二元一次方程组的应用讲义（基础篇）北师大版版数学八年级上册-

5.3二元一次方程组的应用（30分提至70分用）目录模块内容模块内容知识点传送门复习代入消元法课前复习加减消元法新课探索解决实际问题的一般步骤新课探索工程问题销售盈亏题型练习方案问题题型练习行程问题工程问题数字问题年龄问题分配问题销售利润问题和差倍分问题几何问题图表问题易错点易错点总结总结课前复习课前复习一、代入法把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，先求出一个未知数，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。①变形①变形——从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.②代入——将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③求解——解这个一元一次方程，求出x(或y)的值，再将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值.④写解——把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解.二、加减消元法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，解出一个未知数，从而解出二元一次方程组。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。①变形①变形——方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数.②加减——把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③求解——解这个一元一次方程，求得未知数的值，将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值.④写解——把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解.新课探索新课探索一、解决实际问题的一般步骤(1)审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.(2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.(3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.(4)求解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值；(5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，为间接设元.无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，为间接设元.无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程二、工程问题1.工作量=工作效率×工作时间2.完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1【练习】单选题某工程队共有27人，每天每人可挖土4方，或运土5方，为使挖出的土及时运走，应分配挖土和运土的人分别是()A12人，15人 B14人，13人 C15人，12人 D13人，14人答案：C、分析：设分配挖土x人，运土y人，则x+y=27解得x=15y=12∴应分配挖土15人，运土12人.故选：C.二、销售盈亏常见公式1.利润=售价一进价2.利润率=(利润/进价)×100%3.销售额=售价×商品销售量4.销售利润=(售价一进价)×销量5.商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售.【练习】小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克?设小亮妈妈买了甲种水x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为() B C D。答案：A、分析：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，由题意得4x+6y=28故选：A.三、方案问题【练习】将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有()A6种 B7种 C8种 D9种答案：A、分析：设兑换成10元x张，20元的零钱y张，由题意得：10x+20y=100,整理得：x+2y=10,方程的整数解为x=2y=4,x=4y=3,x=6y=2,因此兑换方案有6种，故选：A.题型练习题型练习方案问题1．有货物，大车一次能装，小车一次能运，若要一次运完且两种车都得用，派车方案有（

）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】D【分析】先设派辆大车，辆小车，根据有货物，大卡车一次能装，小车一次能运，列出方程，再进行讨论，即可得出答案；本题考查了列二元一次方程并分类讨论求解的实际应用，找到等量关系并设未知数列方程是解题的关键．【详解】解：设派辆大车，辆小车，则共有4种派车方案；故选：D．行程问题A．2，10 B．2，15 C．10，2 D．15，2【答案】A故选：．工程问题A．4天 B．6天 C．8天 D．10天【答案】C【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程式解题的关键．设这几天中x天晴天，有y天雨天，根据题意列出二元一次方程组求解即可．【详解】解：设这几天中x天晴天，有y天雨天，∴这几天中有8天雨天．故选：C．数字问题4．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18，求这个两位数．若设十位数字为，个位数字为，则下列说法正确的是（

）C．这个两位数是26D．这个两位数是62【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据“这个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．则这个两位数是．故选：A．年龄问题5．小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（

）A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了，列方程组求解即可．【详解】解：设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁，故叔叔现在的年龄是28岁，小君现在的年龄是16岁．故选：B．分配问题6．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（

）【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺帽的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺帽数量．等量关系为：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数=90；螺栓总数×2=螺帽总数，把相关数值代入即可．【详解】解：设生产螺栓x人，生产螺帽人，故选A．销售利润问题7．学校文艺部组织部分成员看演出，共买了8张甲票、4张乙票，总共用了112元．已知每张甲票比乙票贵2元，则每张甲票、每张乙票的价格分别是（

）A．10元和8元 B．8元和10元 C．12元和10元 D．10元和12元【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系，列出方程组是解决此题的关键．设每张甲票、每张乙票的价格分别为元，元，根据等量关系列方程组解得即可．【详解】解：设每张甲票、每张乙票的价格分别为元，元，∴每张甲票、每张乙票的价格分别为10元，8元．故选：A．和差倍分问题8．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（

）【答案】B故选：B．几何问题A．12 B．18 C．24 D．28【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设小长方形的长为x，宽为y，根据图形中给定的长度，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积和大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论．【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，故选：B．十、图表问题10．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格中填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x、y的值分别为（

）x81y6A．、4 B．3、 C．3、4 D．、【答案】C【分析】本题考查了图表信息题(二元一次方程组的应用)，解题关键是准确列出方程组．根据表中数据，依据“各行、各列及对角线上的三个数之和都相等”，列出方程组求解．【详解】解：∵各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，故选：C．易错点易错点总结总结一、解决实际问题的一般步骤(1)审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.(2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.(3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.(4)求解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值；(5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，为间接设元.无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程当问题较复杂时，有时设与要求