重难点培优01立体几何中的外接球与内切球棱切球问题（复习讲义）2026年高考数学一轮复习（原卷版）

重难点培优01立体几何中的外接球与内切球、棱切球问题目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"12"\h\u01知识重构・重难梳理固根基 102题型精研・技巧通法提能力 5题型一墙角模型（★★★★★） 5题型二三棱锥的三组对棱长分别相等模型（★★★★） 6题型三其他补成长方体模型（★★★★★） 6题型四直棱柱、圆柱的外接球模型（★★★） 7题型五正棱锥、圆锥模型（★★★★★） 8题型六垂面模型（★★★★★） 8题型七棱台、圆台外接球（★★★★） 9题型八棱柱、圆柱内切球（★★★） 10题型九圆锥、圆台、棱台内切球（★★★★） 11题型十棱锥内切球（★★★★） 1203实战检测・分层突破验成效 13检测Ⅰ组重难知识巩固 13检测Ⅱ组创新能力提升 16知识点01外接球模型一：墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)．)，秒杀公式：R2＝eq\f(a2＋b2＋c2,4)．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：知识点02外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型知识点03外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型知识点04外接球模型四：垂面模型2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝r2＋m2，,R2＝d2＋h－m2，))解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－eq\f(l2,4)(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)知识点05外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型2、侧棱相等模型：解题步骤：知识点06内切球思路：1、等积法思路以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·r＋eq\f(1,3)S△PAB·r＋eq\f(1,3)S△PAC·r＋eq\f(1,3)S△PBC·r＝eq\f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；第三步：解出r＝eq\f(3VP－ABC,SO－ABC＋SO－PAB＋SO－PAC＋SO－PBC)＝eq\f(3V,S表)．2、球内接圆锥3、球内接圆柱4、球内接圆台5、棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形题型一墙角模型A． B． C． D．题型二三棱锥的三组对棱长分别相等模型A． B． C． D．题型三其他补成长方体模型A． B． C． D．题型四直棱柱、圆柱的外接球模型1．（2025·河北石家庄·一模）已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（

）A． B． C． D．3．已知一个圆柱的底面半径为3，体积为，若该圆柱的底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为.4．已知正三棱柱的高为2，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为.题型五正棱锥、圆锥模型1．（2025·湖南益阳·三模）已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（

）A．3π B．6π C．9π D．12π2．将直径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3．若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的表面积为（

）6．已知一个底面半径为的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，则圆锥的体积为.题型六垂面模型题型七棱台、圆台外接球1．（2425高三下·河北承德·月考）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．2．（2425高三下·云南昆明·开学考试）正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（

）A．3 B．5 C． D．63．（2025·山东聊城·三模）已知某圆台的轴截面中有一个角为，且下底是上底的2倍，若该圆台的外接球的表面积为，则该圆台的体积为（

）4．已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.6．（2526高三上·广西南宁·开学考试）如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为5cm，12cm，高为17cm，则该灯罩外接球的表面积为.题型八棱柱、圆柱内切球1．已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（

）A． B． C． D．2．（2025·天津红桥·模拟预测）一个正方体的棱长为，若一个球内切于该正方体，此球的体积是，则.4．若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是.6．如图，球内切于正三棱柱，则球与正三棱柱的体积比为多少？题型九圆锥、圆台、棱台内切球1．已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．A． B． C． D．4．（2425高三下·重庆北碚·月考）正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（

）5．如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则．题型十棱锥内切球4．（2024·湖南·二模）一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为.题型十一棱切球A．12 B．16 C．20 D．243．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是.检测Ⅰ组重难知识巩固1．（2425高三上·福建龙岩·月考）已知某圆柱的内切球半径为1，则该圆柱的体积为（

）A． B． C． D．A． B． C． D．A． B． C． D．4．已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（

）A． B． C． D．A． B． C． D．A． B． C． D．9．（2024·江苏徐州·模拟预测）圆柱与圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥内切球半径为（

）11．《九章算术》是我国古代数学名著，该书商功一章中介绍了方亭（即正四棱台）：“今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈”，翻译为白话文为“已知正四棱台，下底面边长为5丈，上底面边长为4丈，高为5丈”，设该正四棱台的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积为（

）13．已知一个正四棱锥的高为16，且其外接球的半径为10，则该正四棱锥的表面积为（

）A．512 B．256 C．128 D．6416．若半径为的球与正六棱柱的各个面均相切，则该正六棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．19．已知球O的半径为3，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（

）A． B． C． D．23．（2425高三上·上海·月考）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为、、，则此球的直径为25．一个正方体的表面积为6，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是27．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