第10讲直线的交点坐标与距离公式（八大题型思维导图知识梳理课后提升练）（人教A版选择性）

第10讲直线的交点坐标与距离公式【人教A版】模块一模块一直线的交点坐标1．两条直线的交点坐标(1)两条直线的交点坐标交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行2．直线系方程C2)=0，λ∈R，但不包括直线l2.【题型1求直线的交点坐标】【例1】（2425高二上·全国·课后作业）已知直线l1:x+2y+1=0与直线l2:4x+ay−2=0垂直，则l1与A．15,−35 B．−35【答案】A【解题思路】根据两直线垂直充要条件列式求出a，再联立方程组求出交点坐标.【解答过程】因为直线l1:x+2y+1=0与直线所以1×4+2a=0，解得a=−2，直线l2的方程为4x−2y−2=0由x+2y+1=04x−2y−2=0，解得x=15故选：A.【变式1.1】（2425高二上·全国·课后作业）已知直线l1经过A1,−1,B2,−2两点，则直线l2A．1,−1 B．5C．135,−13【答案】C【解题思路】求出直线l1的方程与l2的方程联立,即可解得交点坐标为【解答过程】设直线l1的方程为y=kx+b，因为直线l1经过所以−1=k+b−2=2k+b，解得k=−1所以l1的方程为y=−x将直线l1与直线l2的方程联立，解得所以直线l2与l1的交点坐标为故选：C.【变式1.2】（2425高二上·浙江绍兴·期中）若直线x+ay+15=0经过两直线5x−3y−17=0和x−y−5=0的交点，则a=（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解题思路】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数.【解答过程】联立5x−3y−17=0x−y−5=0，可得x=1y=−4，即交点为由题意1−4a+15=0⇐a=4.故选：B.【变式1.3】（2425高二上·重庆渝中·期中）已知直线2x+y+5=0与直线kx+2y=0互相垂直，则它们的交点坐标为()A．−1,−3 B．−2,−1C．−12,−1【答案】B【解题思路】先根据垂直关系求解出k的值，然后联立直线方程可求交点坐标.【解答过程】因为2x+y+5=0与kx+2y=0互相垂直，所以2k+2=0，所以k=−1，所以2x+y+5=0x−2y=0，解得x=−2所以交点坐标为−2,−1，故选：B.【题型2经过两直线交点的直线方程】【例2】（2425高二上·四川绵阳·阶段练习）经过两直线x−y−1=0和3x+y−3=0的交点，且与直线y=12x−1垂直的直线方程是（A．y=2x−2 B．y=2x−12 C．y=−2x+2 【答案】C【解题思路】通过解方程组求出交点坐标，再结合互相垂直两直线斜率的关系、直线点斜式方程进行求解即可.【解答过程】由x−y−1=03x+y−3=0⇒x=1因为直线y=12x−1的斜率为1所以与直线y=12x−1故选：C.【变式2.1】（2425高二上·全国·课后作业）已知直线l1:x−y−1=0和l2:x+y+1=0交于点A，直线l3:x−2y+1=0和l4A．3x−2y−1=0 B．2x−3y−1=0C．5x−y−1=0 D．x−5y−1=0【答案】C【解题思路】联立两直线方程分别解得A,B点坐标，再由两点式即可得出直线AB的方程.【解答过程】联立x−y−1=0x+y+1=0，即A联立x−2y+1=02x−y=0，即B故直线AB的方程为y+123+1故选：C.【变式2.2】（2425高二上·四川广元·期中）求经过直线l1:3x−2y−12=0,l(1)与直线3x+4y−3=0平行；(2)与直线3x+4y−3=0垂直.【答案】(1)M2,−3；(2)4x−3y−17=0【解题思路】（1）联立直线方程后可求M2,−3（2）利用垂直直线系可求直线方程.【解答过程】（1）由3x−2y−12=05x+4y+2=0可得x=2y=−3，故设所求直线为3x+4y+m=0，代入M2,−3可得m=6故与已知直线平行的直线方程为3x+4y+6=0.（2）设所求直线为4x−3y+n=0，代入M2,−3可得n=−17故与已知直线垂直的直线方程为4x−3y−17=0.【变式2.3】（2425高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线l1:3x+2y−1=0和l2(1)求过A点且在两坐标轴截距互为相反数的直线l3(2)求过A点且垂直于直线3x−5y+6=0的直线l4【答案】(1)2x+y=0或x−y+3=0(2)5x+3y−1=0【解题思路】（1）求出点A坐标，得出斜率，即可求出直线l3（2）求出直线l4的斜率，结合过A点，即可求出直线l【解答过程】（1）由题意，直线l1:3x+2y−1=0和l2∴3x+2y−1=05x+2y+1=0，解得：x=−1∴A−1,2在直线l3中，直线过A∴当直线过原点时直线l3斜率为−2，直线l3的方程为：y=−2x，即当直线过原点时直线l3斜率为1，直线l3的方程为：∴直线l3的方程为：2x+y=0或x−y+3=0（2）由题意及（1）得，A−1,2在直线l4中，直线过A点且垂直于直线3x−5y+6=0（即y=∴直线l4斜率为−∴直线l3的方程为：y−2=−即5x+3y−1=0.【题型3由直线的交点坐标（个数）求参数】【例3】（2425高二·全国·课后作业）若三条直线2x+y−4=0，x−y+1=0与ax−y+2=0共有两个交点，则实数a的值为（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1【答案】C【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求.【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，∵直线x−y+1=0和直线2x+y−4=0不平行，∴直线x−y+1=0和直线ax−y+2=0平行或直线2x+y−4=0和直线ax−y+2=0平行，∵直线x−y+1=0的斜率为1，直线2x+y−4=0的斜率为−2，直线ax−y+2=0的斜率为a，∴a=1或a=−2.故选：C.【变式3.1】（2425高二上·广东东莞·阶段练习）若直线l1：x+2y−4=0与直线l2：kx−y+2k+1=0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（A．−16,C．−∞,−1【答案】A【解题思路】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案.【解答过程】由题意联立x+2y−4=0kx−y+2k+1=0，解得x=即直线l1：x+2y−4=0与直线l2：kx−y+2k+1=0的交点为由题意可得2−4k2k+1>06k+1即实数k的取值范围是−1故选：A.【变式3.2】（2425高二上·全国·课后作业）已知直线l1:ax+4y−2=0与直线l2:2x−5y+b=0互相垂直，交点坐标为1,c，则A．20 B．−4 C．0 D．24【答案】B【解题思路】根据两直线垂直可求出a的值，将公共点的坐标代入直线l1的方程，可得出c的值，再将公共点的坐标代入直线l2的方程，可得出b的值，由此可得出【解答过程】已知直线l1的斜率为−a4，直线l又两直线垂直，则−a4×∴l1:10x+4y−2=0将交点1,c代入直线l1的方程中，得c=−2将交点1,−2代入直线l2:2x−5y+b=0的方程中，得所以，a+b+c=10−12−2=−4．故选：B．【变式3.3】（2425高二上·安徽·阶段练习）已知三条直线2x+y−4=0,kx−y+3=0,x−y−2=0交于一点，则实数k=（

）A．−1 B．1C．−32 【答案】C【解题思路】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可.【解答过程】由2x+y−4=0x−y−2=0⇒x=2代入kx−y+3=0得：2k−0+3=0⇒k=−3故选：C.【题型4三线能围成三角形的问题】【例4】（2425高二上·福建·阶段练习）下面三条直线l1:4x+y=4，l2:mx+y=0，l3:2x−3my=4A．{−1,23} B．{4,−16}【答案】C【解题思路】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数m的值．【解答过程】当直线l1:4x+y=4平行于l2当直线l1:4x+y=4平行于l3当l2:mx+y=0平行于l3当三条直线经过同一个点时，把直线l1与l2的交点(4得2×44−m−3m×−4m4−m综上，满足条件的m的集合为为{4,−1故选：C．【变式4.1】（2425高二上·全国·课后作业）使三条直线4x+y−4=0,mx+y=0,2x−3my−4=0不能围成三角形的实数m的值最多有几个（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【解题思路】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案.