专题01有理数（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材青岛版

专题01有理数（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律正负数的意义能准确判断正负数在实际情境中的意义基础必考点，常出现在小题有理数的分类能按标准准确分类有理数填空常考，易漏0或混淆分类数轴的概念与应用会画数轴、表数及比较大小小题高频，易漏画数轴要素或比错负数相反数与绝对值会求相反数、算绝对值，理解非负性多题型涉及，易错负数绝对值或忽略非负性核心考点复习目标考情规律正负数的意义能准确判断正负数在实际情境中的意义基础必考点，常出现在小题有理数的分类高频易错点，容易忽视……知识点01有理数的分类注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．（3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．知识要点：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数知识点02数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线．知识要点：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．知识点03相反数只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．知识要点：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．知识点04绝对值（1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．知识点05有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．题型一正负数的实际应用【例1】（2526七年级上·全国·课后作业）一种商品的标准价格是300元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动±10%(1)这里±10%(2)请你算出该商品的最高价格和最低价格．(3)如果以标准价格作为参考，超过标准价格记作“+”，低于标准价格记作“−”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？【答案】(1)见解析(2)330元，270元(3)±30元【思路引导】本题考查了正数和负数的知识．（1）“+”表示加价，“−”表示降价；（2）根据浮动标准，可计算出最高价格和最低价格；（3）求出10%【规范解答】（1）解：±10%（2）最高价格是300+300×10%最低价格是300−300×10%（3）因为300×10%所以该商品价格的浮动范围又可以表示为±30元．【变式11】（2526七年级上·全国·课后作业）某班最近一次数学测试的平均成绩为95分，如果把平均成绩记为0分，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数．小朋得了98分，应记作分，小兰的成绩记作−7分，她的实际得分是分．【答案】+388【思路引导】本题考查了正数、负数的应用，熟练掌握其意义是解题的关键．【规范解答】解：∵平均成绩为95分，把平均成绩记为0分，∴98−95=3，超出3，故记作：+3；小兰的成绩记作−7分，她的实际得分是95−7=88，故答案为：+3，88．【变式12】（2025九年级下·北京·学业考试）某校举行“趣味运动会”，其中有一项目为“接棒过桥”，具体规则为：每组四人手持接力棒过一座独木桥，接力棒只有1根，每次过桥时最多允许两人同时握住接力棒出发（记过桥较慢的人的时间），要求不论去程或者返程时必须有接力棒，当四人全部过桥后记为游戏结束．已知某组的甲，乙，丙，丁四位同学单独过桥所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，请写出一种该组同学完成项目可能需要的时间为分钟，该组同学完成项目所需的最短时间为分钟．【答案】14（答案不唯一）12【思路引导】根据规则解答即可．本题的关键在于每次两人拿接力棒过桥后，必须还要有一人拿接力棒返回，（明确游戏规则）然后继续两人拿接力棒过桥后一人返回，直到四人全部过桥，因此若想时间最短，每次返程的人所用时间应尽可能地短．【规范解答】解：每次两人拿接力棒过桥后，必须还要有一人拿接力棒返回，（明确游戏规则）然后继续两人拿接力棒过桥后一人返回，直到四人全部过桥，因此若想时间最短，每次返程的人所用时间应尽可能地短．∴该组同学完成项目所需的时间规划可以为：甲、乙拿接力棒一起过桥（计时2分钟），甲拿接力棒返回（计时1分钟）；丙、丁拿接力棒过桥（计时5分钟），丙拿接力棒返回（计时3分钟）；甲、丙拿接力棒过桥（计时3分钟），此时全部过桥，所用时间为：2+1+5+3+3=14（分钟）；该组完成项目需要的最短时间为：甲、乙一起过桥（计时2分钟），甲返回（计时1分钟），甲、丙一起过桥（计时3分钟），甲返回（计时1分钟），最后甲、丁再一起过桥（计时5分钟），共需要：2+1+3+1+5=12（分钟）故答案为：14，12．题型二有理数的分类解｜题｜技｜巧有理数有两大分类维度，需先看清题目要求：①按定义分：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；②按性质分：正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。【例2】（2526七年级上·吉林·阶段练习）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里．90%，π，4.3，+72，0，−6.4，−12，+235，整数集合：{_____________}；非负数集合：{_____________}；负有理数集合：{_____________}；【答案】见详解【思路引导】本题主要考查了整数，非负数，负有理数的定义，根据整数包括正整数，0，负整数；非负数包括正数和0，负有理数包括负整数和负分数求解即可．【规范解答】解：整数集合：{+72，0，−12，2025}；非负数集合：{90%，π，4.3，+72，0，+2负有理数集合：{−6.4，−12，−5.1，−22【变式21】（2526七年级上·山东德州·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中：0.3·，15，−12，−81%，227，0，正有理数集合：{

