山西省大同市平城区2026届高三上学期9月质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省大同市平城区2026届高三上学期9月质量监测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校高三年级有1200名学生，其中男生有660人，现按男女生人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则男生应抽取的人数是（）A.22 B.18C.16 D.14【答案】A【解析】依题意，男生应抽取的人数是人.故选：A.2.复数的虚部为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】复数，所以所求虚部为.故选：D.3.已知集合，若，则实数的值为（）A.1 B.0C. D.2【答案】C【解析】由，得，解得，由，得且，解得且且且，即且且且，由，得，因此，即，则或（舍去），所以实数的值为.故选：C.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得.故选：A.5.不等式组的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，解得，由，解得，因为，所以，所以原不等式组的解集为，故选：C.6.某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有（）A.20排 B.21排 C.22排 D.23排【答案】B【解析】依题意，该会场的座位构成以为首项，2为公差的等差数列，其前项和，则，显然数列是递增数列，，由，得，所以该会场的座位至少有21排.故选：B.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，的平分线交轴于点A，若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知的平分线交轴于点A，故，故，（d为的边上的高），即得，结合可得，所以，对于有，故，即的离心率为.故选：A.8.在中，角的对边分别为，若，则角A的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，由余弦定理结合得：，当且仅当，即时等号成立，由此可知A为锐角，而在上单调递减，故，所以A的最大值为.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A.若，则是等差数列B.若，则是等比数列C.若是等差数列，则D.若是等比数列，且（为常数），则【答案】CD【解析】对于A，，数列不是等差数列，A错误；对于B，当时，，满足上式，因此，当时，数列不是等比数列，B错误；对于C，是等差数列，，C正确；对于D，当时，，，由是等比数列，得，因此，，D正确.故选：CD.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.有三个单调区间B.在定义域上没有最值C.若有三个零点且有两个极值点则成等差数列D.若有三个零点且有两个极值点则成等比数列【答案】ABD【解析】函数定义域为，求导得对于A，由，得；由，得或，函数在上单调递减，在上单调递增，A正确；对于B，由选项A知，在处取得极大值，在处取得极小值，而，，因此在上没有最值，B正确；对于CD，，由选项AB，得，，，不成等差数列，成等比数列，C错误，D正确.故选：ABD.11.我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系xOy中，双曲线，且为常数）的左、右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两渐近线于点，则（）A.的离心率 B.线段AB长度的最小值是C.一定是线段AB的中点 D.的面积是定值【答案】ACD【解析】设双曲线的半焦距为，当时，，解得，由双曲线的通径为，得，解得，双曲线，对于A，，因此的离心率，故A正确；对于B，设，不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得），由得，所以，则在点处的切线斜率为，所以在点处的切线方程为，又因为，所以在点处的切线方程为，该方程具有一般性，设是切线与渐近线在第一象限的交点，是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程为，由，解得，所以点，同理可得，则，又因为，所以，即，故B错误；对于C，由B知，，所以是线段AB的中点，故C正确；对于D，如图，设交轴于点，因为在点处的切线方程为，令，得，所以点，则，是定值，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知非零向量满足，则与的夹角大小为__________.【答案】【解析】因为，所以，得，且，所以，设向量与的夹角为，则，又，所以．故答案为：.13.若函数的两个极值点均为正数，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】由，则，由的两个极值点均为正数，得有两个正根，显然，故需满足，解得.故答案为：.14.在直三棱柱中，，点分别是棱和棱上的点，且为等边三角形，若二面角的平面角为，则__________.【答案】1【解析】在直三棱柱中，取DE的中点，连接AF，由为等边三角形，得，在平面内过A作于，连接FG，由平面，平面,得，而平面，则平面，又平面，于是，又平面，则平面，平面,故,故二面角的平面角，即，依题意，，又，，因此，所以.故答案为：1.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求图象的对称轴方程；（2）若，使得成立，求实数的取值范围.【答案】解：（1），因为的对称轴为，令，解得，所以图象的对称轴方程为.（2）当时，，当，即时，取最大值1，当，即时，取最小值，则，因为，使得成立，则有解，所以，即，所以实数的取值范围为.16.已知抛物线仅经过中的一点.（1）求的方程；（2）过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点.【答案】（1）解：抛物线关于轴对称，而点关于轴对称，若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意，因此点必在抛物线上，，解得，所以抛物线的方程为.（2）证明：由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴，设直线的方程为，则直线的方程为，由消去得，设，则，线段的中点，同理得线段的中点，当时，直线斜率，直线方程为，整理得，直线过定点，当时，或，直线过定点，所以直线过定点.17.如图，在四棱锥中，，，且.（1）求证：；（2）若，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明：在直角梯形中，，连接，，，则，，而，平面，因此平面，又平面，所以.（2）解：由（1）得，，则，，又，平面，因此平面，而平面，则，作交于，连接，则，而平面，于是平面，又平面，则，是平面与平面所成的角，，又，则，所以平面与平面所成角的余弦值.18.已知函数.（1）若关于的方程有唯一实数根，求实数的值；（2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】解：（1）由，得，令，求导得，令，求导得，函数在上单调递减，，当时，，即；当时，，即，函数在上单调递增，在上单调递减，，且当时，，当时，且，作出的大致图象如图：又，且有唯一的实数根，所以.（2）依题意，不等式在时恒成立，设，求导得，当时，在上恒成立，函数在上单调递增，则，不满足条件；当时，令，则，当，即时，，则当时，，函数在上单调递减，因此，满足条件；当，即时，由，得，当时，，则，在上单调递增，当时，有，不满足条件，所以实数的取值范围为.19.为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予5分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分.已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响.（1）求小明答4道题后积分小于5的概率.（2）设小明答5道题后积分为，求.（3）若小明一直答题，直到积分为0或10时停止，记小明的积分为时最终积分为10的概率为，则.（i）证明：为等比数列；（ii）求的值.【答案】（1