专题03等腰三角形（期中复习讲义）（原卷版）八年级数学上学期浙教版2024

专题03等腰（边）三角形（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律轴对称图形的识别掌握轴对称图形的定义，学会识别常见轴对称图形及对称轴数量。基础题，选择/填空为主，难度低，易因忽略“完全重合”条件或漏数对称轴出错。轴对称的性质掌握轴对称的性质，学会利用性质找对称点、补全轴对称图形。高频基础题，常考“找对称点坐标”，易因“垂直平分”理解不深出错。轴对称与折叠问题掌握折叠问题的本质，学会利用折叠性质列等式，求线段长度、角度。中档题，常结合矩形、正方形折叠，易因折叠后对应关系找错出错。等腰三角形的三线合一掌握“三线合一”内容，学会利用“三线合一”证明线段相等、角相等或垂直。高频考点，解答题证明/计算为主，易因忽略“等腰三角形”前提（非等腰三角形不适用）出错。等腰三角形的等边对等角掌握“等边对等角”性质，会利用该性质计算等腰三角形的内角。基础题，常结合三角形内角和定理，易因混淆“腰与底”对应的角出错。等腰三角形的定义掌握等腰三角形的定义（有两条边相等的三角形），学会识别等腰三角形，区分腰、底、顶角、底角。基础题，多结合其他考点（如性质、判定）考查，难度低，易因腰和底区分错误影响后续计算。等腰三角形的性质掌握等腰三角形的核心性质，学会综合运用性质解决线段、角度问题。高频基础题，贯穿选择、填空、解答题，是等腰三角形相关题目的核心，易因性质混淆（如与等边三角形性质混淆）出错。等边三角形的性质掌握等边三角形的性质，学会利用性质计算边长、角度。中档题，易因忽略“三角均为60°”或“三边相等”的特殊性出错。等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法（两边相等、等角对等边），学会根据已知条件（边或角）判定三角形是否为等腰三角形。高频考点，解答题证明为主，易因“等角对等边”的条件（需在同一三角形内）忽略而出错。等边三角形的判定掌握等边三角形的判定方法（三边相等、三角均为60°、有一个角为60°的等腰三角形），学会根据边或角的条件判定等边三角形。中档题，选择/填空/解答题小问，易因漏用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”这一简便判定方法出错。将军饮马问题掌握将军饮马问题的解题思路，学会在直线上找一点，使该点到两定点距离和最小。高频中档题，常结合三角形、四边形背景，易因找错对称点（如对称点找反）导致路径计算错误。等腰三角形上最短路径问题掌握等腰三角形中最短路径的求解方法，学会求等腰三角形内一点到各顶点/边的最短距离和。中档偏难题，填空/解答题小问，易因未结合等腰三角形的对称性（如对称轴上的点到两腰距离相等）简化计算出错。等腰三角形与全等三角形综合掌握等腰三角形性质/判定与全等三角形判定的结合运用，学会通过证明全等推导等腰三角形的边/角关系，或反之。高频解答题，拉分点之一，易因全等条件找错（如忽略等腰三角形的边/角等量关系）或证明逻辑混乱出错。等边三角形与全等三角形综合学会利用等边三角形的“三边相等、三角60°”构造全等条件，解决证明、计算问题。中档偏难题，解答题为主，常考“构造等边三角形证明全等”，易因未利用60°角或等边的特殊性构造全等出错。知识点01轴对称与轴对称图形1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。轴对称和轴对称图形的区别和联系：区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。联系：①都沿某条直线对折，图形重合。②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。知识点02轴对称的性质由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。知识点03等腰三角形的概念1.定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.知识点04等腰三角形的性质1.性质①两腰相等②两底角相等（简称等边对等角）③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。证明题目中的写法：①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD2.等腰三角形的构造“角平分线+平行线”构造等腰三角形①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形“角平分线+垂线”构造等腰三角形如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形“角平分线+中线”构造等腰三角形如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形“中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示(5)“平行+等腰”构造等腰三角形已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线知识点05等腰三角形的判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”）知识点06等边三角形的概念（1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。（2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°（3）判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（4）推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。题型一轴对称图形的识别【典例1】（2223八年级下·浙江·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（）A． B．【变式1】下面四个图形中，是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．题型二轴对称图形的性质【典例1】（2425八年级上·浙江宁波·期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠B=35°，A．90° B．85° C．95° D．105°【变式1】（2425八年级上·浙江台州·期中）如图，AB=AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上．若∠BAD=α0°<α<180°，∠ACB=β，则下列关系正确的是（

