指数与指数函数（讲）-高考数学一轮复习（新高考）解析版

专题3.5指数与指数函数

1.了解指数塞的含义，掌握有理指数幕的运算。

新课程考试要求2.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.

3.了解指数函数的变化特征.

培养学生数学抽象（例5）、数学运算（多例）、逻辑推理（例8）、直观想象（例6.7.9）

核心素养

等核心数学素养.

1.指数哥的运算；

2.指数函数的图象和性质的应用；

考向预测

3.与指数函数相关，考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、

运算能力等，常与的对数函数等结合考查，如比较函数值的大小；

【知识清单】

1.根式和分数指数幕

1.〃次方根

定义一般地，如果炉=小那么X叫做4的夕次方根一，其中〃>1,且〃WN"

。〉0x>0

〃是奇数X仅有一个值，记为如

6<0x<0

个数

〃是偶数6>0X有两个值，且互为相反数，记为土仇

d<oX不存在

2.根式

（1）概念：式子仍叫做根式，其中〃叫做根指数，a叫做被开方数.

（2）性质:

①（踞）"=%

②指」小〃为奇数‘

一J一同，〃为偶数.

3.分数指数塞

（1）规定：正数的正分数指数暴的意义是£=俺（90,勿，且〃>1）：正数的负分数指数暴的意义是

1

a二=一（a>0,SN,且〃〉1）；0的正分数指数幕等于0；0的负分数指数累没有亶义.

骸

（2）有理指数基的运算性质:$$=a*'；（a）A=ar'\（at>）r=ab'\其中8>0,b>0,r,s£Q.

2.指数函数的图象和性质

（1）概念：函数y=a'（a>0且&WD叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R,a是底数.

（2）指数函数的图象与性质

a>\0<水1

图象

-o|~r-?

定义域R

值域(0,+8)

过定点（0,1）,即X=（）时，y=l

当x>0时，g：当水o时，3：

性质

当水0时，（KT1当x>0时，0<_Kl

在（-8,+8）上是增函数在（一8,十8）上是减函数

【考点分类剖析】

考点一根式、指数嘉的化简与求值

【典例1】（2021.湖南长沙市.高三其他模拟）镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片

越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验.某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别

制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为出，肛，也.则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜

片的同学分别为（）

A.甲同学和乙同学B.丙同学和乙同学

C.乙同学和甲同学D.丙同学和甲同学

【答案】C

【解析】

判断出痣，冷，夜的大小关系即可得出答案.

【详解】

（为『=52=25,（V2）1（）=25=32.V25<32.

乂*•（6/=33=9,（0）6=23=8,・•・班>加.

工有狗<收<我.

又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄.

故选：c.

【典例2】计算：（23n（一9.6）Q_（4+C厂.

【答案】

2

【解析】分析：直接利用指数察的运算法则求解即可，求解过程注意避免计算错误.

详解：（2：）=（-9.6）。-（守+（旷

=2-1

_1

"2,

【规律方法】

化简原则：①化根式为分数指数察；②化负指数累为正指数累；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序.

【变式探究】

1计.算：1.5--X一一0+8025X</2+(V2X

316；

【答案】110

11

【解析】原式=|jJ+24x24+22x33-^-j=2+108=110.

/a1_\(

2计.算：_x__°+84xV2-J--

I6/八3J

【答案】2

2-

【解析】原式=-Xl+24X24——=2.

【易错提醒】

1.根式：

（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根,负数没有偶次方根.

（2）痂=0（〃>1,且〃WN"）.

（3）有限制条件的根式化简的步骤

立方和(差)公式的应用，<in(%2+x~)2=x+2+x-1,(x+x-1)2=x2+2+x-2,xz4-x-=(xz+

x-^x-l+x-1),解题时要善于应用公式变形.

【变式探究】

已知。5+。-5=3,求下列各式的值.

(1)a'+a~\(2)a2(3)“4d

a+/+l

【答案】(1)7;(2)47;(3)6.

I」

【解析】(1)将标+。2=3两边平方得"+。-】+2=9,所以d+cJ=7.

(2)将々+,尸=7两边平方得/+。-2+2=49,所以片+72=47.

(3)由(1)(2)可得)+〃：+1=出士1-6.

a+a'+17+1

考点三：指数函数的概念

【典例5】(2021•四川凉山彝族自治州福三三模(文))函数/(工)=优">0,〃工1),且/(1)=2,则

/(0)+/(2)=()

A.4B.5C.6D.8

【答案】B

【解析】

运用代入法进行求解即可.

【详解】

由f(l)=2=4=2=/(x)=21

所以/(0)+/(2)=20+22=5,

故选:B

【规律方法】

判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合)，="(〃>0,存1)这一结构形式.

