初中数学浙教版八年级上册23等腰三角形的性质定理举一反三

2.3等腰三角形的性质定理xixix

快速定位题型题型目录TOC\o"13"\h\z\u【题型1】用定义判定等腰三角形 5【题型2】根据等角对等边判定等腰三角形 10【题型3】等腰三角形的性质与判定 13【题型4】等边三角形的判定和性质 18xixxix

夯实必备知识新知梳理【知识点1】等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．1.（2025春•泾阳县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（）A．55°B．70°C．70°或55°D．70°或40°【答案】C【分析】先分顶角为70°和底角为70°两种情况，再根据等腰三角形的性质即可解答．【解答】解：当它的顶角为70°时，它的顶角度数为：（180°70°）÷2=55°；当它的底角为70°时，它的顶角度数为：180°2×70°=40°；∴它的底角度数是55°或70°．故选：C．2.（2024秋•谯城区期末）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和高．若AB=AC，∠ACE=32°，则∠BAD的度数为（）A．32°B．29°C．28°D．25°【答案】B【分析】根据CE分别是△ABC的高求出CE⊥AB，根据直角三角形的性质求出∠BAC=58°，再根据“等腰三角形底边上的中线、顶角平分线重合”求解即可．【解答】解：∵CE是△ABCDE的高，∴CE⊥AB，∴∠BAC+∠ACE=90°，∵∠ACE=32°，∴∠BAC=58°，∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC∴∠BAD=29°，故选：B．【知识点2】等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．1.（2024•浙江模拟）如图，D是等边三角形ABC的边AC上一点，作AE⊥BD于点E，若BC=7，∠AEC=150°，则CD的长为（）A．3B．5C．7D．7【答案】C【分析】过点E作EG⊥CE，使EG=AE，作CF⊥BD．根据三角形全等的判定以及三角形相似的性质是解题的关键．【解答】解：过点E作EG⊥CE，使EG=AE，作CF⊥BD，交BD延长线于点F，∵∠AEC=150°，∴∠AEG=60°，∴△AEG是等边三角形，∵∠BAE+∠EAC=∠GAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAG，在△AGC和△AEB中，{AB=AC∴△AGC≌△AEB（SAS），∴∠AGC=∠AEB=90°，∵∠EGA=60°，∠AGC=90°，∴∠EGC=∠AGC∠EGA=30°，∠GCE=∠GEC∠EGC=60°，设EG=x,∴CE=3∵∠AEC=150°，∠AED=90°则∠CEF=150°90°=60°∴CF=sin60°CE=3∵∠CFD=∠AED，∠ADE=∠CDF，∴△CFD∽△AED，∴CFAE∴CD=7故选：C．2.（2023秋•龙山区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（）A．25°B．60°C．85°D．95°【答案】D【分析】等边三角形的三个角都为60°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．【解答】解：∠ADB=∠DBC+∠C=35°+60°=95°．故选：D．【题型1】用定义判定等腰三角形【典型例题】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．D、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．故选：A．【举一反三1】如图，在4×4的正方形方格中，点A，B在格点（小正方形的顶点）上，若点C也在格点上，使△ABC为等腰三角形，则符合条件的格点C的个数是（）A.2B.4C.5D.6【答案】D【解析】如图：分三种情况：当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，符合条件的格点为C1；当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，符合条件的格点为C2；当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，符合条件的格点为C3，C4，C5，C6；综上所述：符合条件的格点C的个数是6，故选：D．【举一反三2】如图，在4×4的正方形方格中，点A，B在格点（小正方形的顶点）上，若点C也在格点上，使△ABC为等腰三角形，则符合条件的格点C的个数是（）A.2B.4C.5D.6【答案】D【解析】如图：分三种情况：当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，符合条件的格点为C1；当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，符合条件的格点为C2；当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，符合条件的格点为C3，C4，C5，C6；综上所述：符合条件的格点C的个数是6，故选：D．【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝21cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）A.2.5秒B.3秒C.3.5秒D.4.2秒【答案】D【解析】设运动的时间为xcm，在△ABC中，AB＝21cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x（cm），AQ＝2x（cm），即21﹣3x＝2x，解得x＝4.2（cm）．故选：D．【举一反三4】在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的个数是．【答案】8【解析】如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故答案为：8．【举一反三5】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有

个．【答案】3【解析】当AB为腰时，点C的个数有2个；当AB为底时，点C的个数有1个，故答案为：3．【举一反三6】在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的个数是．【答案】8【解析】如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故答案为：8．【举一反三7】如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是