A．a−β=90° B．α+β=180°C．α=3β D．α+2β=180°【变式2】（2223八年级上·浙江丽水·期中）如图，△ABC三个顶点都在小方格的顶点上，请在2×2的方格中画出三个顶点都落在小方格的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形．（要求画出两种不同的三角形）

题型三轴对称与折叠问题【典例1】按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（

）A．∠1与∠3互余 B．∠2=90°C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补【变式1】如图，把一张长方形纸片ABCD沿MN折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置，C′D′交BC于点F，若∠AMD

A．108° B．72° C．144° D．126°【变式2】（2526八年级上·江苏宿迁·期中）如图，直线DE分别交△ABC边AC、AB于点D、E，将△ABC沿DE翻折，使点A恰好与点C重合．若AB=3，BC=2，则△BCE的周长是．【变式3】如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG=56°【变式4】（2425八年级上·浙江金华·期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=140°．(1)如图1，D为BC边上一定点（不与点B，C重合），将△ABD沿AD翻折至△AB′D，连结B′C(2)如图2，当点D在BC边上运动时，仍将△ABD沿AD翻折至△AB′D①当AB′⊥BC②当△DB′C题型四等腰三角形的三线合一【典例1】如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是BC边上的高，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（

）

A．2.4 B．4.8 C．7.2 D．9.6【变式1】（2425八年级下·河南郑州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，△ABC的面积为18，AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M是线段A．6 B．8 C．9 D．10【变式2】（2526八年级上·江苏·期中）如图，在△ABC中，BC=AC，∠B=37°，∠ECM=21°，AF⊥CM，垂足为F．若AF=a，则AB的长为．(用含a的代数式表示)【变式3】（2324八年级上·安徽芜湖·期中）如图，∠ACB=70°，CD是OA的垂直平分线，则∠ACD的度数为．【变式4】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE相交于点H，AE=BE．(1)求证：△AEH≌△BEC；(2)若AH=4，求BD的长．【变式5】（2425八年级上·湖南衡阳·期中）如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．

(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)求∠FAC的度数；(3)求证：∠ABF=∠ADC，并直接写出线段CD、BC、BF之间的数量关系．题型五等腰三角形的等边对等角【典例1】如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC，若CE=5，则BC等于（

）A．6 B．5 C．4 D．3【变式1】在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB边上任意一点(点D不与A、B两点重合)，过点D作AB的垂线，与直线AC交于点E，若∠AED=50°，则∠B的度数为（

）A．60° B．70° C．70°或20° D．60°或30°【变式2】（2324八年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知∠B=20°，∠C=25°，若PM和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ=．【变式3】如图，AB=AC，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接CD．(1)若∠A=40°，求∠BCD的度数；(2)若△ABC与△BCD的周长之差为10，求AE的长．【变式4】如图，AO平分∠BAC，CO⊥AB，BO⊥AC，垂足分别为D，E．求证：∠OBC=∠OCB．【变式5】（2425八年级上·山东济宁·期中）在△ABC中，AD是中线．(1)如图1，若AB=8，AC=5，求AD的取值范围；(2)如图2，AE是△ACD的中线，若CA=CD，求证：AB=2AE．【变式6】如图，在△ABC中，高线AD和角平分线BE相交于点F．已知△BDF≌△ADC．(1)求证：BE⊥AC；(2)求∠C题型六等腰三角形的定义【典例1】（2425八年级上·广东肇庆·期中）等腰三角形周长是29，其中一边长是7，则等腰三角形的底边长是（

