整式运算中的应用、规律、新定义型的五类综合题型（压轴题专项训练） 学生版-2024华东师大版七年级数学上册

专题06整式运算中的应用、规律、新定义型的五类综合题型

目录

典例详解

类型一、整式的加减实际应用问题

类型二、单项式的规律探究问题

类型三、整式中的数字类规律探究问题

类型四、整式中的图形类规律探究问题

类型五、整式加减中的新定义型问题

压轴专练

覆类型一、整式的加减实际应用问题

।.实际问题建模：将实际情境中的数量关系（如长度、面积、费用等）转化为整式，明确各整式代表的

实际意义，建立数学模型。

2.整式运算应用：根据题意进行整式的加减运算（去括号、合并同类项），化简表达式以解决求和、差或

比较大小等问题。

3.结果验证：将运算结果回归实际情境，检验是否符合题意（如非负性、实际单位），确保模型与运算的

合理性。

例I.“双减''政策减轻了学生的课业负担，学校里的社团活动更加受到学生们的青睐.为满足学生课外活动

需要，学校决定添置一批某品牌的足球和跳绳.已知足球每个定价为80元，跳绳每根定价为20元.现有人、

8两家网店提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案.具体如下：

A网店：足球和跳绳都按定价的90%付款.4网店：买一个足球送一根跳绳.

已知该校计划从上述网店中购买足球50个，跳绳工根（x>50）.

⑴在4网店购头需付款元，在8网店购头需付款元；

（只能选择一家购买，用含x的式子表示）

⑵若只选择•家网店购买，当x=100时，请通过计算说明学校选哪家网店比较合算；

⑶当x=100时，你能给出-一种更为省钱的方法吗？试直接写出你的购买方法和所需费用.

【变式1-1）为响应国家“乡村振兴”的号召，李峰回家乡承包了一片土地用于种植草莓，土地平面示意图如

图（图中长度单位：m）,请根据示意图回答下列问题：

30

地块④

地块①

地块地块

②③

⑴用含。，的式子表示出这片土地的总面积S.

⑵由r草莓品种和各个地块土壤条件存在差异，地块①和地块②平均每平方米可种植9株草莓，地块③和

地块④平均每平方米可种植11株草莓，则李峰总共可种植多少株草莓？（用含〃，人的式子表示）

（3）在满足（2）问的条件下，当。=22,人=15时，李峰种植草莓的总数量为多少株？

【变式1-2】某小型工厂生产酸枣面和黄小米，每日这两种产品共生产1500袋，两种产品的成本和售价如

下表，设该工厂每天生产酸枣面大袋.

成本/（元/袋）售价/（元/袋）

酸枣面4046

黄小米1315

⑴每天生产x袋酸枣面的成本为元，黄小米的成本为元.（用含犬的代数式表示，结果需化为最

简形式）

⑵用含x的整式表示每天获得的利润，并进行化简.

（3）当x=500时，（2）问中的利润为元.

【变式1-3］综合与实践

问感情境

劳动基地的蔬菜都成熟了，学校计划将蔬菜送给敬老院的老人，现有长为。厘米，宽为6厘米，高为c厘米

的箱子若干，将蔬菜装满每个盒干后需利用打包带讲行打包.

方案设计

如图，小红和小明各设计了一种打包方式（接头处的长度不计，本题所有问题只考虑打包带的长度，不考

虑其他影响因素）.

⑴用含小儿。的式子表示这两种打包方式所用的打包带的长度:小红的方案中所用打包带的长度为

厘米；小明的方案中所用打包带的长度为厘米.

（2）当。=50厘米，〃=30厘米，c=40厘米时，小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别

是多少？

⑶当时，比较小红和小明设计的方案中，哪种所用的打包带的长度更短.

怎'类型二单项式的规律探究问题

L系数规律分析：观察单项式系数的符号（如正负交替）、绝对值变化7等差、等比或乘方关系）归纳

系数与序号的代数式关系。

2.字母及指数规律：确定所含字母种类，分析每个字母指数与序号的对应规律（如线性或二次关系），明

确指数变化的周期性或递推性。

3.综合表达：结合系数、字母、指数的规律，用含序号〃的代数式表示第〃个单项式，代入特殊值验证

规律的一致性，确保表达式准确。__________________________________________________________________

例2.观察下列关于x的单项式：x，,5d,7x\9X5,1lx6,按照上述规律，第〃个（〃为正整

数）单项式是.