【解答过程】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，若4x+y−4=0,mx+y=0平行，则4m=1若mx+y=0,2x−3my−4=0平行，则m2若4x+y−4=0,2x−3my−4=0平行，则42=1若三条直线交于一点，4x+y−4=0mx+y=02x−3my−4=0，可得m=2经检验知：m∈{−1,−16,故选：B.【变式4.2】（2425高二上·上海·假期作业）若三条直线l1:7x−y−9=0,l【答案】m=−17或m=1【解题思路】根据三条直线“至少有两条直线平行”或“三线共点”来求得m的值.【解答过程】依题意，任意两条直线不重合，若三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三线共点．当有两条直线平行时，m≠0，则三条直线的斜率为k1若l3//l若l2//l若三线共点，由7x−y−9=0x+y−7=0解得x=2y=5，设将A2,5代入x+my−27=0得2+5m−27=0,m=5，综上所述，m=−17或m=1或【变式4.3】（2425高二上·河北保定·期中）已知三条直线l1：ax+by+4=0，l2：a−1x+y+b=0，l(1)若l1⊥l2，且l1过点6,−1(2)若b=3，且l1、l2、l3【答案】(1)a=−1b=−2或(2)−【解题思路】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解.（2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解.【解答过程】（1）因为l1：ax+by+4=0，l2：a−1x+y+b=0，且l又直线l1过点6,−1，所以6a−b+4=0，所以b=6a+4即aa−1+6a+4=0，即a所以a=−1b=−2或a=−4（2）因为b=3，则l1：ax+3y+4=0，l2：①当l1∥l2时，由此时l1为3x+6y+8=0，l2为x+2y+6=0，l3为2x+3y+5=0，l②当l1∥l3时，由3a=6得a=2，此时l1为2x+3y+4=0，l2为x+y+3=0，l3③当l2∥l3时，由3a−3=2得a=53，此时l1为5x+9y+12=0，l2为2x+3y+9=0，④当l1，l2，l3交于一点时，a≠3所以l1与l2的交点M−52a−3,−a+42a−3，将综上所述：b=3时，l1，l2，l3三条直线能围成三角形时a模块二模块二距离公式1．两点间的距离公式2．点到直线的距离公式(1)定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.(2)公式：3．两条平行直线间的距离公式(1)定义两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.(2)公式4．中点坐标公式公式：【题型5两点间的距离公式的应用】【例5】（2425高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点A3,−2和点B−1,1之间的距离为（

A．2 B．3 C．5 D．5【答案】D【解题思路】利用两点之间的距离公式计算即得.【解答过程】点A3,−2和点B−1,1之间的距离为故选：D.【变式5.1】（2425高二上·新疆阿克苏·期末）已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是3,4，则AB=（

A．10 B．5 C．8 D．6【答案】A【解题思路】由中点坐标公式确定A，B坐标，再由两点间距离公式即可求解.【解答过程】设Aa,0,B0,b即A6,0所以AB=故选：A.【变式5.2】（2425高二上·江苏扬州·期中）已知△ABC的顶点为A0,4，B3,−2，C5,4，则BCA．4 B．5 C．32 D．【答案】B【解题思路】先求出BC的中点D的坐标，利用两点间的距离公式求出BC边上的中线长.【解答过程】设BC的中点为D，因为B3,−2，C5,4，所以所以BC边上的中线长AD=4−0故选：B.【变式5.3】（2425高一下·四川成都·期末）直线l1:3ax−y−2=0和直线l2:2a−1x+5ay−1=0分别过定点A和A．135 B．175 C．115【答案】A【解题思路】由直线方程可得定点A，B，然后由两点间距离公式可得答案.【解答过程】直线l1:y=3ax−2过定点直线l2:2a−1则2x+5y=0x+1=0⇒x=−1y=2所以AB=故选：A.【题型6点到直线的距离公式的应用】【例6】（2425高二上·新疆喀什·期末）点M−1,2到直线3x−4y+6=0的距离为（

）A．−2 B．2 C．−1 D．1【答案】D【解题思路】由点到直线距离公式直接计算即可求解.【解答过程】由题点M−1,2到直线3x−4y+6=0的距离为d=故选：D.【变式6.1】（2425高二上·湖北武汉·期中）已知直线l1:x+y−3=0与l2:3x−y−1=0相交于点M，则点M到直线A．55 B．255 C．5【答案】A【解题思路】解方程组求得交点M坐标，由点到直线距离公式计算出距离．【解答过程】由x+y−3=03x−y−1=0得x=1y=2，即所以点M到直线l3:2x−y+1=0的距离为故选：A．【变式6.2】（2425高二上·广东揭阳·期末）已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：(1)若l1⊥l(2)若l1//l2，求两直线【答案】(1)−2(2)2【解题思路】（1）利用两条直线垂直的条件即可求得结果.（2）利用两条直线平行的条件求出a的值，再利用点到线的距离公式即可得到答案.【解答过程】（1）因为l1：ax+2y+6=0，l2：x+y−1=0且l1⊥l（2）因为l1：ax+2y+6=0，l2：x+y−1=0，且l1//l2，所以所以l1：2x+2y+6=0，l2：x+y−1=0，即l1：x+y+3=0，l所以直线l1，l2间的距离为【变式6.3】（2526高二上·全国·单元测试）已知直线l的方程为m+3x+(1)证明：直线l过定点，并求定点到直线3x+4y−7=0的距离；(2)当m为何值时，点Q3，4【答案】(1)证明见解析，8(2)m=53【解题思路】（1）将直线l的方程整理得x+2y−7m+3x−y=0（2）由（1）可得直线l过定点，设定点为P1,3，当PQ⊥l时，点Q到直线l的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求m【解答过程】（1）将直线l的方程整理得x+2y−7m+令x+2y−7=03x−y=0，解得x=1,y=3,所以直线l恒过点则定点1,3到直线3x+4y−7=0的距离为3+12−73（2）由（1）可得直线l过定点，设定点为P1,3当PQ⊥l时，点Q到直线l的距离最大，且最大距离d=PQ即点Q到直线l的最大距离为5．此时kPQ=4−33−1=所以−m+32m−1=−2【题型7两条平行直线间的距离公式的应用】【例7】（2425高二上·内蒙古包头·期中）平行直线l1:x+y−1=0与直线l2:2x+my−5=0A．22 B．324 C．2【答案】B【解题思路】利用两直线平行可求得m=2，根据两平行直线的距离公式计算即得.【解答过程】由l1:x+y−1=0可得l1:2x+2y−2=0，因则l1与l2:2x+2y−5=0故选：B.【变式7.1】（2425高二上·四川绵阳·期中）已知直线2x+my+3m=0和x−y−1=0平行，则这两条平行线之间的距离为（

）A．22 B．2 C．22 【答案】B【解题思路】利用两直线平行的充要条件先计算参数，再根据平行线的距离公式计算即可.【解答过程】由题意可知2×−1=m=−2，即2x−2y−6=0，可化为所以两平行线的距离为d=−1−故选：B.【变式7.2】（2425高二上·江苏南京·期中）已知直线l1:2ax+y−2=0与直线(1)当l1⊥l(2)当l1//l2时，求【答案】(1)a=0(2)4【解题思路】（1）由垂直的条件列方程求解；（2）由平行求得参数值，再由平行间距离公式计算．【解答过程】（1）由l1⊥l2，则（2）由l1//l2得直线l1的方程为−2x+y−2=0，即2x−y+2=0直线l2的方程为2x−y−2=0因此，l1与l2之间的距离为【变式7.3】（2425高二上·福建莆田·期中）已知a为实数，设直线l1:a+2(1)若l1⊥l2，求a的值及(2)若l1∥l2，求【答案】(1)a=−32(2)2【解题思路】（1）根据直线方程特点，分a=0和a≠0两种情况分析判断，利用两直线垂直的判断方法求得a值，回代方程，联立即可求得交点坐标；（2）根据直线方程特点，分a=0和a≠0两种情况分析判断，利用两直线平行的判断方法求得a值，检验即得直线方程，再利用两平行直线的距离公式，计算即得.