……}负分数集合：{

……}非负整数集合：{

……}非正数集合：{

……}有理数集合：{

……}【答案】0.3·，15，227，0.275，2；−12，−81%，−1.6；15，0，2；−12，−81%，0，−+4，−1.6，−−5；0.3·【思路引导】本题主要考查了实数分类，根据有理数的定义，正数和负数的定义，进行解答即可．【规范解答】解：−+4=−4，正有理数集合：｛0.3·，15，负分数集合：｛−12，−81%非负整数集合：｛15，0，2｝非正数集合：｛−12，−81%，0，−+4，有理数集合：｛0.3·，15，−12，−81%，227，0，故答案为：0.3·，15，227，0.275，2；−12，−81%，−1.6；15，0，2；−12，−81%，0，−+4，−1.6，−−5；0.3·【变式22】（2526七年级上·全国·期中）把下列各数分别填在相应的集合里．+3,−11,21,0,−0.618,36%，−2022，227，−π整数集合{…}；正分数集合{…}；负分数集合{…}；负数集合{…}．【答案】+3,−11,21,0,−2022；36%,227；−0.618,−1.414【思路引导】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类方法求解即可，掌握有理数的分类方法是解题的关键．【规范解答】解：整数集合{+3,−11,21,0,−2022…}；正分数集合36%负分数集合{−0.618,−1.414…}；负数集合−11,−0.618,−2022,−π题型三带“非”字的有理数【例3】（2526七年级上·吉林四平·阶段练习）把下列各数填在相应的横线上．90%，π，4.3，+72，0，−6.4，−12，+235，−5.1，2025(1)整数：_______________；(2)分数：_______________；(3)非负数：_______________；(4)负有理数：_______________．【答案】(1)+72，0，−12，2025．(2)90%，4.3，−6.4，+235，−5.1(3)90%，π，4.3，+72，0，+235(4)−6.4，−12，−5.1，−22【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握整数、分数、非负数、负有理数的定义是解题的关键．（1）根据整数、分数、非负数、负有理数的定义，对给出的数进行分类．（2）根据整数、分数、非负数、负有理数的定义，对给出的数进行分类．（3）根据整数、分数、非负数、负有理数的定义，对给出的数进行分类．（4）根据整数、分数、非负数、负有理数的定义，对给出的数进行分类．【规范解答】（1）解：整数：+72，0，−12，2025，故答案为：+72，0，−12，2025．（2）解：分数：90%，4.3，−6.4，+235，−5.1故答案为：90%，4.3，−6.4，+235，−5.1（3）解：非负数：90%，π，4.3，+72，0，+235故答案为：90%，π，4.3，+72，0，+235（4）解：负有理数：−6.4，−12，−5.1，−22故答案为：−6.4，−12，−5.1，−22【变式31】（2526七年级上·浙江·阶段练习）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里．90%，4.3，+72，0，−6.4，−12，+235，−5.1整数集合：{}；分数集合：{}；非负数集合：{}；负有理数集合：{}．【答案】见解析【思路引导】本题考查了有理数的分类，利用有理数的分类和定义解答．【规范解答】解：整数集合：+72,0,−12,2025；分数集合：90%非负数集合：90%负有理数集合：−6.4,−12,−5.1,−22【变式32】（2122七年级上·四川泸州·期中）把下列各数分别填入相应的集合内．3，7.8，−0.01，223，2021，−15，0，(1)正数集合：{}；(2)负分数集合：{}；(3)非正整数集合：{}．【答案】(1)3，7.8，22(2)﹣0.01，−2(3)﹣15，0【思路引导】本题主要考查有理数的分类，准确掌握正数、负分数、非正整数的定义是解题的关键．（1）根据大于0的数叫做正数，选出符合定义的数填入即可；（2）根据小于0的分数叫做负分数，选出符合定义的数填入即可；（3）根据0和负整数叫做非正整数，选出符合定义的数填入即可．根据有理数的分类进行填写即可．【规范解答】（1）解：正数集合：{3，7.8，22故答案为：3，7.8，22（2）负分数集合：{−0.01，−21故答案为：−0.01，−21（3）非正整数集合：{−15，0}．故答案为：−15，0．题型四数轴上两点之间的距离【例4】（2526七年级上·江苏常州·阶段练习）已知，等边△ABC（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示．(1)将△ABC从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段AC再次落在数轴上），则点A表示的数是___________；(2)将△ABC从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合；(3)将△ABC从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2,−1,+3,−4,−2．①第___________次滚动后，点A离原点最远；②当△ABC结束滚动时，点C表示的数是___________．【答案】(1)−3(2)C(3)①三；②−7【思路引导】本题考查了数轴的概念、正负数的意义，周期性规律的探究等，解决问题的关键是据题意得到等边△ABC滚动一周，等边△ABC的顶点移动3个单位．（1）根据等边△ABC滚动1周后点A的位置得出点A对应的数；（2）根据等边△ABC滚动的规律，即可得出答案；（3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次；②根据等边△ABC结束运动时，点A表示的数即可得出点C表示的数．【规范解答】（1）解：由题意得：0−3×1=−3，所以将等边△ABC从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是−3；故答案为：−3；（2）解：因为2018÷3=672⋯⋯2，所以将等边△ABC从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2018表示的点与点C重合；故答案为：C；（3）解：①因为五次运动后，点A对应的数依次为：0+3×2=6；6−3×1=3；3+3×3=12；12−3×4=0；0−3×2=−6；所以第三次滚动后，点A离原点最远；

②由①知，运动结束后A点对应的是−6，所以C点对应的数是−7．故答案为：①三；②−7．【变式41】（2526七年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−20，B点对应的数为100．(1)请求出在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数；(2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以4个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以6个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，通过计算，请你求出点C对应的数．(3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度？【答案】(1)40(2)52(3)20秒或40秒【思路引导】此题考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程=速度×时间．（1）根据中点坐标公式即可求解；（2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出−20向右运动到相遇地点所对应的数；（3）设当它们运动t秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度，分类讨论：①蚂蚁P追上蚂蚁Q前，②蚂蚁P追上蚂蚁Q后，逐项求解即可．【规范解答】（1）解：M点对应的数是−20+1002（2）由数轴，得A、B两点距离为100−(−20)=120，∴两只蚂蚁相遇时间为1204+6∴点C对应的数为−20+6×12=52．（3）设当它们运动t秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度，依题意，得①蚂蚁P追上蚂蚁Q前，120−6t+2t=40，解得t=20，

②蚂蚁P追上蚂蚁Q后，120+40+2t=6t，t=40．答：当它们运动20秒或40秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度．【变式42】（2526七年级上·河南周口·阶段练习）定义：已知点M，N，Q为数轴上三点，我们规定：点Q到点M的距离是点Q到点N的距离的K倍，则称Q是M,N的“K倍点”，记作：QM,N=K．例如：若点Q表示的数为0，点M表示的数为−2，点N表示的数为1，则Q是M,N的“2倍点”，记作：应用：如图有一条数轴，A、B、P为数轴上三点，分别对应−1，5，−3．(1)①P、B两点之间的距离是__________；②求PB,A(2)若点C在数轴上且CA,B=1，求点(3)若点D是数轴上一点，且DA,B=2，直接写出点【答案】(1)①8；②4；(2)2(3)3或11【思路引导】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键．（1）①根据两点之间的距离即可求解；②根据新定义，求得PA、PB即可求解；（2）根据新定义得到点C为AB的中点，进而求解即可；（3）根据新定义分两种情况：点D在线段AB上和点D在线段AB的延长线上，分别求解即可．【规范解答】（1）解：①∵A、B、P为数轴上三点，分别对应−1，5，−3．∴P、B两点之间的距离是PB=5−−3故答案为：8；②由数轴知，PA=−1−∴PB=4PA，则PB,A（2）解：∵点C在数轴上且CA,B∴CA=CB，则点C为AB的中点，∴点C表示的数为−1+52（3）解：因为D是数轴上一点，且DA,B=2，所以因为点A表示的数为−1，点B表示的数为5，所以AB=5−−1当点D在点A，B之间时，点D表示的数为−1+2当点D在点B的右边时，点D表示的数为−1+2×6=11．所以点D表示的数为3或11．题型五数轴上点的平移（动点问题)【例5】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度．可以看出，终点表示的数是−2．已知A，B都是数轴上的点．参照图中所给的信息，完成下列问题．(1)若点A表示的数是−3，将点A向右移动5个单位长度至点A1，则点A1表示的数是(2)已知点B表示的数是2.5，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D，则点D表示的数是，再向右移动92个单位长度至点C，则点C表示的数是(3)在（2）的条件下，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点M运动到−5.5所在的点处时，求M，N两点间的距离．【答案】(1)2，(2)−4.5，0，(3)13.5，【思路引导】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上点的平移（动点问题），正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据点A表示的数是−3，将点A向右移动5个单位长度至点A1（2）点B表示的数是2.5，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D，得出点D表示的数，再从点D向右移动92个单位长度，进行列式计算，得出点C（3）先根据题意，列式计算，得出点M运动的时间，结合点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点C表示的数为0，列式计算得出点N表示的数，最后列式计算得出点M和点N之间的距离，即可作答．【规范解答】（1）解：∵点A表示的数是−3，将点A向右移动5个单位长度至点A1∴−3+5=2，∴点A1表示的数是2故答案为：2．（2）解：∵点B表示的数是2.5，∴将点B向左移动7个单位长度得到点D表示的数为：2.5−7=−4.5，∴向右移动92个单位长度得到点C表示的数为：−4.5+故答案为：−4.5，0．（3）解：∵点B表示的数是2.5，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M运动到−5.5所在的点处，∴点M运动的时间为2.5−−5.5∵点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点C表示的数为0则点N表示的数为：0+2×4=8，∴点M和点N之间的距离是：8−−5.5【变式51】（2526七年级上·吉林长春·阶段练习）点A在数轴上距原点5个单位长度，将点A先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点B，则点B表示的数是（

）A．1或−9 B．−1或9 C．1或9 D．−1或−9【答案】A【思路引导】本题考查了数轴上点的移动，数轴上表示的数，由题意可得点A表示的数是−5或5，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【规范解答】解：∵点A在数轴上距原点5个单位长度，∴点A表示的数为：−5或5，当点A表示的数为−5时，−5+3−7=−9，当点A表示的数为5时，5+3−7=1，∴点B表示的数是1或−9，故选：A．【变式52】（2023七年级上·全国·竞赛）如图，数轴上点A对应的数为5，点B对应的数为−2，点M、N分别从原点O、A同时出发，分别以a、b的速度沿数轴负方向运动（M在O、B之间，N在O、A之间），运动时间为t，点Q为O、N之间一点，且QN=13BN，若M、N运动过程中MQ的值固定不变，则aA．13 B．12 C．23【答案】C【思路引导】本题考查了数轴上的动点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．由题意可知，AB=7，OM=at，AN=bt，得到MN=5+a−bt，从而得出QN=137−bt，则MQ=【规范解答】解：由题意可知，AB=5−−2=7，OM=at，∴BN=7−bt，ON=5−bt，∴MN=OM+ON=at+5−bt∵QN=1∴QN=1∴MQ=MN−QN=5+a−b∵M、N运动过程中MQ的值固定不变，∴a−2∴a=2∴a故选：C题型六数轴上整点覆盖问题【例6】（2526七年级上·河南南阳·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上画出一条长2025cm的线段AB，则AB盖住的整点个数是（A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026【答案】A【思路引导】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时．【规范解答】解：1、起点在整数点：若线段的起点恰好位于某个整点（如0cm处），则线段每延伸1cm长度为2025cm时，终点为2025覆盖的整点包括起点到终点共2025+1=2026个；2、起点不在整点：若线段起点在两个整点之间（如0.5cm则终点为0.5+2025=2025.5cm此时覆盖的整点从1到2025，共2025个；综上，线段AB盖住的整点个数为2025或2026．故选：A．【变式61】．（2526七年级上·山东枣庄·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是．【答案】2017或2018【思路引导】本题主要考查数轴上线段与整点的关系，熟练掌握分情况讨论线段端点与整点的位置关系是解题的关键．分情况讨论线段AB的端点与整点重合和不重合两种情况，根据线段长度与整点个数的关系求解．【规范解答】解：当线段AB的起点在整点时，盖住的整点个数为2017+1=2018个；当线段AB的起点不在整点时，盖住的整点个数为2017个．故答案为：2017或2018．【变式62】（2425七年级上·江苏常州·阶段练习）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为厘米．【答案】3或2【思路引导】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或n+1个整点，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键．由于若火柴棒的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若火柴棒的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点，据此分析即可求解．【规范解答】解：∵长度为n（n为正整数）的线段盖住n或n+1个整点，．∴长度为m的火柴棒能盖住的3个整点时，火柴棒的长度m=3厘米或m+1=3，即m=2厘米，故答案为：3或2．题型七数轴上的规律探究【例7】（2526七年级上·重庆·阶段练习）如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为A、B、C、D，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上2025的点是（

）A．A B．B C．C D．D【答案】B【思路引导】本题考查了数轴和周期规律，正确理解数轴的相关知识是解题关键．根据圆的周长为4个单位长度，且A、B、C、D为圆的四等分点，可得A、B、C、D四点依次循环出现，求得2025到2的距离，然后计算即可．【规范解答】解：根据题意得，点的运动规律是循环的，循环周期为4，∴2025−2÷4=505⋯3∴落在数轴上2025的点是B，故选：B．【变式71】（2526七年级上·山东日照·阶段练习）如图，把周长为4个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C，D四点将圆四等分，将点D与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，滚动一次则点B与数轴上表示2的点重合，滚动第二次点A与数轴上表示3的点重合，滚动第3次点C与数轴上表示4的点重合，…，在滚动过程中，数轴上的数2027与点（

）重合．A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】A【思路引导】本题考查数轴上的规律问题，根据圆的滚动规律可知4次一个循环，用2027除以4，取余数，进行判断即可．【规范解答】解：由题意，圆沿着数轴正方向滚动一圈按D，B，A，C的顺序排列：2027÷4=506⋯3，∴数轴上的数2027与点A重合；故选A．【变式72】（2526七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为−2和−1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（

）A．A点 B．B点 C．D点 D．E点【答案】B【思路引导】本题主要考查了数轴，根据题意可得，翻转后数轴上1，2，3，4，5，6对应的点为D，C，【规范解答】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1，2，3，4，5，6对应的点为D，则2025÷6=337……3，所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是B．故答案为：B．题型八相反数的应用【例9】（2425七年级下·黑龙江绥化·期末）用“→”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有a←b=−a和a→b=b，例如：3←2=−3，3→2=2，则(2025←2023)←(2023→2024)=．【答案】2025【思路引导】本题主要考查了相反数，根据题意，先计算括号内的运算，再根据新定义运算的规则进行解答即可．【规范解答】解：(2025←2023)←(2023→2024)=(−2025)←2024=2025．故答案为：2025．【变式81】（2425七年级上·浙江宁波·开学考试）若3x+1与y+12(1)xy的值；(2)−x【答案】(1)1(2)−【思路引导】本题考查相反数的性质，非负数的性质，代数式求值，掌握互为相反数的两个数的和为0，平方和绝对值的非负性是解题关键．（1）根据相反数的性质结合平方和绝对值的非负性可求出x和y的值，再代入xy中求值即可；（2）将x和y的值代入−x【规范解答】（1）解：∵3x+1与y+12∴3x+1+∵3x+1≥0，y+1∴3x+1=0，y+1=0，解得：x=−13，∴xy=−1（2）解：当x=−13，y=−1时，【变式82】（2425七年级上·福建福州·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m=1，求2024【答案】0或−2【思路引导】本题主要考查了代数式的求值，相反数，倒数，绝对值的意义，掌握相反数，倒数，绝对值的意义是解题的关键．根据相反数，倒数，绝对值的意义得a+b=0，cd=1，m=±1，，然后分别代入求值即可．【规范解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m=1∴a+b=0，cd=1，m=±1，当m=1时，2024a+b当m=−1时，2024a+b综上2024a+b−cd+m的值为0或题型九绝对值的几何意义【例10】（2526七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知A、B、C、D在数轴上表示的数分别为a、b、c、d且满足a+1=b+1，1−c=1−d，则【答案】0【思路引导】本题考查数轴表示数的意义和方法，根据A、B、C、D在数轴上的位置，确定a，b，c，d的大小关系，再根据a+1=b+1，1−c=1−d，得到数轴上表示数a、b的点到表示数−1的距离相等，可求出【规范解答】解：由点A、B、C、D在数轴上表示的数a、b、c、d的位置，可得，a<−1<b<0<c<1<d，∵a+1=b+1，即数轴上表示数a、b的点到表示数∴a+b=−2，同理c+d=2，∴a+b+c+d=−2+2=0，故答案为：0．【变式91】（2526七年级上·江西南昌·阶段练习）我们知道，a可以理解为a−0，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A,B，分别用数a,b表示，那么A,B两点之间的距离为AB=a−b，反过来式子a−b的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数(1)利用此结论，回答以下问题．①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是______；②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是______，如果AB=2，那么x(2)探索规律：①当x−1+②当x−1+③当x−1+(3)知识迁移：x+4−【答案】(1)①3；4；②x+1；1或−3(2)①1；②2；③4(3)9，−9【思路引导】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上点A所表示的数为a，点B所表示的数为b，则AB=（1）①理解并掌握AB=a−b及其几何意义，即可求解；②理解并掌握（2）①理解并掌握AB=a−b及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解；②理解并掌握AB=（3）理解x+4+x−5表示的几何意义，然后分类讨论数x的点在表示数−4点的左侧、数x的点在表示数−4，5两点之间、数x的点在表示数【规范解答】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|2−5|=3；数轴上表示1和−3的两点之间的距离是：1−−3故答案为：3；4．②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是：x−−1当AB=2，则x+1∴x+1=2或x+1=−2，由x+1=2解得：x=1，由x+1=−2解得：x=−3，∴x的值为：1或−3，故答案为：x+1；1或−3；（2）解：①∵|x−1|的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离；|x−2|的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离；∴x−1+x−2的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数根据“两点之间，线段最短”可知：∴当表示数x的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，x−1+x−2为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为即x−1+故答案为：1．②∵x−1+x−2+x−3的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离、数轴上表示数根据“两点之间，线段最短”可知：当数轴上表示数x的点与表示2的点重合时，x−1+x−2+即x−1+故答案为：2；③∵x−1+x−2+x−3+x−4的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离、数轴上表示数根据“两点之间，线段最短”可知：当表示数x的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时，x−1+x−2+即x−1+故答案为：4；（3）解：∵x+4−x−5表示的几何意义是：在数轴上表示数x、−4两点间的距离与数轴上表示数①当在数轴上表示数x的点在表示数−4点的左侧时，即x<则x+4<0，∴x+4=−x−4，x−5∴x+4−②当在数轴上表示数x的点在表示数−4，5两点之间时，即−4≤x≤5，则x+4≥0，x−5≤0，∴x+4=x+4，x−5∴x+4−③当在数轴上表示数x的点在表示数5点的右侧时，即x>则x+4>0，∴x+4=x+4，x−5∴x+4−∴−9≤x+4∴x+4−x−5的最大值是9，x+4−故答案为：9；−9．【变式92】（2526七年级上·江西南昌·阶段练习）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB=a−b，例如：数轴上表示−1与−2的两点间的距离=−1−−2=−1+2=1；而x+2=x−−2利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示−2和6两点之间的距离为__________；(2)若数轴上表示点x的数满足x−1=2，那么x=(3)若数轴上表示点x的数满足−4<x<3，则x−3+(4)x−3+【答案】(1)8(2)3或−1(3)7(4)11【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离公式，解题的关键是熟练运用距离公式和绝对值的性质进行计算．（1）利用数形结合思想和题干中的结论解答即可；（2）根据题意可得x−1=2表示x（3）根据题意可知：x−3+x+4表示x到3两点间的距离与x到−4两点间的距离之和，再由（4）根据题意可得x−3+x+4+x+8表示x到3，【规范解答】（1）解：数轴上表示−2和6两点之间的距离为6−−2故答案为：8（2）解：根据题意得：x−1=2表示x∴x的值为3或−1；故答案为：3或−1（3）解：根据题意得：x−3+x+4表示x到3两点间的距离与x到∵−4<x<3，∴x在3与−4之间，∴x−3+x+4的值为故答案为：7（4）解：根据题意得：x−3+x+4+x+8表示x到3，∴当x=−4时，x−3+x+4+故答案为：11题型十带有字母的绝对值化简问题【例11】（2324七年级上·四川广元·期中）若abc≠0，则aaA．4 B．0 C．1 D．−4【答案】C【思路引导】此题考查了化简绝对值，分别讨论a、b、c中正数和负数的个数，再去绝对值计算，判断a、b、c的符号是解题的关键．【规范解答】解：∵abc≠0，∴若a、b、c都为正数，则abc>0，则aa若a、b、c中2个为正，1个为负，不妨设a>0,b<0,c>0，则abc<0，则aa若a、b、c中1个为正，2个为负，不妨设a>0,b<0,c<0，则abc>0，则aa若a、b、c都为负数，则abc<0，则aa∴aa+bb+cc故选：C．【变式101】（2526七年级上·北京·阶段练习）对于有理数x,y，a,t，若|x−a|+|y−a|=t，则称x和y关于a的“距和数”为t，例如，|2−1|+|3−1|=3，则2和3关于1的“距和数”为3．(1)3和5关于2的“距和数”为__________(2)若x和2关于3的“距和数”为4，求x的值；(3)若x0和x1关于1的“距和数”为1，x1和x2关于2的“距和数”为1，x2和x①x0②x1【答案】(1)8(2)x的值为6或0(3)①1；②136【思路引导】本题考查了绝对值的运算、根据新定义“距和数”列方程求解以及绝对值的几何意义（表示数轴上两点间距离）；解题的关键是紧扣“距和数”定义|x−a|+|y−a|=t，利用绝对值的非负性和几何意义处理计算、解方程及最值问题．（1）直接代入“距和数”定义，计算|−3−2|+|5−2|的结果；（2）根据定义列方程|x−3|+|2−3|=4，简化后解绝对值方程得x的值；（3）①由|x0−1|+|②观察相邻“距和数”关系，每个关系式|xk−(k+1)|+|xk+1−(k+1)|=1中，利用①的规律确定【规范解答】（1）解：根据“距和数”定义，|−3−2|+|5−2|=|−5|+|3|=5+3=8，故答案为：8．（2）解：∵x和2关于3的“距和数”为4，∴|x−3|+|2−3|=4，化简得|x−3|+1=4，即|x−3|=3，则x−3=3或x−3=−3，解得x=6或x=0，答：x的值为6或0．（3）①解：∵x0和x∴|x由绝对值几何意义：x0、x要使x0+x1最小，需此时(1−x0)+(1−故答案为：1．②解：x1和x2关于2：|x1−2|+|x2−2|=1，需x1x2和x3关于3：|x2−3|+|……x15和x16关于16：|x15−16|+|则x1=1，x2其和为1+2+3+⋯+16=16×(1+16)故答案为：136．【变式102】（2425六年级上·山东烟台·期末）【阅读理解】我们知道x的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，x表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：m−n表示在数轴上数m,n对应点之间的距离．例如：数轴上表示数a和−1的两点的距离等于a−−1参考阅读材料，解答下列问题．（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和−1的两点之间的距离是；【问题探究】（3）若数轴上表示数a的点位于−3与5之间，化简：a+3+（4）利用数轴探究，当a−1+a−2的值最小时，相应的数【实际应用】（5）请利用问题探究中的结论，求出a−1+（6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：A1,A2,A3,A【答案】（1）3；（2）x+1；（3）8；（4）1≤a≤2；（5）2；（6）A【思路引导】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键．（1）由两点间距离直接求解即可；（2）由两点间距离直接求解即可；（3）根据绝对值的性质化简绝对值，再计算即可；（4）由两点距离的意义进行求解即可；（5）当a=2时代数式的值最小，即可得到答案；（6）取最中间点即可．【规范解答】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是5−2=3（2）数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是x−(−1)=（3）∵−3≤a≤5，∴a+3+（4）①如图1，当a<1时，a−1+②如图2，当1≤a≤2时，a−1+③如图3，当a>2时，a−1+∴当a−1+a−2取最小值时，相应的数a的取值范围是（5）∵a−1+a−2+a−3表示在数轴上数a的点与表示数∴当a=2时，a−1+2−1=1+0+1=2；（6）为了使2023户居民到快餐店的距离总和最小，快餐店应建在中间位置，即第1012户居民处，即A1012题型十一绝对值非负性【例12】（2526七年级上·全国·课后作业）已知a−3+(1)求a与b的值；(2)若x=2a+4b，求x【答案】(1)a=3，b=2；(2)x的相反数为−14或14．【思路引导】本题考查了绝对值概念和绝对值非负性，掌握知识点的应用是解题的关键．（1）根据非负数的性质即可求出a、b的值；（2）将a与b的值代入代数式进行计算，然后解出x的值，再求x的相反数即可．【规范解答】（1）解：因为a−3+所以a−3=0，2b−4=0，解得a=3，b=2；（2）解：因为a=3，b=2，所以x=2a+4b=2×3+4×2=6+8=14所以x=±14，所以x的相反数为−14或14．【变式111】（2526七年级上·全国·课后作业）根据x是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题：(1)当x=_____时，x−2025有最小值，这个最小值是_____．(2)当x=_____时，2025−x−1【答案】(1)2025，0(2)1，2025【思路引导】（1）x−2025≥0,仅当x−2025=0（2）x−1≥0,要使得2025−x−1有最大值，则只需满足【规范解答】（1）解：根据题意得：x−2025≥0仅当x−2025=0时，即x=2025,x−2025=0∴当x=2025时，x−2025有最小值，这个最小值为0.（2）解：∵x−1∴2025−x−1仅当x−1=0时，即x=1，2025−x−1∴当x=1时，2025−x−1【考点剖析】本题考查了绝对值的非负性质，熟练掌握绝对值的相关运算是解本题的关键.【变式112】（2324七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________A．数形结合思想B．转化思想C．方程思想D．分类讨论思想回答下列问题：（2）若x=2，求x（3）若y−1=0，求y（4）当x=__________时，x−1有最小值，最小值为__________．（5）当x+4+y−7取最小值时，求x，【答案】（1）D（2）±2（3）1（4）1，0（5）−4,7【思路引导】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可．（2）根据题意，分类解答即可．（3）根据0=0（4）根据x−1≥0，得到最小值为0，此时x−1（5）根据x+4≥0,y−7≥0，得到x+4+y−7本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键．【规范解答】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，故选：D．（2）解：∵x=2∴x≥0时，x=2；x<0时，−x=2，解得x=−2故x的值为±2．（3）解：根据0=0，得y−1=0，解得y=1，故y的值为1．（4）解：根据x−1≥0，得到x−1故x−1=0，解得x=1；故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0．（5）解：根据题意，得x+4≥0,故x+4+故x+4=0,y−7=0此时x+4=0,y−7=0，解得x=−4,y=7，故x=−4,y=7．题型十二绝对值的其他应用【例13】（2526七年级上·山东青岛·阶段练习）同学们都知道：5−−2表示5与−2之差的绝对值，实际上也可理解为5与−2(1)数轴上表示5与−2两点之间的距离是_____；(2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为_____．(3)如果x−2=5，则x=(4)同理x+3+x−1表示数轴上有理数x所对应的点到−3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得(5)由以上探索猜想对于任何有理数x，x−3+(6)x+6+【答案】(1)7(2)x−2(3)7或−3(4)−3(5)3(6)9【思路引导】本题考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键．（1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可；（2）根据数轴上两点间距离的求法计算即可；（3）根据数轴上两点间距离的求法计算即可；（4）根据绝对值的几何意义可知当−3≤x≤1时，x+3+（5）先根据x−3+x−6可理解为：在数轴上表示x到3和6的距离之和，继而推导出当3≤x≤6时，（6）根据x+6+x−1+x−3表示数轴上点x到得到当x=1时，x+6+x−1+【规范解答】（1）解：数轴上表示5与−2两点之间的距离是5−−2故答案为：7；（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为x−2．故答案为：x−2．（3）∵x−2=5表示数轴上有理数x∴x=2+5=7或x=2−5=−3．故答案为：7或−3．（4）∵x+3+x−1表示数轴上有理数x所对应的点到∴x+3+∴这样的整数在−3与1之间（包含−3、1），为−3、故答案为：−3、（5）x−3+x−6可理解为：在数轴上表示∴当3≤x≤6时，x−3+x−6的值有最小值，最小值为（6）∵x+6+x−1+x−3表示数轴上点x到∴当x=1时，x+6+x−1+即x+6+【变式11】（2425七年级上·全国·随堂练习）某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有0.2cm的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：cm零件号数①②③④⑤数据+0.13−0.25+0.09−0.11+0.23(1)符合要求的零件是哪几个？(2)这5个零件中质量最好的是哪一个？【答案】(1)①③④号零件符合要求(2)③号零件质量最好【思路引导】本题考查了正负数，绝对值．（1）根据题意，超过部分为正，不足部分为负，绝对值小于0.2的产品符合要求；（2）根据绝对值越小，与规定直径的偏差越小，它们中绝对值最小的是质量最好的，从而得出答案．【规范解答】（1）解：①+0.13=0.13<0.2②−0.25=0.25>③+0.09=0.09<0.2④−0.11⑤+0.23=0.23>0.2故①③④号零件符合要求；（2）解：因为0.09<0.11<0.13<0.23<0.25，所以③号零件质量最好．【变式12】（2425七年级上·云南昆明·期中）2024年9月9日受台风“摩羯”的影响，云南红河州进入Ⅱ级应急响应状态，某消防队参与救援抢险，消防员战士将消防车加满油，沿南北方向的道路抢修各种故障，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶路程记录如下：（单位：千米）+15,−9,+8,−17,+13,−6,+10,−15,−8,+12(1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？(2)若消防车每千米耗油1.5升，油箱容量为150升，求当天救灾过程中至少还需补充多少升油？【答案】(1)B地位于A地北边，距离A地3千米(2)至少还需补充油量19.5升【思路引导】本题主要考查正负数的意义，有理数的混合运算，绝对值的性质等知识，掌握以上知识是解题的关键．（1）根据正负数的意义，有理数的加减法的运算即可求解；（2）根据行程计算当天的行程，再根据有理数的混合运算即可求解．【规范解答】（1）解：根据题意得，+15−9+8−17+13−6+10−15−8+12=3，∴B地位于A地北边，距离A地3千米；（2）解：根据题意得：+15+∵每千米耗油1.5升，∴共耗油量为1.5×113=169.5（升），∵油箱容量为150升，则169.5−150=19.5（升），答：至少还需补充油量19.5升．题型十三有理数的大小比较易｜错｜点｜拨比较负数时，别忽略“绝对值大的反而小”，避免错判【例14】（2526七年级上·全国·课后作业）定义：对于任意数a，符号a表示不大于a的最大整数．如：［5.1（1）3.8=，−π（2）如果a=−6，那么a的取值范围是【答案】3−4−6≤a<−5【思路引导】本题考查新定义，比较有理数的大小关系，熟练掌握新定义，是解题的关键：（1）根据新定义，进行求解即可；（2）根据新定义，得到a的取值范围即可．【规范解答】解：（1）∵符号a表示不大于a的最大整数，∴3.8=3，−故答案为：3,−4；（2）∵a=−6∴−6≤a<−5．故答案为：−6≤a<−5【变式11】（2526七年级上·全国·课后作业）比较大小：（1）1−2．（2）−9.01−9.001．（3）−−89（4）−56【答案】><<>【思路引导】本题考查了有理数大小比较的方法，掌握有理数大小比较的法则是解题的关键．（1）根据正数大于负数，即可解答；（2）根据“两个负数，绝对值大的其值反而小”，即可解答；（3）化简得−−89=89、（4）化简得−−【规范解答】解：（1）∵正数大于负数，1是正数，−2是负数，∴1>−2．故答案为：>（2）∵−9.01=9.01，−9.001∴−9.01<−9.001．故答案为：<．（3）∵−−8989∴8090<81故答案为：<．（4）∵−−∴2024<∴−故答案为：>．【变式12】（2526七年级上·全国·课后作业）min(a,b)表示a,b两数中的较小者，maxa,b表示a,b两数中的较大者，如min−4,5=−4，【答案】−【思路引导】本题根据所给的新定义运算先分别求出max−13【规范解答】解：因为−1所以−1所以max−因为−3所以−3所以min−所以minmax因为−1所以−1所以原式=min【考点剖析】本题根据所给的新定义运算，需要明确运算顺序，先算出内层的最大数和最小数，再对这两个结果比较大小，最终得到答案.期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．在−4，3.5，π4，54，1，−23A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【思路引导】本题考查了有理数的分类，根据有理数包括整数和分数解答即可．【规范解答】解：在−4，3.5，π4，54，1，−23，1.2434434443……（两个3之间依次增加一个4）中，有理数有−4，3.5，故选：C．2．在−3，−25，0，18%，π4，3.1415926，1.3，0.232232223⋯A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【思路引导】本题考查了有理数的定义，整数和分数统称为有理数，整数分为正整数，零和负整数；分数分为正分数和负分数．据此判断即可．【规范解答】解：−3，故选：B．3．如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有（

）个．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【思路引导】本题主要考查了数轴与有理数，根据数轴和有理数的分类可知被墨迹盖住的整数有：−5，−4，−3，−1，0，1，2，进而可得出答案．【规范解答】解：根据数轴可知，被墨迹盖住的整数有：−5，−4，−3，−1，0，1，2，一共有7个，故选C4．如图，点B，C，A是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为−2，c，3．小肖同学用尺子测得点A和点C之间的距离为1cm，点A和点B之间的距离为2.5cm，则数轴上点C所对应的数为（A．−1 B．0 C．1 D．2【答案】C【思路引导】本题考查了数轴上两点之间的距离，由题意得一个单位长度表示2.5÷3−【规范解答】解：∵点B，A分别对应的数为−2，3，点A和点B之间的距离为2.5cm∴一个单位长度表示2.5÷3−∵点A和点C之间的距离为1cm∴点A和点C距离两个单位长度；∴c=3−2=1；故选：C5．下列各数中：−2.4，3，−103，−0.15，0，−−2.28，−【答案】3【思路引导】本题考查了有理数的分类，小于0的分数为负分数．据此即可作答．【规范解答】解：根据题意可知，−−2.28=2.28，−−4∴在−2.4，3，−103，−0.15，0，−−2.28负分数为：−2.4，−103，故答案为：3．6．如图，数轴的单位长度为1．如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是．【答案】−4【思路引导】本题考查了数轴，由图可得AB=2，再由点B，C表示的数的绝对值相等，且点B在点C的左边，BC=4，即可得出点B所表示的数为−2，即可求出点A表示的数．【规范解答】解：由点A、B在数轴上的位置可知，AB=2，又∵点B，C表示的数的绝对值相等，且点B在点C的左边，BC=4∴点B所表示的数为−2，∴点A表示的数是−4，故答案为：−4．7．把下列各数填在相应的大括号里．+8，0.275，−−2，0，−1.04，−−22，正数集合{

}；整数集合{

}；分数集合{

}；非负有理数集合{

}．【答案】+8，0.275，227，π2；+8，−−2，0，−−22；0.275，−1.04，【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，先将能化简的数化简，再按照正数、整数、分数和非负有理数的定义即可解答．【规范解答】解：由题意可得：−−2=−2，∴正数集合：{+8，0.275，227，π整数集合：{+8，−−2，0，−分数集合：{0.275，−1.04，227非负有理数集合：{+8，0.275，0，227故答案为：+8，0.275，227，π2；+8，−−2，0，−−22；0.275，−1.04，228．在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决．(1)当式子x+1+x−2取最小值时，相应的(2)当式子x−2+x−4+【答案】(1)−1≤x≤2，3(2)4≤x≤6，8【思路引导】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算．（1）由题意得，x+1+x−2表示的是数轴上表示数x的点到表示数“−1”和“2”的点的距离之和，当−1≤x≤1时，（2）同（1）可知式子x−2+x−4+【规范解答】（1）解：x+1表示在数轴上代表x的点到数字“−1”的距离，x−2表示在数轴上代表x的点到数字“2”的距离，则x+1+x−2表示在数轴上代表x的点到数字“所以，当代表x的点在数字“−1”和“2”之间，即−1≤x≤2时，此距离之和最小，且最小值为3；故答案为：−1≤x≤2，3；（2）解：∵x−a看成数轴上数x到数a的距离，∴式子x−2+x−4+∴当4≤x≤6时，x−2+故答案为：4≤x≤6，8．9．画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“<”将它们连接起来：3，−2，1.5，−34，0【答案】数轴表示见解析，−2<−【思路引导】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，先画出数轴，再把有理数在数轴上表示出来，进而根据数轴比较有理数的大小即可，正确画出数轴是解题的关键．【规范解答】解：各数在数轴上表示如下：由数轴可得，−2<−310．如图，数轴上点A表示的数是−2，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是−1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+4=5，则称点P为点A、B的“5格距点”．(1)若点P表示的数是2，则n的值为______；(2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个；(3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值．【答案】(1)5(2)6(3)点P表示的数为2或4，n=5或n=7【思路引导】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键．（1）由题意可求出点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为5，即可求解；（2）根据题意可得出，即说明点P在线段AB上，从而得出整点P所表示的数是−2，−1，0，1，2，3；（3）由题意可求出点P表示的数是2或4，进而即可求出n的值．【规范解答】（1）解：∵点P表示的数为2，∴点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为4+1=5，∴点P为点A、B的“5格距点”，∴n=5，故答案为：5；（2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”，∴PA+PB=5，即P在线段AB上，∴整点P所表示的数是−2，−1，0，1，2，3，共6个，故答案为：6；（3）解：∵点P到点B的距离为1，∴点P表示的数为2或4，①当点P表示的数为2时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为4+1=5，此时n=5；②当点P表示的数为4时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为6+1=7，此时n=7．期中重难突破练（测试时间：10分钟）1．5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2025年10月1日20时应是（

）A．纽约时间2025年10月1日5时 B．伦敦时间2025年10月1日12时C．巴黎时间2025年10月1日7时 D．汉城时间2025年10月1日19时【答案】B【思路引导】本题考查数轴的应用，涉及利用数轴比较有理数大小，根据数轴上的国际标准时间得到北京时间与其他四个城市时间差即可得到答案，数形结合是解决问题的关键．【规范解答】解：如图所示：当北京时间是20时，对应：纽约时间比北京时间早13个小时；伦敦时间比北京时间早8个小时；巴黎时间比北京时间早7个小时；汉城时间比北京时间晚1个小时；∴北京时间2025年10月1日20时，对应：纽约时间是当天早上7时；伦敦时间是当天中午12时；巴黎时间是当天下午13时；汉城时间是当天晚上21时．故选：B．2．数轴上点A表示数−3，将点A沿数轴移动7个单位长度得到点B，则点B表示的数是（

）A．4 B．−4和10 C．−10 D．−10和4【答案】D【思路引导】此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减．根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即可．【规范解答】解：点A表示的数是−3，沿数轴左移7个单位，得−3−7=−10，点A表示的数是−3，沿数轴右移7个单位，得−3+7=4，故选：D．3．如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为A、B、C、D，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上2025的点是（

）A．A B．B C．C D．D【答案】B【思路引导】本题考查了数轴和周期规律，正确理解数轴的相关知识是解题关键．根据圆的周长为4个单位长度，且A、B、C、D为圆的四等分点，可得A、B、C、D四点依次循环出现，求得2025到2的距离，然后计算即可．【规范解答】解：根据题意得，点的运动规律是循环的，循环周期为4，∴2025−2÷4=505⋯3∴落在数轴上2025的点是B，故选：B．4．数轴上一点M到原点的距离是4，则点M在数轴上移动4个单位长度后，点M表示的数是．【答案】0或8或−8【思路引导】本题考查了用数轴上的点表示有理数，由题意得点M表示的数是4或−4；分类讨论：若将点M向右移动4个单位长度，若将点M向左移动4个单位长度，两种情况即可求解；【规范解答】解：∵点M到原点的距离是4，∴点M表示的数是4或−4；若将点M向右移动4个单位长度，则点M表示的数是：4+4=8或−4+4=0；若将点M向左移动4个单位长度，则点M表示的数是：4−4=0或−4−4=−8；综上所述：点M表示的数是0或8或−8；故答案为：0或8或−85．下列关于有理数的说法：①绝对值等于本身的数只有0；②一个正数的相反数是负数；③相反数等于本身的数只有1个；④最小的负整数是−1，其中所有正确的说法有．（填序号）【答案】②③【思路引导】本题考查了绝对值，相反数和负整数，掌握相关定义和意义是解题关键．根据绝对值的意义，相反数和负整数定义逐一判断即可．【规范解答】解：①绝对值等于本身的数是0和正数，原说法错误，不符合题意；②一个正数的相反数是负数，说法正确，符合题意；③相反数等于本身的数只有1个，也就是0，说法正确，符合题意；④最大的负整数是−1，原说法错误，不符合题意；故答案为：②③．6．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为−1和−2，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第1次翻转后，点B所对应的数为0；则翻转2025次后，点B在数轴上对应的数字是．【答案】2024【思路引导】本题考查了数轴，数字、字母规律问题，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．根据题意可知每4次翻转为一个循环组依次循环，用2025除以4，根据是否整除可知点B在数轴上．然后进行计算即可得解．【规范解答】解：∵每4次翻转为一个循环组依次循环，∴2025÷4=506...1∴翻转2025次后点B在数轴上，∴点B对应的数是2025−1=2024，故答案为：2024．7．如图，已知A、B、C、D在数轴上表示的数分别为a、b、c、d且满足a+1=b+1，1−c=1−d，则【答案】0【思路引导】本题考查数轴表示数的意义和方法，根据A、B、C、D在数轴上的位置，确定a，b，c，d的大小关系，再根据a+1=b+1，1−c=1−d，得到数轴上表示数a、b的点到表示数−1的距离相等，可求出【规范解答】解：由点A、B、C、D在数轴上表示的数a、b、c、d的位置，可得，a<−1<b<0<c<1<d，∵a+1=b+1，即数轴上表示数a、b的点到表示数∴a+b=−2，同理c+d=2，∴a+b+c+d=−2+2=0，故答案为：0．8．（1）用铅笔直尺画数轴，并在数轴上把下列各数表示出来：−7（刻度在数轴下方，要表示数字在数轴上）（2）请按从小到大的顺序用“<”号将（1）中的4个数连接起来．【答案】数轴表示见解析，−【思路引导】（1）先化简各数，再把它们在数轴上表示出来即可；（2）根据数轴比较大小即可；本题考查了利用数轴比较有理数的大小，正确画出数轴是解题的关键．【规范解答】解：（1）−22=4，−1∴各数在数轴上表示如下：（2）由数轴可得，−−39．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是___________；表示−3和2两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于m−n．(2)如果x−1=3，那么x=___________；如果x+1=3(3)若a−3=2，b+2=1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、(4)若数轴上表示数a的点位于−4与2之间，则a+4+【答案】(1)3，5(2)4或−2；2或−4(3)8，2(4)6【思路引导】此题考查了绝对值的定义，数轴上两点之间的距离的计算方法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，应牢记且会灵活运用．（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解答；（2）根据绝对值可得：x−1=±3，x+1=±3，即可解答；（3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；（4）根据a+4+a−2表示数a的点到−4与【规范解答】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是4−1=3，表示−3和2两点之间的距离是2−−3故答案为：3，5；（2）∵x−1∴x−1=3或x−1=−3，解得：x=4或x=−2；∵x+1=3∴x+1=3或x+1=−3，解得：x=2或x=−4；故答案为：4或−2；2或−4；（3）∵a−3=2，b+2∴a=5或a=1，b=−1或b=−3，∵数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，∴当a=5，b=−3时，则A、B两点间的最大距离是5−−3当a=1，b=−1时，则A、B两点间的最小距离是1−−1故答案为：8，2；（4）∵数轴上表示数a的点位于−4与2之间，∴a+4+故答案为：6．10．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：3−1可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；3+1可以理解为数轴上表示3与−1的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和−3的两点之间的距离可用|4−−3(1)数轴上表示3和9的两点之间的距离是；数轴上表示2和−5的两点之间的距离是．（直接写出最终结果）(2)若数轴上表示的数x和−2的两点之间的距离是4，则x的值为．(3)若x表示一个有理数，使得x+1+x−3有最小值，请直接写出满足要求的整数x是【答案】(1)6；7(2)−6或2(3)−1，0，1，2，3【思路引导】本题考查数轴上两点之间的距离，会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键．（1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可；（2）根据题意得到x−−2（3）x+1+x−3表示x到−1和【规范解答】（1）解：数轴上表示3和9的两点之间的距离是3−9=6数轴上表示2和−5的两点之间的距离是2−−5故答案为：6；7；（2）解：根据题意得：x−−2解得x=2或x=−6，故答案为：−6或2；（3）解：x+1+x−3表示x到当x在−1和3之间时距离之和最小，此时，整数x是−1，0，1，2，3，故答案为：−1，0，1，2，3．期中综合拓展练（测试时间：15分钟）1．下列各对数中，互为相反数的是（

）A．3和13 B．32和−1.5 C．−3和13【答案】B【思路引导】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义逐一分析即可，掌握相反数的定义是解题的关键．【规范解答】解：A、3+1B、32C、−3+1D、4+−5故选：B．2．如图，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为A、B、C、D，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，则落在数轴上−2025的点是（

）A．A B．B C．C D．D【答案】D【思路引导】本题考查了数轴，正确理解数轴的相关知识是解题关键．根据圆的周长为4个单位长度，且A、B、C、D为圆的四等分点，可得A、B、C、D四点依次循环出现，求得−2025到2的距离，然后计算即可．【规范解答】解：根据题意可得：A、B、C、D四点依次循环，∵数轴上表示−2025的点到2的距离为2−−20252027÷4=506⋅⋅⋅3，所以落在数轴上−2025的点是D．故选：D．3．如图，数轴上点A、B表示的数分别是a、b，b−a=8；M为数轴上一点，其表示的数为m，当点M在数轴上移动时，若m−a+m−b的值始终保持不变，则当m−a=3m−b时，A．2 B．2.5 C．3 D．4【答案】A【思路引导】本题考查了绝对值的几何意义，根据m−a+m−b的值始终保持不变，可知a≤m≤b，所以可得：m−a+m−b=8，又因为m−a=3m−b【规范解答】解：∵m−a+∴a≤m≤b，∴m−a又∵m−a=3∴m−a∴m−b故选：A．4．点A，点B在数轴上表示的数分别为−3和5，点C是数轴上一点，若BC=2AC，则点C所表示的数为．【答案】−11或−【思路引导】本题考查了数轴及两点间的距离，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．先求出AB=8，分点C在A左边和点C在线段AB上两种情况来解答．【规范解答】解：AB=5−−3当点C在A左边时，∵BC=2AC，∴AB+AC=2AC，∴AC=8，此时点C表示的数为−3