【变式2-1】观察下列单项式：2x,-4x\6V,-8x4,lOx5,-12/,……则第〃个单项式为.

【变式2-2】请观察卜面按照某种规律排列的一组单项式：

-2xAx\-8x\l6x4,-32x\64x6……

（1）第3个单项式应该是：；

（2）第〃个单项式应该是：.

【变式2-3】观察下列单项式：-盯3f,-5x\7x4,—,-37x19,39x20,L写出第〃个单项式.为

了解决这个问题，特提供下面解题思路：

⑴这组单项式的系数的符号规律是「系数的绝对值规律是

⑵这组单项式的次数的规律是

⑶根据上面的归纳，可以猜想第〃个单项式是（只能填写一个代数式）_.

⑷请你根据猜想，写出第2008个、第2009个单项式，它们分别是_、

等类型三、整式中的数字类规律探究问题

1.数字特征提取：观察数列的增减趋势、符号变化（如正负交替），分析相邻数的差、商或平方关系，确

定基础规律类型（等差、等比、平方数等）。

2.整式表达构建：用字母〃（序号）表示数的位置，根据数字与序号的关联，构建含〃的整式（如一次式、

二次式），体现数字随序号的变化规律。

3.规律验证：代入不同序号值检验整式是否匹配对应数字，修正表达式以确保对所有项成立，强化从特殊

到二般的卢纳能力。一

例3.观察下列各式：

第1个式子：—=1-

1x22

1I

第2个式子：一二,

2x323

11

第3个式子：

3x4-34,

根据其规律，解答下列问题:

(1)-------

99x100

⑵第〃个式子为.

（3）利用以上规律计算:_L_L_LL1

2x4+4x6+6x8++2022x2024

【变式3-1】试探索代数式与的关系.

（1）当4=2,〃=一1时，分别求代数式"+与一〃）2的值；

⑵当。=一（，〃=2时，分别求代数式/一2必+〃与（。一〃）2的值：

⑶从上述计算中，你发现了什么规律？当。=2023,〃=2022时，清利用你发现的规律求代数式a^-lab+b2

的值.

【变式3-2］观察下面的等式：

3-1=-|-3+2|+3；

1—1=—|—54-2|+3；

1]

1=上+2+3；

2;2

(-2)-l=-|-8+2|+3.

回答下列问题:

(1)填空；——|-9+2|4-3；

⑵设满足上面特征的等式最左边的数为小请你直接写出此时的等式.

【变式3-3】观察以下等式:

211

第1个等式：_i

31x2x32

311

第2个等式：—,

82x3x4-3

411

第3个等式：—A，•

153x4x54

511

第4个等式：_，

244x5x65

按照以上规律，解决下列问题：

⑴写出第〃（〃取正整数）个等式：（用含〃的等式表示）;

⑵利用以上规律计算倍十郎一1-4%12的值.

覆类型四、整式中的图形类规律探究问题

1.图形量化转化：将图形的构成要素（如个数、长度、面积）转化为具体数字，建立与图形序号的对应

关系，明确量化对象的实际意义。

2.数值规律归纳：分析量化后数值的变化模式（如线性增长、平方增长），找出与序号〃的关联，提炼由

含〃的整式表达式。

3.规律验证应用：代入不同序号验证整式是否匹配图形数量，结合图形特征调整表达式，确保规律的普

遍性和准确性。

例4.用火柴棒按图中的方式搭图形.

①②③④

图形标号①②③④⑤

火柴棒根数5913ab

按上述信息填空：

⑴。=_,b=_;

⑵按照这种方式搭下去，则搭笫〃个图形需要火柴棒的根数为」（用含〃的代数式来表示）

⑶按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2025个图形需要的火柴棒根数.

【变式4-1】【观察思考】

如图，这是由基本图形组成的一系列图案，其中第1个图案由4个基本图形组成；第2个图案由7个基本图

形组成；第3个图案由10个基本图形组成；......按此规律排列下去.

第1个图案第2个图案第3个图案

【规律发现】

（1）第4个图案有一个基本图形；第〃（〃是正整数）个图案有_（用含〃的式子表示）个基本图形.

【规律应用】

（2）摆第33个图案需要多少个基本图形？

【变式4-2］如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有阴影.

第1个图案第2个图案第3个图案

⑴①第3个图案中涂阴影的小正方形的个数为.

②第4个图案中涂阴影的小正方形的个数为.

（2）用含〃的代数式表本第〃个图案中涂阴影的小止方形的个数.