【解答过程】（1）因为直线l1:a+2x+y+1=0，当a=0时，直线l1:2x+y+1=0，当a≠0时，直线l1斜率为k1=−a+2，直线由l1⊥即3a+2+a=0，解得则l1:x+2y+2=0联立方程组x+2y+2=02x−y−6=0，解得x=2则l1与l2的交点坐标为（2）因为直线l1:a+2x+y+1=0，由（1）知：a=0时，不符合题意;当a≠0时，由l1∥l2可得：解得a=1或a=−3，当a=1时，两直线方程均为3x+y+1=0，不合题意，当a=−3时，l1方程为−x+y+1=0，即x−y−1=0l2方程为3x−3y−15=0，即x−y−5=0故l1与l2的距离为【题型8与距离有关的最值问题】【例8】（2425高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x−a2+y−b2可以转化为平面上点Mx,y与点Na,bA．210 B．22 C．2+【答案】A【解题思路】y可看作x轴上一点Px,0到点A1,2与点B3,−4的距离之和，可知当A，P，B【解答过程】y=x则y可看作x轴上一点Px,0到点A1,2与点即PA+PB，则可知当A，P，B三点共线时，即PA+故选：A.【变式8.1】（2526高二上·全国·单元测试）若动点Ax1,y1，Bx2,y2分别在直线A．513 B．2 C．12 【答案】A【解题思路】根据动点A,B满足的关系式，结合中点公式可得中点M满足的方程，利用点到直线的距离求解.【解答过程】设AB的中点M的坐标为x,y，则有2x=x又Ax1,y1，B∴联立得5x1−12∴10x−24y+10=0，即5x−12y+5=0，即AB的中点M在直线5x−12y+5=0上移动，∴M到原点距离的最小值即原点到直线5x−12y+5=0的距离d=5故选：A.【变式8.2】（2025高三·全国·专题练习）求函数fx【答案】2【解题思路】将函数中的根式转化为两点间距离公式的形式，再利用几何意义即可求解.【解答过程】将函数fx可得fx所以函数fx的几何意义为：x轴上一点Px,0到点A4,2即fx根据三角形三边关系，即有fx=PA−PB≤AB故fx综上，fx的最大值为2【变式8.3】（2425高二上·天津武清·阶段练习）已知直线方程为2−mx+(1)证明：直线恒过定点，并求定点坐标；(2)m为何值时，点Q3,4【答案】(1)−1,−2(2)m=47，此时点Q【解题思路】（1）利用直线是直线系求出直线恒过定点即可；（2）点Q到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值，并求出垂直时m即可．【解答过程】（1）由直线方程2−mx+2x+y+4+m−x+2y+3因为x,y∈R，所以2x+y+4=0−x+2y+3=0，解得x=−1所以直线恒过定点−1,−2；（2）由（1）知，直线恒过定点P−1,−2则直线PQ与已知直线垂直时，点Q到已知直线距离最大，可知PQ就是所求最大值，直线PQ的方程为y−4−2−4=x−3因为直线PQ与已知直线2−mx+所以2−m×3−2m+1×2=0且PQ=一、单选题1．（2025高二·全国·专题练习）直线2x+5y−7=0和3x+2y+6=0的交点坐标为（

）A．4,3 B．3,4 C．−4,3 D．−4,−3【答案】C【解题思路】联立方程求解即可.【解答过程】由方程组2x+5y−7=03x+2y+6=0，得x=−4y=3，即交点为故选：C．2．（2425高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线2x+y−1=0与直线4x+2y+3=0间的距离为（

）A．455 B．52 C．2【答案】B【解题思路】利用两条平行直线间的距离公式即可.【解答过程】2x+y−1=0可变为4x+2y−2=0，则两条平行直线间的距离为−2−34故选：B.3．（2425高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线x−2y=0与直线x+y+3=0的交点，且与直线3x+y−1=0平行，则直线l的方程为（

