广西示范性高中2026届高三上学期9月联合调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西示范性高中2026届高三上学期9月联合调研测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，，所以.故选：A.2.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选：D.3.已知函数，若函数在处取得最小值，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数在处取得最小值，，又，所以.故选：D．4.若，则的最小值为（）A.24 B.26 C.32 D.92【答案】C【解析】因为，所以，由基本不等式可得，即，当且仅当时取等，此时解得，，则的最小值为32，故C正确.故选：C.5.已知等差数列的前项和为，满足，则（）A.35 B.40 C.45 D.50【答案】C【解析】由等差数列的性质得，则，所以．故选：C．6.设F为双曲线（，）的右焦点，，分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点F到其中一条渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】双曲线（，）的渐近线方程为，即．，分别为C的两条渐近线的倾斜角，．又，，，．又双曲线的右焦点到其中一条渐近线（不妨取这条）的距离为，，，，双曲线C的焦距为．故选：C.7.已知的展开式中项的系数为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，而展开式中的通项为，，令，得；令，得，则的展开式中项的系数为，解得.故选：A.8.若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知.∵，∴即.∴.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.为等比数列的前项和，为的公比（），，，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】对于等比数列，有，依题意，，解得或（舍），，选项A正确；，选项B错误；对于等比数列，有，因此，选项C错误；对于等比数列，有，，则，选项D正确.故选：AD.10.函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（）A.当时，B.方程有3个不等实根C.函数有最大值D.【答案】ABD【解析】对于A，函数为定义在上的奇函数，当时，，，故A正确；对于B，当时，，解得，时，，解得，又，所以有和0三个零点，故B正确；对于C，当时，，，当时，，递减，时，，递增，∴时，有极小值，时，，，，由是奇函数，∴时，有极大值，又，所以的值域是，故C错误；对于D，由C的讨论知，因此对任意的实数有，，∴，即，故D正确.故选：ABD.11.若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，下列结论正确的是（

）A.点形成的轨迹长度为B.有且仅有一个点使得C.四面体的体积取值范围为D.线段长度最小值为【答案】AC【解析】A选项，由线面角的定义可知，，即，故点所在区域为以为圆心，1为半径的圆在正方形内部部分（包含边界），即圆的，轨迹长度为，A正确；如图，设点的轨迹与交于点，B选项，不妨点与点重合，此时，由余弦定理可得：，则，同理可得：，则，故不止一个点使得，B错误；C选项，如图，平面，平面，所以，且，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，且平面平面，因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离相等，如图，当点在点处时，此时点到平面的距离最大，最大距离为此时四面体的体积为，当与点重合时，此时点到平面的距离最小，最小距离为，因为，所以，所以最小体积为，故四面体的体积取值范围为，C正确；D选项，当取最小值时，线段长度最小，由三角形两边之和大于第三边知：当三点共线时，取得最小值，即，则，D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知一组数据，则这组数据的分位数是_________.【答案】13【解析】由题意得数据共个数，由百分位数位置公式得，而不是整数，向上取整为，而的第个数是13，则这组数据的分位数是13.故答案为：13.13.已知非零向量在向量上的投影向量为，，则________.【答案】【解析】因为非零向量在向量上的投影向量为，所以，故，所以.故答案为：.14.机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______．【答案】【解析】如图，设,因,故，又,由余弦定理，，即,设椭圆中心为,作圆锥的轴截面,与底面直径交于，与椭圆交于，连交于，以点为原点，为轴，建立直角坐标系.则,又由得,从而则得,不妨设椭圆方程为，把和点坐标代入方程，解得，则，故故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角B；（2）若，△ABC的面积为1，求△ABC的周长.【答案】解：（1）因为，所以.又，所以，则，因为，所以，即.由，可得.（2）因为△ABC的面积为1，所以，得.由余弦定理可知，则，所以，故△ABC的周长为.16.已知函数的图象在处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为.（1）求的值；（2）记的极大值点为，证明:.【答案】（1）解：因为，可知的定义域为，且，可得，即切点坐标为，切线斜率为，则切线方程为，令，可得，则切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，解得.（2）证明：由（1）可得：，，，因为在定义域内单调递减，可知在定义域内单调递减，且，可知在定义域内有且仅有1个零点，当时，，即；当时，，即；可知在内单调递增，在内单调递减，所以的极大值点为，又因为，可得，所以.17.由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面.（1）求证：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明：如图所示，取中点，连接，，则由题意且，故四边形是平行四边形，所以且，故且，所以四边形是平行四边形，则.又平面平面，所以平面.（2）解：由题意可知两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意.又，，，即，，所以，，.设平面的一个法向量为，则，所以，则，取，则.设与平面所成角，则，所以与平面所成角的正弦值为.18.已知点在抛物线：（）上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直作下去，设（）．（1）求抛物线的方程；（2）求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围；（3）求（）的面积．【答案】解：（1）因为点在抛物线：上，则，解得，所以抛物线的方程为；（2）由可知，，因为点在抛物线：上，则，且，过，，且斜率为的直线：．联立方程，消去得，解得或，因为，故，即，故数列是首项为2，公差为4的等差数列，所以，又，所以，所以，所以，又是关于的递增函数，故，的取值范围是；（3）由（2）知：直线的方程为，即，点到直线的距离为，，所以（）的面积为．19.某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由（）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为（），各元件之间相互独立．当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．（1）若，当时，①求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望；②求；（2）升级后的设备控制系统原有（）个元件，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析是否能够提高设备正常运行的概率．【答案】解：（1）①因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3，因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以．所以，，，.所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为：0123控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为.②.（2）若控制系统增加2个元件，则至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作，设原系统中正常工作的元件个数为，第