【变式4-3】学科素养•实践探究（河北模拟）下列是用火柴棒拼出的图形.

080P

仔细观察，找出规律，解答下列各题：

⑴第4个图中共有根火柴，第7个图中共有根火柴;

（2）第〃个图形中共有隈火柴：（用含〃的式子表示）

⑶请判断上组图形中前2024个图形火柴数的总和是否为2024的倍数，并说明理由.

怎类型五、整式加减中的新定义型问题

1.新定义理解：准确解读新运算或新概念的规则（如自定义符号的运算顺序、新整式的构成方式），明确

符号、字母的含义及适用范围。

2.转化应用：将新定义转化为熟悉的整式加减运算，按规则拆解新表达式，运用去括号、合并同类项等

法则化简计算。

3.验证与拓展：通过实例验证对新定义的理解，结合整式性质解决求值、比较等问题，提升知识迁移能

力。______________________________________________________________________________________________

例5.定义：若。+〃=2,则称。与人是关于2的平衡数.

（1）3与是关于2的平衡数，7-x与是关于2的平衡数（填一个含工的代数式）；

（2）若〃/P=X2-2（X2-2X-1）+1,判断。与匕是不是关于2的平衡数，并说明理由.

【变式57】定义新运算：满足AO8=A-3B.

⑴计算30（-2）的值；

⑵当A=2/—3与，—y,B=-x2+x>-1y,化简AO8.

'-

⑶若（x+2『+b—l|=0,求第（2）问中AO8的值.

［变式5-2］我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式“，这个常数称

为它们的“对消数”.如多项式M=3--4工+7与多项式/V=-3x:+4x-4,M+N=3,则M与N互为“对消

多项式〃,它们的“对消数〃为3.

⑴下列各组多项式中，互为“对消多项式"的是（填序号）；

①5/一3与5丁+3；②1-6与-x+7；

③-8.炉+xy+9与Sxy2-xy；（4）ab1+2a'b+1与-2c『b-ab1

（2）多项式A=（x-切了与8=/+4x+〃（以〃为常数）互为“对消多项式"，求它们的“对消数

【变式5-3］［定义］:已知M,N为关于x的多项式，若M-N=k,其中％为大于。的常数，则称M是N的

“友好式”，k叫做M关于N的“友好值〃.

［例如］:M=f+2x+3,N=W+21-2,历—N=（r+2x+3）—（W+2x—2）=5,则称M是N的“友好式”，

M关于N的“友好值〃为5.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)已知M=f+x-3，N=f+x+],则M是N的“友好式"吗？若是，请求出M关于N的“友好值〃；若不

是，请说明理由；

(2)已知〃=4/_4皿+/,N=4f-8x+〃,若M是N的"友好式",且"友好值”与"的取值无关,保持1

不变，求分的值.

压轴专练

一、单选题

I.按一定规律排列的单项式:-^,5X2,-9X3,13X4,-17X5,,第〃个单项式是()

A.(5〃-4)(-x)"B.(5〃-4)父C.(4〃-3)/D.(4〃-3)(-x)”

2.一列数4，%，%，4，其中q=7，〃2=7^—，〃3=7^—，…，-，贝114+生+%++。2024的值是

I-ql-a2

()

A.-1B.gC.1010D.1()呜

3.对于任意式子A,B,定义：4DA=3A—2A.当a=—I时，式子((。一4)①(一^+3〃+2)的值是()

A.-7B.-9C.7D.9

4.如图I,“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计.全套“燕几”一共有七张

桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面可拼合成不同的图形.如图2

给出了《燕儿图》中名为“回文”的桌面拼合方式，若每张桌面的宽为〃尺(注：1尺、0.33米)，“回文”桌面

的周长可以表示为()

燕

维

能

方

山

依

旁

国

泰

图1图2

A.16a尺B.14。尺C.20〃尺D.18。尺

5.我国末朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积、形成“三角垛”、图I有1颗弹珠：

图2有3颗弹珠：图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；若用/表示图〃的弹珠数，其

I111

中〃=1,2,3,…，则-+—+—+-+——的值为（）

20234048

10122025

二、填空题

6.观察下列代数式：-苍2/,_3例4式式「，…，按照上述规律,第2024个代数式是.第〃个代数式

是.

7.定义一种新运算，规定：aSb=3a-b.若〃㊉（-68）=一；，则（2。+〃）㊉（2a—5人）的值为.