秒．【答案】4【解析】设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x即20﹣3x＝2x，解得x＝4．故答案为：4．【题型2】根据等角对等边判定等腰三角形【典型例题】如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直（OC⊥AC于点C），跷跷板的一头A着地时∠OAC＝27°，当跷跷板的另一头B在B′处着地时，点A、C、B′在同一水平线上，∠OB′C＝∠OAC，若OA＝1m，则AB的长度为（）A.1.5mB.2mC.2.5mD.3m【答案】B【解析】∵∠OB′C＝∠OAC，∴OA＝OB'＝1m，由题意可知，OB＝OB'＝1m，∴AB＝OA+OB＝2m，故选：B．【举一反三1】如图，∠P＝36°，∠N＝72°，MF为∠PMN的平分线，EF∥MN，则图中等腰三角形的个数是（）A.5个B.4个C.3个D.2个【答案】A【解析】∵∠P＝36°，∠N＝72°∴∠PMN＝72°，△PMN为等腰三角形．∵MF为∠PMN的平分线，∠P＝36°∴∠PMF＝∠FMN＝36°，△PMF为等腰三角形．∵EF∥MN，∴∠PFE＝∠N＝72°，∠PEF＝∠PMN＝72°∴△PEF为等腰三角形．∵EF∥MN，∠FMN＝36°，∠N＝72°∴∠EFM＝∠FMN＝36°，∠MFN＝72°∴△MFN为等腰三角形．∵∠PMF＝∠FMN＝36°，∠EFM＝∠FMN＝36°∴∠EMF＝∠EFM∴△EMF为等腰三角形．综上得出图形中的等腰三角形为：△PMN，△EMF，△MFN，△FPM，△PEF．故选：A．【举一反三2】如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】如图所示，满足条件的点P共有4个．故选：D．【举一反三3】如图，在等腰△ABC顶角A＝36°，两底角的平分线BD、CE交于点F，则图中共有等腰三角形

个．【答案】12【解析】解：∵在等腰△ABC中，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD、CE平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠BCE＝36°，∴∠BEC＝∠CDB＝72°，∴图中相等的角有：∠A＝∠ABD＝∠ACE＝∠ECB＝∠DBC＝∠CED＝∠BDE＝36°∠ABC＝∠ACB＝∠BEC＝∠CDB＝∠BFE＝∠CFD＝∠AED＝∠ADE＝72°因此是等腰三角形的有：△ABC、△ADE、△ABD、△ACE；△BDE、△BCE、△BEF；△CDB、△CDE、△CDF；△EDF、△BFC；共12个．故答案为：12．【举一反三4】如图，是的角平分线，，求证：是等腰三角形．【答案】证明：是的角平分线，，，，，，是等腰三角形．

【举一反三5】如图，平分，，垂足为点，求证：是等腰三角形．【答案】证明：平分，，，，，，，即：，是直角三角形，，，是等腰三角形．

【题型3】等腰三角形的性质与判定【典型例题】如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】连接AF，∵AB＝AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD，∴∠AFD＝90°，∴∠EAF+∠C＝90°，∠AFE+∠EFC＝90°，∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠C，∴∠EAF＝∠AFE，∴EA＝EF，∴EF＝EA＝ECAC＝4，故选：B．【举一反三1】在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（）A.△DBI和△EIC是等腰三角形B.I为DE中点C.△ADE的周长是8D.∠BIC＝115°【答案】B【解析】∵BI平分∠DBC，∴∠DBI＝∠CBI，∵DE∥BC，∴∠DIB＝∠IBC，∴∠DIB＝∠DBI，∴BD＝DI．同理，CE＝EI．∴△DBI和△EIC是等腰三角形；∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝8；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠IBC+∠ICB＝65°，∴∠BIC＝115°，故选项A，C，D正确，故选：B．【举一反三2】如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，则BD的长为（）A.1B.1.5C.2D.2.5【答案】A【解析】∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴BC＝CE．又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE．∴BDBEAE（AC﹣BC）．∵AC＝5，BC＝3，∴BD（5﹣3）＝1．故选：A．【举一反三3】如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为

．【答案】6【解析】∵BG平分∠EBC，∴∠EBG＝∠GBC，∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∴∠EBG＝∠EGB，∴EB＝EG，同理可得DF＝DC，∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝4+2＝6，故答案为：6．【举一反三4】如图，AD是△ABC的高，且AB+BD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C的度数为

．【答案】25°【解析】在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝180°∠ADB﹣∠BAD＝50°，∵AB+BD＝DC，DE+CE＝DC，∴AB＝CE，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C，∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，∴∠C∠AEB＝25°，故答案为：25°．【举一反三5】如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠E