湖南省株洲市芦淞区2025-2026学年高二上学期学业水平调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省株洲市芦淞区2025-2026学年高二上学期学业水平调研考试数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A. B.-11 C.15 D.【答案】B【解析】由，则其虚部为.故选：B.2.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，而，∴.故选：C.3.已知双曲线：的渐近线方程为：，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】的渐近线方程为，故，故双曲线的离心率为.故选：A.4.函数的图象的一个对称中心可以是()A. B.C. D.【答案】D【解析】令，解得：，当时，的图象是由的图象向上平移个单位得到的，函数的图象的一个对称中心可以是故选D.5.已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵是奇函数，∴，又，∴是周期函数，周期为4．∴．故选：C．6.设O为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设点、、，则，，，由可得，解得，，所以，，，因此，.故选：D.7.双曲线的左顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线l，则点A到直线l的距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】由双曲线得：，，，可得，，双曲线的渐近线方程为，可设过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线l为，即，则A到直线l的距离为．故选B．8.在中，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，，则故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共8分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图所示的几何体由一个三棱锥和一个半圆锥组合而成，两个锥体的底面在同一个平面内，是半圆锥底面的直径，D在底面半圆弧上，且，与都是边长为2的正三角形，则（）A. B.平面C.异面直线与所成角的正弦值为 D.该几何体的体积为【答案】ABD【解析】对于A，取中点O，连接，所以为等腰直角三角形，且，又因为，，所以平面，平面，所以，A正确．对于B，，∴，而，∴，∴，平面，平面，∴平面，B正确．对于C，取中点M，连接知，∴，∴与所成角即为与所成角，为，，由余弦定理得，C错．对于D，该几何体体积，D正确．故选：ABD.10.已知抛物线的焦点为，过作两条互相垂直的直线与交于两点，与交于两点，线段的中点为，线段的中点为，则（）A.当直线的斜率为时，B当时，C.的最小值为18D.的面积最小值为4【答案】ABD【解析】对于A，由题意得，，，，，当直线的斜率为时，直线方程为，由可得，则，所以，A正确；对于B，设直线方程为，则方程为，联立直线方程与抛物线方程得.则①，②，同理，，又，所以，结合①②可得，所以，B正确.对于C，，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为16，故C错误；对于D，由B知，.，所以直线GH：，令得，所以直线GH恒过定点；所以，当且仅当时，等号成立.故D正确；故选：ABD.11.函数，下列结论正确的是（）A.函数在上单调递增B.函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到C.若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则D.函数的最大值为【答案】ABD【解析】解法1：，其函数图象如下图所示：由图象可得：在上单调递增，A正确.函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，所以的图象可由函数的图象向右平移个单位得到，B正确.因，所以，所以与在上有两个交点，即：，故，C错误.，当且仅当时取等号，D正确.故选：ABD解法2：当时，，故在上单调递增，A正确.因，将其向右平移可得：，B正确.时，取得最大值，该函数在上最多一个最大值，C错误.，令，则，当时，取得最大值，D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设函数的图象为曲线，直线与曲线相切于点，则；函数的解析式为．【答案】①.2②.【解析】由函数的图象为曲线，直线与曲线相切于点．所以直线过点，即，解得，又由，则，即，，所以，所以函数的解析式为，故答案为：2，13.已知是各项均为正的等比数列，为其前项和，若，则公比_______，______．【答案】①.或0.5②.15【解析】因为是各项均为正的等比数列，所以，解得或，又因为是各项均为正，所以，所以，故答案为：，.14.袋中有6个大小相同的球，其中1个红球，m个白球，n个黑球，现依次取球，每次取出一个，取出不放回，直到取出的球中有两种不同颜色的球时结束，已知取到1个红球1个白球的概率为，则__________，用表示终止时取球的次数，则随机变量的数学期望__________.【答案】①.3②.【解析】取到1个红球1个白球，则取球2次，则取到1个红球1个白球的概率，解得.所以袋中的6个球中，其中1个红球，3个白球，2个黑球.随机变量的取值为：2,3,4.；；.随机变量的数学期望.故答案为：3；.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.奶茶是年轻人非常喜欢的饮品．某机构对于奶茶的消费情况在一商圈附近做了一些调查，发现女性喜欢奶茶的人数明显高于男性，每月喝奶茶的次数也比男性高，但单次奶茶消费金额男性似乎明显高于女性．针对每月奶茶消费是否超过百元进行调查，已知在调查的人中女性人数是男性人数的倍，统计如下：超过百元未超过百元合计男女合计（1）完成如上列联表，并说明是否有的把握认为月消费奶茶超过百元与性别有关？（2）在月消费超百元的调查者中，同时进行对于品牌喜好的调查．发现喜欢品牌的男女均为人，现从喜欢品牌的这人中抽取人送纪念品，求这两人恰好都是女性的概率．附：.解：（1）设男性每月奶茶消费未超过百元的人数为，则，，超过百元未超过百元合计男女合计的观测值，因此，有的把握认为月消费奶茶超过百元与性别有关.（2）设喜欢品牌的女性为、、，男性为、、，从喜欢品牌的这人中抽取人送纪念品，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种，设“这两人恰好都是女性”为事件，则事件包含的基本事件有：、、，共种，，因此，抽取的这两人恰好都是女性的概率为.16.设数列的前n项和为，已知是公差为2的等差数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列前n项和．解：（1）依题意，，因此，即，当时，，而满足上式，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，因此，所以数列前n项和.17.如图，四棱锥中，侧面底面，，，，.（1）证明：直线平面；（2）若四棱锥的体积为8，求三棱锥的内切球的表面积.（1）证明：∵，∴，∵平面，平面∴平面（2）解：取的中点为，连接，∵为等腰三角形，，又因为平面平面且相交于，所以平面，∴设，，∵，∴，∴，∴，即，，∴，，在中，，，，∴，在中，，，，∴，∴，设三棱锥内切球半径为，∵，根据等体积法，∴，∴所以，三棱锥的内切球表面积为.18.在直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，.（1）求C的方程；（2）设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若，求面积的取值范围.解：（1）因为过F的直线l与C交于M，N两点，故直线的斜率不为0，不妨设l的方程为，，，联立l与C的方程，得，∴，，则，∴由题可知当时，，∴，∴C的方程为.（2）由（1）知，将R的纵坐标2m代入，得，易知C的准线方程为，又l与C的准线交于点P，∴，则直线OP的方程为，联立OP与C的方程，得，∴，∴Q，R的纵坐标相等，∴直线轴，∴，∴，∵点Q异于原点，∴，∵，∴，∴，即.19.已知函数的图象在