甘肃省渭源县第一中学2025-2026学年高二上学期第一次质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省渭源县第一中学2025-2026学年高二上学期第一次质量监测数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1.直线的倾斜角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】直线的斜率为，令该直线倾斜角为，则有，而，于，所以直线的倾斜角为.故选：C.2.如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】连接，因为点为的中点，所以.即.故选：C.3.已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，，，所以，，，因为四点共面，所以与共面，即存在唯一实数对，使得，所以，所以，解得．故选：B.4.已知两条不重合直线和，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，则，解得或，当时，的方程均为，故重合，不符题意；当时，：，：，两者平行，符合题意，故C正确.故选：C.5.求点到直线的距离的最大值为（）A.3 B. C. D.5【答案】D【解析】因为直线的方程为，所以直线过定点，所以直线表示过定点的斜率存在的直线，如图，当时，表示点到直线的距离，当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然，所以点到直线距离的最大值为,所以点到直线距离的最大值为.故选：D.6.如图，三棱柱满足棱长都相等且⊥平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面与平面的夹角是（） A.先增大再减小 B.减小 C.增大 D.先减小再增大【答案】D【解析】以AC中点O为坐标原点，OB，OC分别为x，y轴，建立空间直角坐标系．设所有棱长均为2，则，，，，设平面BDE法向量，则，令，则，故．又平面的法向量，故平面与底面所成锐二面角的平面角的余弦值，又，故在上单调递增，上单调递减，即随着x增大先增大后减小，且在单调递减，所以随着x增大先减小后增大．故选：D．7.如图，已知，均为正方形，二面角大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以，设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为.因为，，，，所以，所以，即.解法二：不妨假设正方形与的边长均为2，如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系，则有，，，，由此可得，.设异面直线与所成的角为，则.故选：A.8.《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，，，，若AG⊥平面EFC，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，，，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得，，，，又平面，，，解得.故选：C.二、多选题（每小题6分，共18分）9.已知三棱锥，三棱锥的外接球为球，则下列选项中正确的是（）A.与可能垂直B.与可能垂直C.过棱作球的截面，截面面积可能为D.二面角的余弦值可能为【答案】BCD【解析】A选项，假设与垂直，因为，，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，，所以，由于，故⊥不可能，所以假设不成立，所以与不可能垂直，A错误；B选项，假设与垂直，因为，，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，故当时，满足⊥，所以与可能垂直，B正确；C选项，取的中点，连接，则，故点即为三棱锥的外接球球心，即重合，外接球半径为1，假设截面面积为，设截面半径为，则，解得，此时，满足，，故过棱作球的截面，截面面积可能为，C正确；D选项，过点作⊥于点，因为，所以的夹角即为二面角的平面角，假设二面角的余弦值为，，两边平方得，即，整理得，解得，即重合，即，故二面角的余弦值可能为，D正确.故选：BCD.10.如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（）A B.C.向量与的夹角是 D.与所成角的余弦值为【答案】AC【解析】在平行六面体中，其中以顶点为端点的三条棱长均为1，且彼此夹角都是，所以，.对于A，因为，所以，，故A正确；对于B，因为,且,即不成立，故B错误；对于C，，所以，所以,所以向量与夹角是，故C正确；对于D，，，而，，，故D错误.故选：AC.11.在平面直角坐标系中，已知、为圆上两动点，点，且，为中点，则下列说法正确的是（）A.点在圆内B.C.点的轨迹方程为D.的最大值为【答案】ABD【解析】A．由，则点在圆内，正确.B．因为为弦的中点，由垂径定理知，正确.C．由得且，令，则，整理得，错误.D．点的轨迹方程化为，即轨迹是以为圆心，为半径的圆，故，又，即在圆内，故，而，所以，正确.故选：ABD.三．填空题（每题5分，共15分）12.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______.【答案】【解析】空间向量，，则向量在向量上的投影向量为：.故答案为：13.在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为__________.【答案】【解析】为的中点，，又平面，平面，点到平面的距离即为直线到平面的距离，以点为原点，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则点，，设平面的法向量为，则，令，则，，平面的法向量为，，．故答案为：．14.已知的三个顶点，，，则边上的垂直平分线所在直线的方程为______．【答案】【解析】两点的中点为，即，边所在直线的斜率为，则边上的垂直平分线所在直线的斜率为，则边上的垂直平分线所在直线的方程为，即.故答案为：.四、解答题（5个小题，共77分）15.在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线的方程为，.（1）若，求过点且与直线平行的直线方程；（2）求证：直线经过一个定点，并写出原点到直线距离最大时直线的方程．（1）解：当时，直线l的方程为，斜率为，则过点且与直线l平行的直线方程为，即；（2）证明：由，可得：，由，可得，即直线经过一个定点；由题意可得，当时，原点到直线的距离最大，因为，所以，所以直线的方程为,即.16.如图，在平行六面体中，，（1）求证：；（2）求的长（1）证明：以为基底向量，则，又，所以，所以，所以；（2）解：由（1）可得，所以，所以，所以的长为.17.如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，.（1）求证：A，，，四点共面；（2）若，求的值.（1）证明：，，，，四点共面.（2）解：，，，，.18.如图所示，在四棱锥中，底面，平面平面，．（1）证明：；（2）设，，若二面角的平面角为，求.（1）证明：因为平面，且平面，所以，又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解：由（1）易知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，其中，因为且，可得，则，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，因为二面角平面角为，所以，整理得，解得又因为，所以，即的长为.19.如图①，点，分别在轴正半轴和轴正半轴上运动，且，以为边向外作使得为等边三角形，是的中点.（1）求的最大值；（2）当点运动到时，将沿折叠至，如图②.（i）当时，求平面与平面夹角的余弦值；（ii）当为何值时，直线与平面的夹角正弦值为？解：（1）不妨设，则，，在中，由余弦定理得：因为，所以，故当，即时取等