2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 投影优化问题的推理方法

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——投影优化问题的推理方法考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设H是欧几里得空间V中的闭子空间。证明：对任意向量x∈V，向量x在H上的投影Hx是唯一确定的。二、在R³中，设H为过原点且以(1,1,1)为法向量的平面。考虑向量x=(1,2,3)。1.写出向量x到子空间H的投影Hx的坐标表达式。2.写出向量x在H上的正交投影xH的坐标表达式。三、证明：欧几里得空间V中任一子空间H的投影算子P:V→H是线性算子。四、设C是Rⁿ空间中的一个非空闭凸集。证明：任一向量x₀∈Rⁿ，其到C的投影p是唯一的，当且仅当0不是C的辅助函数f(x)=⟨x,y⟩-d在Rⁿ上的对偶间隙，其中y∈∂f,d=inf_{x∈C}⟨x,y⟩。五、考虑R²中的闭单位圆盘K={x∈R²:||x||≤1}。设x₀=(2,0)∈R²。1.证明：x₀不在K上的投影是唯一的。2.写出x₀在K上的投影p的坐标表达式。六、设A是m×n实矩阵，rank(A)=r。证明：线性方程组Ax=b有解的充要条件是向量b在由A的列向量张成的列空间Col(A)上的投影落在由Aᵀ的行向量张成的行空间Row(A)的正交补空间Row(A)ᶜ中。并解释其几何意义。七、设H₁和H₂是欧几里得空间V中的两个闭子空间，且H₁⊂H₂。证明：对任意x∈V，x在H₁上的投影H₁x总是小于或等于x在H₂上的投影H₂x（即H₁x≤H₂x，在投影范数意义下）。八、证明列夫申斯基（Levenglick）定理：设C是欧几里得空间Rⁿ中的非空闭凸集，x₀是C的一个给定向量。则存在唯一的向量p∈C，使得x₀-p是C的极小范数正交投影（即||x₀-p||≤||x₀-q||对所有q∈C都成立）。九、设S={x∈Rⁿ:Ax≤b,x≥0}是一个非空有界闭凸集，其中A是m×n矩阵，b是m维向量，x≥0表示x的每个分量非负。证明：若x是线性规划问题∑ᵢcᵢxᵢ→mins.t.Ax≤b,x≥0的最优解，则x是可行域S的投影算子P_S在x₀=x上的像点，即x=P_S(x)。十、设C是Rⁿ中的非空闭凸集，x₀∈Rⁿ。定义x₀到C的距离d=inf_{x∈C}||x-x₀||。证明：存在唯一的p∈C，使得d=||x₀-p||，且p是x₀在C上的投影。试卷答案一、证明：假设存在x₁,x₂∈H，使得x=Hx₁=Hx₂。则H(x₁-x₂)=Hx₁-Hx₂=x-x=0。由于H是子空间，0∈H，且投影算子P_H:V→H满足P_H(x)=Hx。因此，H(x₁-x₂)=0等价于P_H(x₁-x₂)=0。由于投影算子是线性的，P_H(0)=0，所以P_H(x₁-x₂)=P_H(x₁)-P_H(x₂)=Hx₁-Hx₂=0。故x₁-x₂=0，即x₁=x₂。因此，投影Hx是唯一的。二、1.解：H的法向量为n=(1,1,1)，单位法向量为n̂=(1/√3,1/√3,1/√3)。投影Hx的坐标为Hx=⟨x,n̂⟩n̂。计算得Hx=⟨(1,2,3),(1/√3,1/√3,1/√3)⟩(1/√3,1/√3,1/√3)=(√3)(1/√3,1/√3,1/√3)=(1,1,1)。所以Hx=(1,1,1)。2.解：xH=x-Hx=(1,2,3)-(1,1,1)=(0,1,2)。三、证明：证明P是线性算子，需证明对任意x,z∈V和标量α,β，有P(αx+βz)=αP(x)+βP(z)。设H的投影算子为P_H。则P_H(αx+βz)=H(αx+βz)。由于H是子空间，满足αx+βz∈H。又因为P_H是投影算子，所以P_H(αx+βz)∈H。另一方面，αP(x)+βP(z)=αH(x)+βH(z)。