(X,∂Y/∂X^i)ω^ijX^j(f)=g(X,∂Y/∂X^i)ω^ijg(X^j,f)=g(X,g(∂Y/∂X^i,X^j)g(X^j,f))=g(X,[Y,X^i]g(X^j,f))=g([Y,X^i],g(X,g(X^j,f)))(因为g是非退化对称双线性形式)=g([Y,X^i],(YX)(f))(因为g(X,g(X^j,f))=(YX)(f))=([X,Y](X^i))(f)(因为g对第一和第二变元是线性的)=(X(Y)(X^i))(f)(因为[X,Y](X^i)=X(Y)(X^i)在切空间内)=(X(Y))(f)因此，(XY)(f)=(X(Y))(f)，即(XY)=X(Y)+g(X,∂Y/∂X^i)ω^ijX^j。三、证明：在球面S^n上，考虑连接北极点P和南极点Q的任意测地线γ(t)。由于测地线长度是测地线函数L(γ)的最小值，令L(t)=L(γ|_I)在区间I=[t_0,t_1]上连续。假设L(t)达到其最大值（即周长）在γ(t_0)=P或γ(t_1)=Q处。不失一般性，设L(t)在t=t_0处达到最大值。计算L(t)在t=t_0处的导数：L'(t_0)=γ'(t_0)·∇_γ(t_0)γ'(t_0)=||γ'(t_0)||^2=0。由于γ(t)是测地线，γ'(t)必须是测地线向量场。因此，γ'(t_0)=0，说明γ在t_0处是静止的。但γ(t_0)=P，P处的所有切向量都在球面平面内，无法构成S^n上的测地线。因此，L(t)不能在P或Q处达到最大值。L(t)必须在(t_0,t_1)内的某点t*处达到最大值。由于L(t)是连续函数，在t*处达到局部最大值，必有L''(t*)≤0。由测地线方程和Frenet-Serret公式，在球面上，测地线曲率κ_g=||γ''(t*)||。L''(t*)=||γ''(t*)||^2=κ_g^2=0。因此，γ''(t*)=0，说明γ(t)在t*处是一条直线段。但由于γ是从P到Q的封闭曲线（回到球面），γ(t)必须是整个球面。唯一可能是γ(t)整条线段都重合于球面的大圆。这条大圆测地线的长度就是球面的周长。唯一性：如果存在另一条大圆测地线γ'(t)也具有相同长度，那么γ(t)和γ'(t)所在的大圆要么重合，要么是球面的相对大圆。若重合，则γ(t)=γ'(t)。若为相对大圆，则它们关于球心对称，每一点的切向量平行（反向），测地线向量场平行（反向），测地线方程相同（仅常数项相反），因此也是同一条测地线（反向）。所以，存在且仅存在一条测地线其长度达到球面周长。四、证明：闭形式ω的外微分dω是一个(k+1)次形式，记为η=dω。我们要证明η的外微分dη=d(dω)=0。根据外微分的性质，d是一个反对称算子，即d(αβ)=dα∧β+(-1)^kα∧dβ。应用这个性质：dη=d(dω)=d(∧_iω^i)=∑_id(ω^i)∧ω^i对每个d(ω^i)再次应用外微分：d(ω^i)=∑_{j<i}(∂ω^i/∂x^j)∧ω^j代入上式：dη=∑_i(∑_{j<i}(∂ω^i/∂x^j)∧ω^j)∧ω^i交换求和顺序：dη=∑_{j<i}∑_i(∂ω^i/∂x^j)∧ω^j∧ω^i令k=i,l=j，则k>l，上式为：dη=∑_{l<k}(∂ω^k/∂x^l)∧ω^l∧ω^k现在考虑dη的反对称性。交换ω^l和ω^k：dη=∑_{l<k}(-1)∧(∂ω^k/∂x^l)∧ω^k∧ω^l=∑_{k>l}(∂ω^k/∂x^l)∧ω^k∧ω^l=∑_{l<k}(∂ω^k/∂x^l)∧ω^k∧ω^l=∑_{l<k}(∂ω^i/∂x^j)∧ω^j∧ω^i这与之前的表达式∑_{l<k}(∂ω^i/∂x^l)∧ω^l∧ω^i相同，但求和指标i和j的范围是对称的（l<k和k>l覆盖了所有可能）。因此，dη=-dη。唯一的可能性是dη=0。这表明η=dω是一个完全微分形式。由Poincaré引理，一个光滑流形上的完全微分形式是局部上外可积的。即存在唯一的(k+1)次形式η'，使得η'=η=dω。因此，闭形式ω外可积，存在唯一的(k+1)次形式η使得dη=ω。五、证明：设(M,g)是具有常数截面曲率K的n维黎曼流形。根据曲率张量的定义，黎曼曲率张量R(X,Y)Z=R(XYZ)-R(YXZ)-R(ZXY)+R(XZY)，其中X,Y,Z是M上的向量场。测地线曲率κ_g(X)定义为κ_g(X)=g(R(X,∂X/∂X^i)X^i,X)，其中X是测地线向量场，∂X/∂X^i是标架基向量。要证明所有测地线都是平行的，即对所有测地线向量场X，有κ_g(X)=0。考虑M上的任意测地线向量场X。由测地线方程，X满足∇_XX=0。