河北省衡水市桃城区2026届高三上学期暑假开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省衡水市桃城区2026届高三上学期暑假开学考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以它的共轭复数是，故C正确.故选：C.2.已知集合，，，则集合的真子集共有（）A.1个 B.3个 C.5个 D.7个【答案】B【解析】因为，所以P的真子集有：，，，共3个.故选：B.3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为向量，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：A.4.已知在上单调递减，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，显然在上单调递减；当时，由在R上单调递减，得恒成立，所以，解得.综上，.故选：D.5.已知向量，满足，且，则，的夹角为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以.又因为，所以，则，又，故，的夹角为120°.故选：C.6.如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（）A.200m B. C.400m D.600m【答案】A【解析】在中，，在中，.在中，.故选：A.7.过原点O的直线与双曲线：交于A，B两点，D为的右顶点，若的渐近线方程为，则直线与直线的斜率之积为（）A.1 B.3 C.4 D.9【答案】C【解析】因为双曲线C的渐近线方程为，所以，设点，因为直线过原点，则，又因为双曲线的右顶点为，则①，又因为在双曲线上，则，所以②，②代入①化简可得.故选：C.8.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为为增函数，所以.因为为减函数，所以，则.又为减函数，所以，故，即.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.在定义域内是增函数B.的最小正周期为C.直线是图象的一条对称轴D.是图象的一个对称中心【答案】BD【解析】对于A，，错误；对于B，中，则最小正周期为，正确；对于C，函数的对称轴为，令，解得，则函数图象的对称轴为，令得，错误；对于D，令，解得，则函数图象的对称中心为，令得，所以是图象的一个对称中心，正确．故选：BD.10.《九章算术》是我国的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，分别为的中点，则（）A.该堑堵的体积为108B.平面C.该堑堵外接球的表面积为D.平面与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点【答案】ACD【解析】由题意该堑堵的体积为，故A正确；因为直线与直线相交，所以直线与平面不平行，故B错误；该堑堵可以放置在边长为6的正方体中，该堑堵的外接球和正方体的外接球为同一个外接球，所以该堑堵的外接球半径为，所以外接球的表面积为，故C正确；延长并与的延长线交于点F，连接，交于点，连接，由可知，由可得，平面与BC的交点恰好为线段BC的一个三等分点，故D正确.11.已知数列满足，其中，则（）A.B.为等差数列C.数列的前项和为D.数列的前99项和大于【答案】BCD【解析】对于A，由题意，数列满足，可得，故A错误；对于B，因为，所以为常数，且，所以数列为首项为，公差为的等差数列，故B正确；对于C，由选项B可知，所以，所以，所以数列的前项和为，故C正确；对于D，由可知，所以，因为对都有，所以，所以数列的前99项和，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.抛物线：的准线方程为_____.【答案】【解析】抛物线的标准方程为，所以C的准线方程为.故答案为：.13.已知，则_____.【答案】【解析】因为，所以.故答案为：.14.已知集合.若九位数满足，且，，，如212323212，则称这个九位数为“九曲正弦数”，则共有______个“九曲正弦数”.【答案】【解析】因，，，则这5个数至少取集合中3个不同的数字，至多取5个不同的数字，且为最大的数，为最小的数，①取3个数：，分别自动选取最大的数和最小的数（以下均采取相同的做法，不再赘述），则取剩下的数，共有种；②取4个数：共有种；③取5个数：则从剩下的3个中各自匹配一个数，共有种；故共有个“九曲正弦数”.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.林芝第二十一届桃花旅游文化节于2024年3月31日晚正式拉开帷幕.某研究小组为了了解开幕式文艺演出时林芝市民的观看情况，从全市随机调查了50名市民（男女各25名），统计到全程观看、部分观看和没有观看的人数如下表：观看情况全程观看部分观看没有观看男性人数94女性人数184（1）求出表中x，y的值；（2）从样本中没有观看的人中随机抽取2人进一步了解情况，求恰好男女各1人的概率；（3）根据表中统计的数据，完成下面的2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，分析全程观看是否与性别有关?单位：人.性别观看情况合计全程观看非全程观看男性女性合计附：，.0.100.050.012.7063.8416.635【答案】解：（1）由题意得，解得，，解得.（2）由（1）知没有观看的人数为7，男4女3，设男生编号为a，b，c，d，女生编号为1，2，3.从7人中抽2人，所有可能的结果为，，，a1，a2，a3，，，b1，b2，b3，，c1，c2，c3，d1，d2，d3，12，13，23，共21种，恰好男女各1人的结果为a1，a2，a3，b1，b2，b3，c1，c2，c3，d1，d2，d3，共12种.所以从没有观看的人中随机抽取2人，恰好男女各1人的概率.（3）完整列联表如下，性别观看情况合计全程观看非全程观看男性121325女性18725合计302050零假设为：是否全程观看与性别无关.根据表中的数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即是否全程观看与性别无关.16.设的内角的对边分别是，已知，且.（1）求角C；（2）若D为的中点，求线段长的取值范围.【答案】解：（1）因为，所以，即，所以.因为，所以.（2）因为为的中点，所以，所以.又，所以，所以，即.由，得，则，解得，即线段长的取值范围是.17.如图，在多面体中，四边形是边长为4的菱形，，与交于点O，平面平面，，，.（1）证明：平面.（2）若点到平面的距离为6，且，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接，.因为，所以.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为，分别为，的中点，所以，.又因为，，所以，，则四边形为平行四边形，所以，从而平面.（2）解：如图，连接，，以为原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，由，可得，所以，.设平面的法向量为，则，即，令，则，易知平面的一个法向量为.设二面角的平面角为，易知为锐角，所以，即二面角的余弦值为.18.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且经过点.（1）求的标准方程.（2）设是的左顶点，，是上异于点的不同两点，直线，的斜率分别为，且.（i）若点的坐标为，求；（ii）证明：直线过定点.【答案】（1）解：由题意，，解得，则的标准方程为.（2）（i）解：设，由（1）可得，因，则，由可得，代入，整理得：，解得（不合题意，舍去）或，故得，则.（ii）证明：因，直线的斜率不能为0，可设其方程为：，代入，整理得：，则，设，则（*），则，化简得，因，代入整理得：，将（*）代入，可得，去分母可得：，化简得：，解得或.当时，直线的方程为，直线经过定点，此时由解得，则，因，符合题意；当时，直线的方程为，经过定点，该点恰与点重合，不合题意，舍去.故直线过定点.19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意恒成立，求的取值范围；（3）设无穷数列，请探究是否存在，使得.【答案】解：（1）函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）不等式，令，依题意，在上恒成立，且，求导得，令，求导得，函数在上单调递减，，当，即时，，函数在上单调递减，则，函数在上单调递减，，因此不等式在内恒成立，于是；当时，，函数在