正多边形和圆导学案华东师大版（2012）数学九年级下册

27.4正多边形和圆素养目标1.知道正多边形和圆的关系,知道正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.2.能用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.3.会用量角器等分圆,会用尺规作图作圆内接正方形和正六边形.重点能用正多边形的知识解决问题;会用量角器等分圆周;会用尺规作图作圆内接正方形和正六边形.【预习导学】知识点正多边形的有关概念及性质阅读课本本课时“例”之前的内容,完成下面问题.正五边形有条对称轴,这些对称轴都交于一点,记为O,根据轴对称的性质可知,这些对称轴是正五边形各边的交点,因此点O到正五边形各顶点的距离,记为R.那么以点O为圆心、R为半径的圆就过正五边形的各个,它是该正五边形的外接圆.另外,这些对称轴也是正五边形各内角的平分线,根据角平分线的性质,点O到各边的距离都,记为r,那么以点O为圆心,r为半径的圆就与正五边形的各边都相切,它是正五边形的内切圆.

归纳总结任何正多边形都有一个和一个.这两个圆有公共的,称其为正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径,内切圆的半径叫做正多边形的边心距.正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等,叫做正多边形的中心角.

对点自测正八边形的中心角是°.【合作探究】任务驱动一圆内接正多边形的画法阅读课本本课时“图27.4.6”右边的内容至“练习”,回答下列问题.1.尺规作图.(1)利用尺规作图作出☉O的圆内接正方形(不写作法,保留作图痕迹).(2)利用尺规作图作出☉M的圆内接正三角形(不写作法,保留作图痕迹).(3)在用尺规作图作圆内接正方形、正六边形的基础上,你还可以作出哪些正多边形?(举出四个即可)2.用量角器画圆的内接正五边形时,可以把中心角等分,那么弧被等分,顺次连结各等分点即可得到正五边形.

方法归纳交流因为同圆中相等的弧所对的弦,相等的弧所对的圆周角,因此n等分圆周即可作出正n边形.

变式演练下列正多边形,不能用尺规作图作出的是()A.正三角形 B.正五边形C.正六边形 D.正八边形任务驱动二圆内接正多边形的中心角、半径、边心距3.如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边数是()A.4 B.5C.6 D.74.已知正六边形ABCDEF,如图所示,其外接圆的半径是a,求正六边形的周长和面积.变式演练如图,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE,…,正n边形ABCDEFG…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连结OM,ON.(1)求图①中∠MON的度数.(2)图②中,∠MON的度数是,图③中,∠MON的度数是.

(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).参考答案【预习导学】知识点五垂直平分线相等顶点相等归纳总结外接圆内切圆圆心对点自测45【合作探究】任务驱动一1.解:(1)如图1,四边形ABCD即所求.(2)如图2,△GEF即所求.(3)(答案不唯一)举出四个即可,如正八边形、正三角形、正十二边形、正十六边形、正二十四边形等.2.五五方法归纳交流相等相等变式演练B任务驱动二3.B4.解:如图,过点O作OM⊥AB于点M,连结OA.由于多边形ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于360°6=60°,从而正六边形的边长等于它的半径因此,所求的正六边形的周长为6a.在Rt△OAM中,OA=a,AM=12AB=12a,利用勾股定理,可得边心距OM=a2所以所求正六边形的面积=6×12AB·OM=6×12a·32a=3变式演练解:(1)如图,连结OB,OC.∵正三角形ABC内接于☉O,∴∠OBM=∠OCN=3