专题02一元二次方程（期中复习讲义）

专题02一元二次方程核心考点复习目标考情规律一元二次方程的概念能准确判断一元二次方程基础常考点，常出现在小题一元二次方程的一般形式能化成一般式，准确识别各系数一元二次方程的解法能选择恰当方程求根必考点，易错配方漏项、公式记错一元二次方程的根与系数的关系能用根与系数的关系求值中档题，易错漏验判别式列一元二次方程解应用题能解决实际问题解答题必考，易错找错等量关系知识点01一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）；（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。知识点02一元二次方程的一般形式（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。知识点03一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.知识点04解一元二次方程的方法（4）因式分解法：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；③令每个因式分别为零；④两个因式分别为零的解就都是原方程的解。（5）换元法：是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。知识点05一元二次方程的根与系数知识点06列一元二次方程解应用题的具体步骤①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．④解：准确求出方程的解．⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．⑥答：写出答案．题型一一元二次方程的概念【例1】下列方程中，属于一元二次方程的是（

）【答案】D不是一元二次方程，故C选项不符合题意；故选：D．【例2】下列方程中，是关于x一元二次方程是（

）【答案】A故选：A．【答案】故答案为：．【答案】故答案为：．【答案】故答案为：．题型二一元二次方程的一般形式【答案】B故选：B．【答案】故答案是：．A．0 B． C．3 D．【答案】C故选：C．解｜题｜技｜巧题型三一元二次方程的解A．3 B．2 C． D．【答案】A故选：A．x1.11.21.31.41.51.61.71.81.90.110.240.390.560.740.961.191.441.71【答案】C故选C．A． B．3 C． D．不能确定【答案】B故选B．A． B． C． D．【答案】A故选：A．【答案】故答案为：．题型四解一元二次方程(平方法、配方法、公式法、因式分解法)【例7】解方程：【答案】B【详解】解：依题意，故选：B【变式41】按要求解下列方程【变式43】解下列方程：题型五解一元二次方程(换元法)【变式52】阅读材料，解答问题．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：题型六根的判别式与解的情况又二次项系数不为0，【答案】2∴k的最小正整数值是2．故答案为：2．【答案】(1)；(2)．∵方程有两个相等的实数根，(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；【答案】(1)见解析(2)11或13∴无论m为何值，方程总有两个实数根；（2）解：①当为腰长时，则方程必有一个根为5，∴等腰三角形的三边为：5，5，3，②当为底边时，则方程有2个相同的实数根，综上：周长为11或13．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B故选B．解｜题｜技｜巧题型七根与系数的关系【答案】24故答案为：24．【答案】2013故答案为：2013．【答案】故答案为：．(1)求实数k的取值范围；(2)2【详解】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，【答案】故答案为：．解｜题｜技｜巧题型八一元二次方程的应用（增长率问题）【例16】某药品原价是50元，经过连续两次降价后，价格变为32元，如果每次降价的百分率是相同的，那么每次降价的百分率是.【详解】解：设药品每次降价的百分率为，【变式81】某超市1月份营业额为100万元，2月、3月的营业额共400万元，如果平均每月营业额的增长率为x，则由题意可列方程（