计算κ_g(X)：κ_g(X)=g(R(X,∂X/∂X^i)X^i,X)=g(R(X,X)X^i,X)(因为∂X/∂X^i=X^i)=g(∇_XXX^i-∇_{X^i}XX^i+K(X^i)g(X,X),X)(因为R(X,X)=Kg(X,X)在具有常数截面曲率的黎曼流形中)=g(0-∇_{X^i}XX^i+Kg(X,X),X)(因为X是测地线，∇_XX=0)=-g(∇_{X^i}XX^i,X)+Kg(X,X)g(X,X)=-g(∇_{X^i}X,g(X,X^i)X^i)+Kg(X,X)^2(因为g对第一变元线性)=-g(∇_{X^i}X,X^i)+Kg(X,X)^2(因为g(X,X^i)X^i=X^i)=-g(∇_{X^i}X,X^i)+Kg(X,X)^2由于∇_{X^i}X=0(X是测地线)，上式为：κ_g(X)=-g(0,X^i)+Kg(X,X)^2=0+Kg(X,X)^2=Kg(X,X)^2如果K=0，则κ_g(X)=0。如果K≠0，我们需要证明g(X,X)=0。否则κ_g(X)会是K的非零倍数。设X=X^iX^i。由于g是非退化的，X=0意味着X=0。但X是测地线向量场，所以X=0只在平凡情况下成立。然而，如果M中的测地线向量场只能是零向量场，M必须是平凡的（空集或单点）。这与M是一个非平凡流形矛盾。因此，g(X,X)必须为0。因此，κ_g(X)=K(0)^2=0。所以，所有测地线向量场的测地线曲率都为零，即所有测地线都是平行的。六、证明：首先明确下降X_b的定义：X_b=π_*(X_b)，其中π_*:T_bB→T_bB是向量场X_b在点b处的切映射。我们要证明(∇_YX_b)=d(π_*(Y))*X_b+π_*([Y,X])。计算左侧：∇_YX_b=∇_{π_*(Y)}X_b(因为Y是B上的向量场)=π_*(∇_{π_*(Y)}X)(因为π_*是切映射)计算右侧第一项d(π_*(Y))*X_b：d(π_*(Y))=π_*(dY)(因为Y是B上的向量场)dY=[Y,X](因为π:E→B是向量丛的投影，X是E上的向量场)所以d(π_*(Y))=π_*(Y)=X_b因此，d(π_*(Y))*X_b=X_b*X_b=0(因为X_b是向量场，0是零向量场)所以，右侧第一项为0。计算右侧第二项π_*([Y,X])：π_*([Y,X])=[π_*(Y),π_*(X)](因为π_*是向量场映射)=[X_b,X](因为π_*(Y)=X_b,π_*(X)=X)因此，右侧为[X_b,X]。所以，右侧为0+[X_b,X]=[X_b,X]。比较左右两侧：∇_YX_b=[X_b,X]这正是李括号在切映射下的性质。因此，原等式成立。七、证明：设(M,g)是一个n维黎曼流形，(x^i)是M的局部坐标。切映射χ:TM→M在点p∈M处的雅可比矩阵是g^ik(∂χ^i/∂x^j)_{p,q}，其中g^ik是g的逆度量，(χ^i)是切空间T_pM的基向量（自然基）。对偶度量ω:T_pM→T_p*是g的对偶，满足ω(X)=g(X,Y)对所有X,Y∈T_pM。我们需要证明(g^ik(∂χ^i/∂x^j)-g^jk(∂χ^j/∂x^i))dx^i⊗dx^j的负数等于对偶度量。计算ω(X_b)：ω(X_b)=g(X_b,Y_b)(其中Y_b是T_pB在点b处的切向量)=g(π_*(X_b),Y_b)(因为X_b=π_*(X_b))=g(∑_{i}X^i_bdx^i,Y_b)=(∑_{i}X^i_bdx^i)⋅(∑_{j}Y^j_bdx^j)=∑_{i,j}X^i_bY^j_bg(dx^i,dx^j)=∑_{i,j}X^i_bY^j_b(-g^ji)dx^i⊗dx^j(因为g(dx^i,dx^j)=-g^jidx^i⊗dx^j)=∑_{i,j}(-X^i_bg^jiY^j_b)dx^i⊗dx^j令Z=ω(X_b)=∑_{i,j}(-X^i_bg^jiY^j_b)dx^i⊗dx^j。现在考虑形式Z在向量X=∂χ^k/∂x^l下的值：Z(X)=∑_{i,j}(-X^i_bg^jiY^j_b)(∂χ^k/∂x^l)|_bdx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-X^i_bg^jiY^j_b)(∂χ^k/∂x^l|_b)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-X^i_bg^jiY^j_b)(g^kl(∂χ^k/∂x^l|_b))dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-X^i_bg^jiY^j_b)(g^kl(χ^l))dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-X^i_bg^jiY^j_b)(χ^l)g^kldx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)g^kldx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^i⊗dx^j=∑_{i,j}(-χ^lX^i_bg^jiY^j_b)(g^ki)dx^