）A．3x+y+7=0 B．3x+y−7=0C．3x+y+3=0 D．3x+y−3=0【答案】A【解题思路】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参.【解答过程】直线x−2y=0与直线x+y+3=0的交点为−2,−1，又因为l与直线3x+y−1=0平行，所以设直线l为：3x+y+C=0，代入−2,−1得3×−2+−1所以直线l的方程为3x+y+7=0.故选：A.4．（2425高一下·浙江宁波·期末）已知直线l过点P2,2且倾斜角为135∘，则点Q−2,0到直线lA．2 B．22 C．32 【答案】C【解题思路】利用直线的点斜式方程求出直线l的方程，再代入点到直线距离公式即可.【解答过程】易知直线l的斜率为tan135∘=−1所以其方程为y−2=−1x−2，即x+y−4=0可得点Q−2,0到直线l的距离为d=故选：C.5．（2425高二上·江苏常州·期末）点(3,2)到直线λx+y−2λ+1=0的距离的最大值为（

）A．10 B．26 C．4 D．10【答案】D【解题思路】分析得直线λx+y−2λ+1=0过定点P2,−1，当PQ与直线λx+y−2λ+1=0【解答过程】由λx+y−2λ+1=0得λx−2由x−2=0y+1=0得x=2y=−1，故直线λx+y−2λ+1=0过定点记点(3,2)为点Q，当PQ与直线λx+y−2λ+1=0垂直时，点(3,2)到直线λx+y−2λ+1=0的距离有最大值，最大值为PQ=故选：D.6．（2425高二上·湖南·阶段练习）已知点x0,y0为直线x+2y+6=0上任意一点，则A．2 B．3 C．6 D．5【答案】D【解题思路】利用两点之间的距离公式理解所求式，将问题转化成点A(−1,0)到直线l:x+2y+6=0上的点的距离最小问题，即当PA⊥l时，由点到直线的距离公式即可求得.【解答过程】x0+12+y02而动点P(x0,故当且仅当PA⊥l时，d取得最小值，即dmin=|−1+6|12故选：D.7．（2425高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线l1:y=x+1，l2:y=−2x+4，l3A．1,−2 B．1,−2,3C．−1,2,−3 D．−1,2【答案】C【解题思路】根据给定条件，求出直线的斜率及直线l1,l【解答过程】直线l1,l2由y=x+1y=−2x+4，解得x=1y=2，即直线l1由直线l1,l2,l3不能围成三角形，得直线l则−m=1或−m=−2或m+2+1=0，解得m=−1或m=2或m=−3，所以实数m的取值集合为−1,2,−3.故选：C.8．（2425高三上·陕西西安·期中）费马点是法国著名数学家费马于1643年提出的，根据费马的结论可得：当△ABC的三个内角都小于120°时，在△ABC内部存在唯一的点P，使P到三角形三个顶点距离之和最小，且点P满足：∠APB=∠BPC=∠APC=120°.在直角坐标系xOy内，A2,0,B1,2,△AOB的费马点为P，则点B到直线A．2 B．3 C．3+12 【答案】D【解题思路】确定P1,33，直线AP【解答过程】如图所示：△OAB为等腰三角形，BC⊥x轴于C，C是AO中点，故∠OPC=∠APC=60°，PC=33

kAP=−33，直线AP的方程为故点B到直线PA的距离为3+6−2故选：D.二、多选题9．（2425高二上·全国·随堂练习）已知点M1,4到直线l:mx+y−1=0的距离为3，则实数m等于（

A．0 B．34 C．3 【答案】AB【解题思路】根据点到直线的距离公式计算即可.【解答过程】依题意m+4−1m2+1=3，即4m故选：AB.10．（2526高二上·全国·单元测试）已知直线l1：3x−y+1=0，l2：x+y−5=0，l3：x−ay−3=0，若直线l1，l2，lA．12 B．−12 C．1【答案】BCD【解题思路】根据已知得l1，l2的交点坐标为1,4，又l3过定点3,0，讨论l3经过点1,4，或l1与l【解答过程】由3x−y+1=0x+y−5=0，解得x=1y=4，所以l1，l2的交点坐标为1,4，又若直线l1，l2，l3不能围成三角形，只需l3经过点1,4，或l1与l当l3经过点1,4时，1−4a−3=0，解得a=−当l1与l3平行时，−3a=−1且−a≠3，解得当l2与l3平行时，−a=1，解得故a的值为−12，13故选：BCD.11．（2425高二上·重庆·阶段练习）已知直线l1:y−2=mx+1m∈R，直线A．若l1⊥B．若两条平行直线l1与l2间的距离为2C．直线l1过定点D．