吉林省名校2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省名校2025-2026学年高一上学期10月联考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.方程的所有解组成的集合为（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】原方程化简得，显然无解，故原方程的所有解组成的集合为空集.故选：C.2.已知集合，，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由于，则的取值范围是.故选：B.3.2024年某大学强基计划规定，高考数学达145分的考生，可直接入围该大学强基计划.设甲：考生高考数学达145分；乙：可直接入围该大学强基计划，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A【解析】由题意，高考数学达145分的考生，可直接入围该大学强基计划，但入围该大学强基计划不一定只有考生高考数学达145分这一种方法，所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选：A.4.下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成集合的是（）A.Chinese B.Mathematics C.English D.Physics【答案】C【解析】根据集合的互异性，单词中包含相同字母的均不能以自身包含的所有字母为元素组成集合，故仅C项符合条件.故选：C.5.设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得或，故，由韦恩图可知图中表示的集合为，故选：B.6.已知命题：任何实数的平方都为正数；命题：存在一个无理数使得其三次方为有理数，则（）A.和都是真命题 B.和都是真命题C.和都是真命题 D.和都是真命题【答案】A【解析】对于命题：易得0的平方仍为0，不是正数，故是假命题，则是真命题；对于命题：对于是无理数，其三次方是有理数，所以命题是真命题，则为假命题.故选：A.7.为了更加深入地了解辽宁，某地区高一某班倡导学生利用周末时间去参观沈阳故宫，兴城古城，本溪水洞这三个地方，经统计该班共有55名同学，其中31个同学去了沈阳故宫，21个同学去了兴城古城，30个同学去了本溪水洞，同时去了沈阳故宫和兴城古城的有10人，同时去了兴城古城和本溪水洞的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（）A.19人 B.22人 C.25人 D.28人【答案】D【解析】设去了沈阳故宫的同学组成集合，去了兴城古城的同学组成集合，去了本溪水洞的同学组成集合，依题意，，，，，，，而，所以，解得，所以只去了一个地方的有（人）.故选：D.8.定义集合间的运算，若，，则的非空真子集的个数为（）A.2 B.3 C.6 D.7【答案】C【解析】对于，由于，，所以，至少有一个为0，故，.对于，由于，，若有一方为，则另一方必定为0，故此时必有，；若二者均不为0，则必有二者分别均为1或，此时，，故中共有三个元素，，，的非空真子集的个数为.故选：C.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由可得，所以，故A正确；，故B错误；或，故，C正确；，故D错误.故选：AC.10.设实数，，满足，则下列不等式一定成立的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，由题意可得，，故，故A正确；对于B，由可知，故，故B错误；对于C，易得，故C正确；对于D，易得，，故，故D正确.故选：ACD.11.若实数，满足，则（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】因为，所以，令，则原式整理得，由于为实数，方程判别式需非负，有，解得，即，故A正确；，所以，整理得，当且仅当时等号成立，故B正确；取，则此时，故C错误；，解得，解得，故D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.设命题：，，则的否定形式为______.【答案】，【解析】由存在量词命题否定是全称量词命题可得：，.故答案为：，.13.配平化学方程式可以通过解方程组来完成.例如，在中燃烧生成，可以设方程式为，其中，，均为正整数，且它们的最大公约数为1.由方程式两边的同种原子数目相等可得，令，则，.因此配平后的化学方程式为.用这种方式配平化学方程式，为正整数，则，，，分别为______.【答案】4，5，4，6（少写或者错写均不得分）【解析】由同种原子数目相等，有，令，则，，，由于各数均需要为整数，且它们的最大公约数为1，故同时乘2，所以，，，分别为4，5，4，6.故答案为：4，5，4，6.14.已知不等式：恒成立，则______.【答案】【解析】设函数，，，由题意可得，注意到，故必然有，故，，.而，故，移项化简后，可得均恒成立，由①可得，将代入②式发现仍恒成立，则，故，故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.设全集，集合，.（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围（最终答案用集合的形式表示）.解：（1）当时，集合，又因为全集，所以，又因为集合，所以.（2）因为“”是“”的充分条件，所以，又因为集合，，所以，即的取值范围为.16.已知不等式的解集为.（1）求，；（2）若不等式恒成立，求的取值范围.解：（1）由题意知，1和2是方程的两根，.由韦达定理可得，解得.（2）由（1）可知，则可转化为不等式恒成立，则当时，不等式恒成立；当时，不等式对于均成立，等价于，解得，综上可得.17.为贯彻绿水青山就是金山银山的发展理念，现规划一块沙漠中如图所示的矩形区域用于绿洲灌溉.要求绿洲部分为面积为的矩形.考虑到灌溉设备的布局，绿洲部分的两长边处需额外留出宽的设备通道，两短边处需额外留出宽10m的设备通道.设绿洲部分的宽与长之比为（）.（1）求使得规划区域面积最小的绿洲部分的值；（2）若一共需要铺设长的设备通道，求此时绿洲部分的长.（不考虑设备通道宽度）.解：（1）设矩形绿洲的长为，则宽为，由绿洲区域面积为，可知，故，因为存在设备通道，故规划区域的宽为，长为，故，由基本不等式，，当且仅当，即时等号成立，故此时.（2）因为，所以.由（1）知铺设管道长度等于绿洲部分的周长，故总共需要铺设的管道长度为，则，又因，整理得一元二次方程，解得.因为，所以.18.已知集合，.（1）若，且，求的值；（2）当时，若，求，的值；（3）若，讨论，的取值范围.解：（1）时，，由可得，解得.（2）当时，方程至少有一解.当时，空集，要使，则也为空集，即方程无解，则，与矛盾，舍去；当时，，若，则方程有且仅有一解为，则，且，整理得方程，解得，故，.（3）当时，空集，必有；当时，，若，若方程有且仅有一解为，由上知，则，.若方程有两解，则且，解得且，且.综上，当时，可以为任意实数；当时，.19.高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，现定义：表示不超过实数的最大整数，如，，利用题干所给信息解决下列问题.（1）证明：，；（2）求不等式的解集；（3）若的解集为，求的取值范围.解：（1）设的整