8.将如图1的正方形进行如下操作：第I次，分别连接对边中点，得到如图2的5个正方形；第2次，将

图2左上角正方形按上述方法再分割，得到如图3的9个正方形.依此类推，第5次，同样的操作后会得

9.把图1中周长为16cm的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、B、C、。和一张长方形纸片E,

并将它们按图2的方式放入周长为24cm的长方形中.设正方形C的边长为'em,正方形/）的边长为.vcm,

10.定义一种对正整数〃的“尸'运算：①当〃为奇数时，尸（〃）=3〃+1；②当〃为偶数时，尸（〃）=£（其中

攵是使尸（〃）为奇数的正整数），两种运算交替进行.例如，当〃=7时，运用RD得/（7）=3x7+l=22；运

用脸继续运算得/(22)=^=".现取〃=12,则有12煞;3华M)黑;5,按此规律纲续计算，第

2弟1从弟/次弟、〃人

2024次“尸运算的结果是

三、解答题

11.定义新运算：满足494=4—33.

(1)当A=2x?-3盯一y,B=-x2+x),--y,化简AO8并按x进行降基排列.

⑵若(x+2『+|y-l|=0,求第(2)问中A9B的值.

12.据调查，很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮

挡而不能直接观察到的那部分区域.在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事

故.

在一次普及“交通安全知识”的综合实践活动中，匕年级学生们对货车(如图1)的盲区面积进行探究，得到

货车盲区的部分分布图(如图2),盲区1、2的面积相同，都是'|“人+。2,盲区3的面积是-2必+4/,盲区4

的面积是小.

图1

(1)用含〃，。的代数式表示图中盲区的总面积(结果需化简).

(2)若。=2,b=2,求图中盲区的总面积.

13.阅读下面的文字，完成解答过程.

1,11111111

(1)=1--,----=-----,----=-----，…，按照等号右边的形式直接写出结果:

1x222x3233乂4342023x2024

1111

(2)计算:—+----+----+…+------

1x22x33x42023x2024

1

(3)尝试并计算:++…+------——

1x22x33x4(〃一l)x〃

14.观察下列单项式的规律：X,-2』，",-8x4,16x5，…，解答下列问题;

(1)归纳猜想：(每空只能填写一个式子)第10个单项式为,第〃个单项式为

(2)实践应用：第2024个单项式为,第2025个单项式为

15.某校体育组需添置一批体育器材，包括足球50个：跳绳”条（工＞50）.己知某品牌足球每个统一定价

为110元，跳绳每条统一定价为20元.现有A、8两家商店提出了各自的优惠方案：

A店：买一个足球送一条跳绳：

B后:足球和跳绳都打9折.

（1）分别在A,B两家商店购买，各需付款多少元？（用含x的代数式表示，并化简）

⑵当工=300时・，

①通过计算说明此时在哪家商店购买较为合算？

②你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算共需付款多少元.

16.【观察思考】如图是由正方形组成的一系列图案，其中第1个图案有5个正方形；第2个图案有9个正方

形；第3个图案有13个正方形；L

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第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

【规律发现】（1）第5个图案有个正方形；

（2）第〃（〃是正整数）个图案有（结果无需化简）个正方形；

【规律应用】（3）结合图案中正方形的组合方式，小明说：“用403个正方形可以组成符合该规律的图案.”

判断小明的说法是否正确，并说明理由.

17.将整数123..2009按下列方式排列成数表，用斜十字框“1”框出任意的5个数（加图），如果用

a,b,c,处于斜十字中心）表示类似"％'’形框中的5个数,=a+b+c+d.

1996199719981999200020012002

2003200420052006200720082009

(1)若S最小,那么若S最大,那么〃?=_；

⑵用等式表示S与机之间的关系」

（3）若S=2024,求拉的值;

（4）S能等于308吗？若能，求出川的值；若不能，请说明理由.

18.定义：若a+b=2〃,则称。与人是关于数〃的平均数.比如3与-4是关于的平均数，7与13是关

于10的平均数.

⑴填空：2023与—是关于-1的平均数，一与-2汇+5是关于2的平均数.

⑵若。与2b是关于3的平均数，2人与c是关于-g的平均数，c与d是关于9的平均数，求

（a-c）+g（6b+3d）—（2〃_0）

⑶现有〃=3/-10履+13与力=-3广+5x-6〃（2为常数），且〃与〃始终是关于数〃的平均数，与x的取值无

关，求〃的值.

19.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的