）【答案】C【详解】解：设平均每月增长率为，故选：C．【详解】（1）解：设这两年粮食产量的平均增长率为，【变式83】国家统计局数据显示，我国快递业务收入逐年增加2020年某公司快递收入为400万元，2022年增长至576万元，假设该公司快递收入每年的增长率相同．(1)求该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率．(2)如果该公司业务收入的年平均增长率保持不变，那么2023年该公司快递业务收入应为多少万元？【答案】(1)【详解】（1）解：设该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为，答：该公司2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为；题型九一元二次方程的应用（销售问题）【例17】白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为8元，原售价定为每千克20元时，每天可销售50千克．根据销售经验，每千克售价每降低1元，日销售量可增加10千克．(1)若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售多少千克？(2)高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，每千克龙眼售价应定为多少元？【答案】(1)龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克(2)为了销售量尽可能大，每千克龙眼售价应定为14元答：若将该龙眼每千克售价定为17元，每天可销售80千克．（2）解：设每千克龙眼售价为x元，要保证销售量尽可能大，每千克龙眼售价应定为14元．【例18】从城市A到城市B的机票为500元，航空公司正在举行该航线的团体票优惠活动：当人数为10人及以下时不优惠；当人数超过10人时，每多1人，票价就减少20元，但票价不可低于360元．某公司举行团建，购买该航线的机票一共花了6000元，则该公司参加团建的有多少人？【答案】该公司参加团建的有15人【详解】解：设参加团建的人数为人，∵当人数超过10人时，每多1人，票价就减少20元，但票价不可低于360元．答：该公司参加团建的有15人．(1)设线上旗舰店的月销售量为a件，线下直营店的月销售量为b件，分别用含a、b的代数式表示：①线上销售的a件产品的利润为元；(2)假设工厂每月生产的800件产品可全部售完，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为46200元．（注：要有解答过程）(2)应分配线上旗舰店销售160件，线下直营店销售640件∴该方程没有实数根，∴应分配线上旗舰店销售160件，线下直营店销售640件，使得销售总利润为46200元．【变式92】2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价）类别价格款钥匙扣款钥匙扣进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537(1)网店第一次用850元购进、两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？(3)冬奥会临近结束时，网店打算把款钥匙扣降价促销，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，应将销售价格定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元？【答案】(1)购进款钥匙扣20件，款钥匙扣10件(2)当购进40件款钥匙扣，40件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元(3)30元【详解】（1）解：设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，答：购进款钥匙扣20件，款钥匙扣10件．设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，随的增大而增大，答：当购进40件款钥匙扣，40件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元．为了尽快减少库存售价应定为30元答：将销售价定为每件30元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元．【变式93】冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只．(1)求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率；(2)经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？(2)该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元【详解】（1）解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元．题型十一元二次方程的应用（图形问题）【例19】列方程解决实际问题：某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米．(2)若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽．(2)10米故宽为10米．【例20】如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供学生赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的直角边（如图所示）为．【答案】1故答案为：1．【详解】解：设折叠进去的宽度为，(2)为做好猪舍的卫生防疫，现需要对围成的矩形进行硬底化，若以房墙的长为矩形猪舍一边的长，且已知硬底化的造价为60元/平方米，请你帮助农户计算矩形猪舍硬底化需要的费用．(2)矩形猪舍硬底化需要的费用为5040元（2）解：∵以房墙的长为矩形猪舍一边的长，答：矩形猪舍硬底化需要的费用为5040元．∵矩形的周长和面积相等，题型十一一元二次方程的应用（动态几何问题）【答案】2或4．【详解】解：由题意知，点只能在点的左侧，故答案为：2或4．A．2 B．4 C．2或4 D．3或4【答案】C的值为2或4．故选：C．【答案】10或15或30【详解】解：有两种情况：（1）如图1，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得（2）如图2，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得(1)为何值时，在的垂直平分线上？∵在的垂直平分线上，期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．下列关于的方程中一定有实数解的是（

）【答案】D故选：．【答案】B【详解】解：设道路的宽为x米，所以，道路宽为．故选：B．【答案】D故选：D．A．或2 B．4 C．或4 D．2【答案】D故选：D．【答案】故答案为：．【答案】故答案为：6．7．随着直播浪潮的袭来，各行业都开始在电商直播市场中尝试并探索更多的方法，其中直播带货就很受大众欢迎．某电商在网络直播平台上对一款成本价为50元的小商品进行直播销售，如果按每件70元销售，每天可卖出10件．通过市场调查发现，小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为元．【答案】55【详解】解：设每件售价应定为x元，∵商家想尽快销售完该款商品，答：若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为55元．故答案为：55．8．解下列关于的一元二次方程9．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为米的长方体形状无盖纸盒，如果纸盒的容积为立方米，底面长方形的一边长为米．(1)用含的代数式表示长方形纸板的长为_________米，长方形纸板的宽为________米；(2)若图中阴影部分的面积为平方米，则纸盒的容积为多少立方米？【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：纸盒的容积为立方米，底面长方形的一边长为米，故答案为：，；（2）图中阴影部分的面积为平方米，10．2025年1月23日下午，习近平总书记在辽宁省本溪市考察了本钢板材冷轧厂，察看了该企业的集控中心与生产线．了解企业加快转型升级、推进高质量发展等情况．本钢某厂采用先进技术制造了一种新产品，新产品2024年12月份销售20套，由于该产品的轻量化与安全性，销量快速上升，2025年2月份该厂销售新产品达到45套．(1)求该厂2024年12月到2025年2月销售新产品的月平均增长率；(2)该厂2025年2月份销售45套新产品，每套利润是20万元．因为产品供不应求，该厂决定适当的涨价，经市场调查发现，若价格不变，3月份预计仍可销售45套新产品，当新产品每套的销售利润每涨价1万元时，平均每月少售出1套，该厂要想在3月份获利946万元，而且尽可能让顾客得到实惠，新产品每套应涨价多少万元？(2)新产品每套应涨价2万元【详解】（1）解：设该厂2024年12月到2025年2月销