由于H(x),H(z)∈H，且H是子空间，所以αH(x)+βH(z)∈H。由投影的唯一性，H(αx+βz)=αH(x)+βH(z)。因此，P_H(αx+βz)=αP_H(x)+βP_H(z)，即P(αx+βz)=αP(x)+βP(z)。所以P是线性算子。四、证明：必要性：假设0不是f(x)=⟨x,y⟩-d在Rⁿ上的对偶间隙。根据对偶间隙的定义，存在x₁∈Rⁿ,λ>0使得⟨x₁,y⟩-d<0且⟨x₁,y⟩=λ。此时，0不是辅助函数在x₀=x₁时的值。考虑C的投影p。若p≠x₀，则存在δ>0，使得x₀-p-δy,x₀-p+δy∈C。由于f(x)=⟨x,y⟩-d在C上取到inf，即d=max_{x∈C}⟨x,y⟩，因此对任意x∈C，有⟨x,y⟩≤d。特别地，对x₀-p-δy,x₀-p+δy∈C，有⟨x₀-p-δy,y⟩≤d和⟨x₀-p+δy,y⟩≤d。两式相加得⟨x₀-2p,y⟩≤2d。但⟨x₀-2p,y⟩=⟨x₀,y⟩-2⟨p,y⟩=⟨x₀,y⟩-2d。所以⟨x₀,y⟩-2d≤2d，即⟨x₀,y⟩≤4d。这与d=inf_{x∈C}⟨x,y⟩矛盾，除非d=⟨x₀,y⟩且x₀∈C。因此p=x₀，投影唯一。充分性：假设0是f(x)=⟨x,y⟩-d在Rⁿ上的对偶间隙。则对任意ε>0，存在x₁∈Rⁿ使得⟨x₁,y⟩-d<-ε。设p是x₀的投影。若p≠x₀，则存在δ>0，使得x₀-p-δy,x₀-p+δy∈C。同样地，有⟨x₀-p-δy,y⟩≤d和⟨x₀-p+δy,y⟩≤d。两式相加得⟨x₀-2p,y⟩≤2d。但⟨x₀-2p,y⟩=⟨x₀,y⟩-2d。所以⟨x₀,y⟩-2d≤2d，即⟨x₀,y⟩≤4d。由于0是对偶间隙，存在x₁使得⟨x₁,y⟩-d<-ε。取足够小的ε，使得-ε>⟨x₁,y⟩-d。则⟨x₁,y⟩<d。又因为⟨x₀,y⟩≤4d，所以⟨x₀,y⟩<d+ε<2d。这与d=max_{x∈C}⟨x,y⟩矛盾，除非p=x₀。因此，投影p是唯一的。五、1.证明：单位圆盘K是闭凸集。x₀=(2,0)不在K内（||x₀||=2>1）。根据分离定理的推论，存在非零向量y和标量α，使得对任意x∈K，有⟨x,y⟩≤α，且⟨x₀,y⟩>α。取y=(1,0)，α=1。对任意x=(u,v)∈K，有u²+v²≤1，⟨(2,0),(1,0)⟩=2>1。所以x₀到K的投影是唯一的。2.解：投影p必在K的边界上，即||p||=1。设p=(a,b)。由于p是K的中心在原点的投影，也是x₀=(2,0)在K上的投影，它必须落在连接x₀和K边界上离x₀最近的点处。这条线段是x₀的主轴方向，即x₀与原点的连线上。因此，p必在x轴上，即b=0。所以p=(a,0)。p∈K，所以a²≤1。p是x₀的投影，即p是K边界上离x₀最近的点。计算距离||x₀-p||=||(2-a,0)||=|2-a|。p的坐标为(a,0)，距离为|2-a|。我们需要找到a∈[-1,1]使得|2-a|最小。显然，当a=2时，|2-a|=0，此时p=(2,0)∉K。当a=1时，|2-a|=1，此时p=(1,0)∈K。这是K边界上离x₀最近的点。因此，投影p=(1,0)。六、证明：充要性：(⇒)若Ax=b有解，设x₀是一个解。则b=Ax₀。向量b在Col(A)上的投影为P_C(A)(b)=A(AᵀA)⁻¹Aᵀb=A(AᵀAx₀)⁻¹Aᵀb=A(x₀)=b。所以P_C(A)(b)=b。因此，b-P_C(A)(b)=b-b=0。向量0满足在Row(A)ᶜ中的定义（任何向量的零向量内积都为0）。所以b在Row(A)ᶜ中。(⇐)若b-P_C(A)(b)∈Row(A)ᶜ，则⟨b-P_C(A)(b),aᵀ⟩=0对所有a∈Row(A)都成立。即对任意aᵀA=0(即a∈Row(A))，有⟨b,aᵀ⟩-⟨P_C(A)(b),aᵀ⟩=0。由于P_C(A)(b)∈Col(A)，且aᵀ∈Row(A)，根据正交关系，⟨P_C(A)(b),aᵀ⟩=0。所以⟨b,aᵀ⟩=0。这意味着b与Row(A)正交。即b∈Row(A)ᶜ。因此，Ax=b等价于b∈Row(A)ᶜ。几何意义：Ax=b有解，当且仅当b位于由A的行向量张成的空间Row(A)的正交补空间Row(A)ᶜ中。或者说，b在Row(A)ᶜ中的投影是0。七、证明：设x₀∈V。根据投影的唯一性，x₀在H₁上的投影为p₁=H₁x₀，x₀在H₂上的投影为p₂=H₂x₀。因为H₁⊂H₂，所以对任意x∈H₁，x也属于H₂。因此，当x=x₀时，x₀∈H₂。根据投影的唯一性，p₁=H₁x₀和p₂=H₂x₀必须相等。即p₁=p₂。所以，对任意x∈V，x₀在H₁上的投影H₁x₀总是小于或等于x₀在H₂上的投影H₂x₀（实际上是相等的）。八、证明：必要性：设p是x₀到C的极小范数正交投影。即对任意q∈C，有||x₀-p||≤||x₀-q||。特别地，取q=p。则||x₀-p||≤||x₀-p||，即||x₀-p||=||x₀-p||。这表明p是唯一的。现在证明存在性。根据分离定理，存在非零向量y和标量α，使得对任意x∈C，有⟨x,y⟩≤α，且⟨p,y⟩=α。令y₀=y/||y||，则y₀是单位向量，且对任意x∈C，有⟨x,y₀⟩≤α，且⟨p,y₀⟩=α。考虑函数g(x)=||x-x₀||²=⟨x-x₀,x-x₀⟩=||x||²-2⟨x,x₀⟩+||x₀||²。g(x)在C上取到最小值。设此最小值在p处取得。则p是g(x)在C上的最优解。计算g(x)的梯度∇g(x)=2(x-x₀)。由最优性条件，∇g(p)ᵀ(x-p)≤0对所有x∈C都成立。即2(x-x₀)ᵀ(x-p)≤0对所有x∈C成立。令x=p+ty₀，其中y₀是单位向量，t∈R。因为p+ty₀∈C（由于p∈C且C是凸集），所以(p+ty₀-x₀)ᵀ(y₀)=(ty₀)ᵀ(y₀)=t≤0。因此，2(x-x₀)ᵀ(x-p)=2(ty₀-x₀)ᵀ(y₀)=2t||y₀||²-2⟨x₀,y₀⟩=2t-2⟨x₀,y₀⟩≤0。所以t-⟨x₀,y₀⟩≤0。令t→0，得-⟨x₀,y₀⟩≤0，即⟨x₀,y₀⟩≥0。结合⟨p,y₀⟩=α≥0，有⟨x₀,y₀⟩=-⟨p,y₀⟩=-α≤0。所以⟨x₀,y₀⟩=0。这意味着p是x₀在C上的投影。存在性：根据上述证明，p满足最优性条件，因此存在。且由最优性条件的推导过程，p是唯一的。九、证明：设x是线性规划问题∑ᵢcᵢxᵢ→mins.t.Ax≤b,x≥0的最优解。则x满足K={x∈Rⁿ:Ax≤b,x≥0}的定义，即x∈K。根据投影定理，存在唯一的p∈K，使得x₀=x在K上的投影p满足⟨x₀-p,y⟩≤0对所有y∈∂K都成立。其中∂K是K的有效集（即K的边界上的极点），∂K=∪{Aᵢ:aᵢᵀx=bᵢ,aᵢᵀx≥0,aᵢᵀx=0的解x≥0}。所以对每个有效方向aᵢ，有⟨x-p,aᵢ⟩≤0。将aᵢ替换为A的行向量aᵢᵀ，得到⟨x-p,aᵢᵀ⟩≤0。即xᵀaᵢ-pᵀaᵢ≤0。因为aᵢᵀAx≤bᵢ对所有x∈K成立，令x=p，则Ap≤b。所以xᵀA≤bᵢᵀ。由于p∈K，pᵀA≤bᵢᵀ。因此，xᵀA-pᵀA≤0，即(x-p)ᵀA≤0。由于x是最优解，目标函数在x处取最小值，即cᵀx≤cᵀz对所有满足Ax≤b,x≥0的z都成立。特别地，对可行解p∈K，有cᵀx≤cᵀp。所以cᵀ(x-p)≤0。结合(x-p)ᵀA≤0，即cᵀ(x-p)-(x-p)ᵀA=0。由于x-p≥0，(x-p)ᵀA≥0，所以cᵀ(x-p)≥0。因此，cᵀ(x-p)=0且(x-p)ᵀA=0。结合cᵀ(x-p)≤0和(x-p)ᵀA≤0，得cᵀ(x-p)=0且(x-p)ᵀA=0。所以x-p=0，即x=p。因此，最优解x是可行域K的投影算子P_K在x₀=x上的像点，即x=P_K(x)。十、证明：存在性：设d=inf_{x∈C}||x-x₀||。由inf的定义，存在一个序列{x_k}⊆C，使得||x_k-x₀||→d。因为C是闭集，{x_k}有界（d是有限值），所以存在收敛子序列{x_{k_j}