点P2,6到直线l1【答案】AC【解题思路】结合题设直线方程得两直线斜率为k1=m，k2=12，对于A，由直线垂直的关系列式即可求出m；对于B，根据直线平行和斜率的关系求出m，再结合直线平行间的距离公式即可求解；对于C，根据直线过定点问题的方法直接计算即可得解；对于D，由题设得点【解答过程】由题l1:y=mx+m+2=0m∈Rl2:y=1对于A，若l1⊥l2，则对于B，因为l1//l2，所以k1=k又两条平行直线l1与l2间的距离为所以d=λ2−对于C，对l1:y−2=mx+1所以直线l1过定点−1,2对于D，由C可知直线l1过定点Q所以要使点P2,6到直线l1距离最大，则则点P2,6到直线l1距离的最大值为故选：AC.三、填空题12．（2526高二上·全国·单元测试）已知两直线l1:3x+4y−14=0，l2:ax+1−2x+4y=0，若l1【答案】19【解题思路】根据直线平行求得a=5，进而求两平行线间距离.【解答过程】已知两直线l1:3x+4y−14=0，若l1∥l2，则3×4=4×a−2则l1与l2间的距离为故答案为：19513．（2025高二上·上海·专题练习）直线l经过原点，且经过两条直线2x+3y+8=0,x−y−1=0的交点，则直线l的方程为．【答案】2x−y=0【解题思路】思路一：求出交点坐标得直线斜率即可求解；思路二：设所求直线l的方程为2x+3y+8+λx−y−1=0,λ∈R【解答过程】方法1：联立2x+3y+8=0x−y−1=0，解得x=−1y=−2，所以两直线的交点为所以直线l的斜率为−2−0−1−0=2，则直线l的方程为方法2：设所求直线l的方程为2x+3y+8+λx−y−1因为直线l经过原点，所以2×0+3×0+8+λ0−0−1=0，解得所以直线l的方程为2x−y=0.故答案为：2x−y=0.14．（2526高二上·全国·课后作业）若点P1,a到直线ax−3y−1=0的距离不大于3，则a的取值范围是【答案】−2−【解题思路】利用点到直线距离公式计算.【解答过程】点P到直线的距离d=a−3a−1整理可得a2解得−2−30故答案为：−2−30四、解答题15．（2425高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系．(1)l1:2x−y=7和(2)l1:2x−6y+4=0和(3)l1:4x+2y+4=0和【答案】(1)相交，交点坐标为3,−1(2)不相交，重合(3)不相交，l【解题思路】（1）解方程组得到两直线的交点坐标；（2）通过方程组的解判断两直线的位置关系；（3）通过方程组的解判断两直线的位置关系.【解答过程】（1）解方程组2x−y−7=03x+2y−7=0，得因此直线l1和l2相交，交点坐标为（2）方程组2x−6y+4=04x−12y+8=0有无数个解，这表明直线l1和（3）方程组4x+2y+4=02x+y−3=0无解，这表明直线l1和l216．（2425高二上·全国·课后作业）直线l经过两直线2x−y+4=0与x−y+5=0的交点，且与直线l1(1)求直线l的方程；(2)若点Pa,1到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数【答案】(1)x+y−7=0(2)a=7或a=5【解题思路】（1）联立方程组求得两直线的交点坐标，由直线l1:x+y−6=0的斜率求得直线（2）直接由点到直线的距离公式及平行直线之间的距离公式列方程求解即可．【解答过程】（1）联立2x−y+4=0x−y+5=0，解得x=1即两直线交点坐标为(1，6).因为直线l1:x+y−6=0的斜率为所以直线l的斜率为−1，所以直线l的方程为y−6=−x−1，即x+y−7=0（2）由题意得a+1−71整理得a−6=1，解得a=7或a=517．（2425高二上·四川绵阳·阶段练习）已知点P2,−1(1)过点P且在坐标轴上截距相等的直线l的方程；(2)过点P且与原点距离为2的直线l的方程；(3)过点P且与原点距离最大的直线l的方程，并求此最大距离．【答案】(1)x+2y=0或x+y−1=0(2)x=2或3x−4y−10=0(3)直线l：2x−y−5=0，最大距离为5【解题思路】（1）分直线过截距为0和截距不为0两种情况讨论即可；（2）分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求；（3）由题可知过点P且与原点距离最大的直线l与OP垂直，由此求出kl，进而得到直线l【解答过程】（1）①若直线l的截距为0时，设直线l方程为y=kx，因为过点P2,−1，所以−1=2k所以k=−12，故直线l的方程为②若直线l的截距不为0时，设直线l的方程为xa因为过点P2,−1，所以2解得a=1，故直线l的方程为x+y−1=0．综上，可得直线l的方程为x+2y=0或x+y−1=0．（2）①若直