）A．11 B．15或7 C．7 D．15【变式1】（2021八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果等腰三角形两边长是6cm和4cm，那么它的周长是（A．10cm B．12cm C．14cm或16【变式2】等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（

）A．70° B．55° C．80°或100° D．70°或55°【变式3】（2223八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠1=度．题型七等腰三角形的性质【典例1】（2425八年级上·四川德阳·期中）如图，在△ABC中，∠BAC是锐角，以为斜边在△ABC内部作一个等腰直角三角形△BCD，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，若F为AC的中点，AB=5，DF=1，则BE=（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【变式1】（2324八年级下·广西河池·期中）如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，G是CE的中点．求证：(1)DG⊥CE；(2)∠B=2∠BCE．【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：

(1)AF=CG；(2)CF=2DE．【变式3】（2425八年级上·江苏南通·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=7cm，题型八等边三角形的性质【典例1】如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE=CD，则∠E的度数为（

）A．15° B．20° C．30° D．40°【变式1】如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD,DF=DE，则∠E=（

）A．20° B．25° C．10° D．15°【变式2】如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的高，E是AD上一点．若∠CED=55°，则∠ABE=度．【变式3】如图△ABC、△ADE都是等边三角形，点E在CB延长线上．求证：(1)DB=CE；(2)求∠DBE的度数．【变式4】如图，△ABC是等边三角形，延长BA至点D，延长CB至点E，使AD=BE，连结AE，CD，EA的延长线交(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠CFE的度数题型九等腰三角形的判定解｜题｜技｜巧1.等角判定法（高频）：已知“两角相等”（如∠B=∠C），直接用“等角对等边”证AB=AC，判定为等腰三角形；2.三线逆用法：若“一个三角形中，一条线段既是中线又是高”（如AD是△ABC的中线且AD⊥BC），则AB=AC，判定为等腰；3.全等辅助法：缺角相等时，作角平分线/高，证三角形全等（如作AD平分∠BAC，证△ABD≌△ACD），得AB=AC。【典例1】已知∶如图DE∥BC,∠1=∠E．(1)求证：BE平分∠ABC．(2)三角形BDE是什么三角形？【变式1】如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F(1)求证：AD⊥CF；(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．【变式2】（2425八年级下·陕西榆林·期中）如图，在△ABD和△DCA中，AB=DC，AC交BD于点O，且AC=DB．求证：△AOD是等腰三角形．【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，CE=DB．(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A=50°时，求∠DEB+∠FEC的度数；(3)当∠EDF=60°时，求∠A的度数．【变式4】如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E．(1)求证：△ABE为等腰三角形；(2)已知AC=13,BD=5，求AB的长．题型十等边三角形的判定解｜题｜技｜巧1.等腰+60°法（高频）：已知“等腰三角形+一个角=60°”（无论顶角还是底角），直接判定为等边，如AB=AC且∠A=60°→AB=AC=BC；2.三角相等法：已知“三个角都相等”（如∠A=∠B=∠C=60°），直接判定；3.全等证边法：已知“一个三角形与等边三角形全等”（如△ABC≌△DEF，△DEF是等边），则△ABC是等边。【典例1】如图，AG、BG均是△AGB的两边，AG的垂直平分线DM交BG的垂直平分线EN于点H．(1)若△GMN的周长为15cm，求AB(2)若∠MHN=80°，求∠MGN的度数．(3)若M、N是线段AB的三等分点（点M在点N的左侧），直接判断△MGN的形状．【变式1】（2425七年级下·吉林·期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC,AE⊥BC，垂足分别为D,E，连接DE．求证：△CDE是等边三角形．【变式2】如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，CE与DF交于点M，AE=BF，AC=BD，CE=DF，若∠FME=60°，求证：△MFE是等边三角形．【变式3】（2425八年级上·天津·期中）在△ABC中，AB=AC．(1)尺规作图：在图1中作∠ABC的角平分线，交AC于点D（不写作法，保留作图痕迹）；(2)如图2，在（1）条件，若BD⊥AC，求证：△ABC为等边三角形．【变式4】如图，在△ABC中，AB=AC,∠ACB>60°，在AC边上取点D，连接BD，使BD=BC．以AD为一边作等边△ADE，且使点E与点B位于直线AC的同侧，∠EAB=2∠BAC．(1)求∠BDE的度数；(2)点F在AB上，连接DF,DF=BD，请判断△BDF是否是等边三角形，并说明理由．题型十一将军饮马问题解｜题｜技｜巧两点一线模型：目标：在直线l上找P，使PA+PB最小；步骤：①作A关于l的对称点A'；②连A'B，与l的交点即为P；③PA+PB=A'B（最短）；两点两线模型：目标：在l、m上找P、Q，使PA+PQ+QB最小；步骤：①作A关于l的对称点A'，B关于m的对称点B'；②连A'B'，交l于P、交m于Q；③PA+PQ+QB=A'B'；【典例1】如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，利用无刻度直尺作图．(1)画△A′B′C(2)在直线l上作点P，使AP+CP的值最小；(3)在直线l上找一点Q，使点Q到AB、BC两边的距离相等．【变式1】如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，利用无刻度直尺作图．(1)画△A′B′C(2)在直线l上作点P，使AP+CP的值最小，此时∠APC=；(3)在直线l上找一点Q，使点Q到AB、BC两边的距离相等．【变式2】如图，已知△ABC．(1)请用尺规作图法作出BC的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于点E；(2)请用尺规作图法作出∠C的平分线CF，交AB于点F；(3)请用尺规作图法在BC上找一点P，使△PEF的周长最小．（注意：保留作图痕迹，不写作法）题型十二等腰三角形上最短路径问题【典例1】如图，BD是等边△ABC边AC上的高，M，N分别是AB，AC上的两个定点，BM=AN=2cm，AD=4.5cm，若在BD上有一动点H，使MH+NH最短，则MH+NH的最小值为（A．5cm B．6cm C．8cm【变式1】如图，等边△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F分别为AB，BC上的两个定点且BE=CF=3，DE=2，在CD上有一动点M使ME+MF最短，则ME+MF的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【变式2】（2526八年级上·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点M，N，D是BC的中点，P是MN上任意一点，连接PC，PD．若∠B=α，则当△PCD的周长取最小值时，∠CPD=．（用含α的代数式表示）【变式3】如图，等边△ABC（三边相等，三个内角都是60°的三角形）的边长为10cm，动点D和动点E同时出发，分别以每秒1cm的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为t，0<t≤10，DC和BE交于点(1)在运动过程中，CD与BE始终相等吗？请说明理由；(2)连接DE，求t为何值时，DE∥(3)若BM⊥AC于点M，点P为BM上的点，且使PD+PE最短．当t=7时，PD+PE的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．题型十三等腰三角形与全等三角形综合【典例1】如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A=∠ABE，若AC=10，BC=6，则BD的长为（

）A．5 B．3 C．4 D．2【变式1】如图，△ABC中，AB=AC，点E在CA上，连接BE，过A作AD⊥BE于D，∠DAE=∠ABD．(1)求∠CBD的度数；(2)连接CD，求证：AD(3)在（2）的条件下，若BD+BC=2AD，S△BCD=9，求【变式2】如图①，已知点D在线段AB上，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠BCA=45°，∠EAD=∠AED=45°，且M为EC的中点．(1)若DM的延长线交BC于点N，求证：CN=AD；(2)判断直线BM与DM的位置关系，并说明理由；(3)若将△ADE按如图②所示位置放置，使点E在线段CA的延长线上（其它条件不变），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【变式3】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为BC的中点．(1)如图1，若DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，请你说明△BED≌△CFD．(2)如图2，连接AD．若G是AD上一点（点A，D除外），GE⊥AB，GF⊥AC，垂足分别为E，F，GE=GF成立吗？请说明理由．(3)如图3，若（2）中GE，GF分别不垂直于AB，AC，要使GE=GF，需添加什么条件？请在你添加的条件下说明GE=GF．题型十四等边三角形全等三角形综合【典例1】如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形．(1)观察发现：如图①，若点B，C，E在同一条直线上，P为线段AE，BD的交点，则线段AE与BD之间的数量关系为；∠APB=．(2)如图②，若点B，C，E在同一条直线上，F为线段BD，AC的交点，H为线段AE，CD的交点，连接FH，猜想FH与BE的位置关系，并证明．(3)深入探究：如图③，若点B，C，E不在同一条直线上，P为线段AE，BD的交点．1中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(4)连接CP，求证：PC平分∠BPE．【变式1】如图所示，已知△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，(1)∠AEC=∠ADB；(2)△ADE是等边三角形．【变式2】已知在等边三角形ABC中，点D在BC上，点E在AB的延长线上，且CD=BE，连接AD，DE．【问题发现】（1）如图①，当D为BC的中点时，探究线段AD与DE之间的数量关系，直接写出结论：ADDE；（选填“>”“<”或“=”）【类比探究】（2）如图②，当D为BC边上任意一点时，探究线段AD与DE之间的数量关系，并证明；【拓展延伸】（3）当D为BC的中点，AB=10时，P，Q分别为射线AB、射线CA上的动点，且∠PDQ=120°．若AQ=4，求BP的长．【变式3】综合探究．【初步感知】（1）如图1，已知△ABC为等边三角形，点D为边BC上一动点(点D不与点B，点C重合)．以AD为边向右侧作等边△ADE，连接CE．求证：△ABD≌△ACE；【类比探究】（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，写出AB与CE的位置关系为；线段EC，AC，CD之间的数量关系为；【拓展应用】（3）如图3，在等边△ABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上一动点，以DP为边向右侧作等边△DPE，连接CE，BE．PE+BE是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．（2425八年级上·浙江金华·期中）下列图形中，对称轴最多的是（

）A．线段 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形2．（2324八年级上·浙江杭州·期中）下列命题中，是真命题的是（）A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B．等腰三角形的对称轴是底边上的高线C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线D．同位角相等3．（2425八年级上·浙江湖州·期中）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（

）

A．∠B=∠C B．AD平分∠BACC．AD⊥BC D．AB=2BD4．（2223八年级上·浙江温州·期中）“三等分角”被称为三个古希腊尺规作图三大难题之一．如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，且OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动．若∠ODE=105°，则∠CDE的度数是（

）A．70° B．75° C．80° D．90°5．（2425八年级上·浙江湖州·期中）如图，AD是△ABC的对称轴，E,F是AD上的两点，若BD=2，AD=3，则图中阴影部分的面积是．6．（1920八年级上·浙江温州·期中）等腰三角形的两边长分别为5和9，则这个等腰三角形的周长为．7．（2425八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知正△ABC，D，E分别是AC，AB的中点，AG=2GC，CF=2FB，EG，DF相交于点H，则∠1+∠2=度．8．（2425八年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中点A，B，C均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：(1)作出△ABC关于直线l的对称图形△A(2)在直线l上找一点D，使AD+CD最小．期中重难突破练（测试时间：10分钟）1．（2425八年级上·浙江宁波·期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①AE=BD；②CM=CN；③AM=DN；④△CMN是等边三角形；其中，正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2425八年级上·浙江湖州·期中）如图，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C，DE=BC，AE=AC，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为64，A．8 B．152 C．2033．（2324八年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC+4∠C=180°，AB=5，BC=124．（2425八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=25°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为．5．（2425八年级上·浙江杭州·期中）如图，△ABD,△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是．6．（2122八年级上·浙江温州·期中）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，AF=CD,AB=DE,∠A=∠D，线段BC与线段EF交于点H．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)求证：FH=CH．7．（2425八年级上·浙江金华·期中）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的左侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连结BE．(1)当点D在线段BC上时，求证：△ABE≌△ACD．(2)如图2，若BE∥AC，BC=2．①求△ABC的周长；②在点D在运动过程中，若△ABE的