【变式探究】

若y=(a2—3a+3)tf是指数函数，则有()

A.。=1或2B.a=\

C.a=2D.t?>0且存1

【答案】C

/-3。+3=1

【解析】由题意，得%>0，

."1

解得。=2,故选C.

考点四：指数函数的图象

【典例6】（2021•吉林长春市♦高三其他模拟（文））如图，①②③④中不属于函数y=2"y=3x,），=（；）'

的一个是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】B

【解析】

利用指数函数的图象与性质即可得出结果.

【详解】

根据函数y=2r与y=（1）v关于y对称，可知①©正确，

函数y=3、为单调递增函数，故③正确.

所以②不是已知函数图象.

故选:B

【典例7】（2020•浙江绍兴市阳明中学高三期中）函数），=公一,（〃>（）,且存1）的图象可能是（）

a

【答案】D

【解析】

就〃>1、0<。<1分类讨论可得正确的选项.

【详解】

当”>1时，y="-，为增函数，当x=0时，y=v1且丁=1一,>0,

aaa

故A,B不符合.

当0<。<1时，y=一’为减函数，当冗=0时，y=1一~-<0,故C不符合，D符合.

aa

故选：D.

【总结提升】

1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换

而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x=l得到底数的值再进行比较.

3.识图的三种常用方法

（1）抓住函数的性质，定性分析：

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③从周期性，判断图象的循环往复；

④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.

（2）抓住函数的特征，定量计算：

从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.

（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：

①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象（定量分析）：

②根据自变最取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象（定性分析）.

4.过定点的图象

（1）画指数函数y=ax（a>0,aWl）的图象，应抓住三个关键点（0,1）,（1,a）,•特别注意，指数函数的

图象过定点（0,1）：

（2）y=优与），=，、的图象关于y轴对称；

⑶当a>l时，指数函数的图象呈上升趋势，当OVaVl时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺

减.

【变式探究】

1.（2020•上海高一课时练习）函数y="和y=a*+l）（其中。>0且。工1）的大致图象只可能是（）

【答案】C

【解析】

由于y=〃（x+l）过点（―1,0）,故D选项错误.

当〃>］时，），=优过（0,1）且单铜递增；y=〃（x+l）过点（一1,0）且单调递增，过（0,4）且.所以A选

项错误.

当时，过（0,1）且单调递减，y=〃*+1）过点（一1,0）且单调递增，过（0,。）且0<〃<1.

所以B选项错误.

综上所述，正确的选项为C.

故选：C

2.如图所示是下列指数函数的图象：

(1)y=d；(2)y=〃；(3)y=c、；(4)y=d\

则a,b,c,d与I的大小关系是()

A.a<b<1<c<dB.b<a<\<d<c

C.I<a<b<c<dD.a<b<1<(l<c

【答案】B

【解析】

可先分为两类,(3)(4)的底数一定大于1,(1)(2)的底数一定小于1,然后再由(3)(4)比较,c,d的人小，由(1)(2)

比较a,。的大小.当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近)，轴；当底数

大于。小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近工轴，故选B.

【特别提醒】

指数函数的图象随底数变化的规程可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大.

高频考点五：指数函数的性质及其应用

【典例8】(2020•浙江高三月考)已知根>〃>0,。>0且awl,设"=/+/"，双二优+才”，则()

A.M>NB.M=NC.M<ND.(M-N)(«-1)>0

【答案】A

【解析】

作差，对。分类讨论，利用指数函数的单调性即可求出.

【详解】

M-N==am+一(a"+an\=am+--an--

'7ania”

y=单调递增，因为〃z>〃>0，所以am-an>0»an'an>1»

所以M—N>0,所以M>N：

当Ocavl时，)，=〃'单调递减，因为机所以""va〃vl，""一〃"vO，vl,

所以M—N〉0，所以M>N.

综上所述：M>N

故选：A

—x+l,x«0,

【典例9】（2021•北京高三其他模拟）已知函数/3）=<2则不等式/(幻-2'>0的解集

~x~4-2x+l,x>0,

是()

A.(-l,0)U(0,l)B.(-1,1)C.(0,1)D.(-l,+oo)

【答案】A

【解析】

作出函数/（x）以及y=2、的大致图象，数形结合即可求解.

【详解】

在同一坐标系中，作出函数/（x）以及y=2'的大致图象,

由图象可知，在区间（TO）和（0,1）上

x

f(x)>2f由此/(幻-2*>0的解集(TO)U(O」).

故选：A

f]\-2.v*—8x+l

【典例10]（2020・上海高三专题练习）函数）,=的值域是

;（—3«xKl）

/iY

【答案】-,39

【解析】

S/=-2X2-8X+1=-2(X+2)2+9,

V-3<x<LA当x=—2时，i有最大值是9；当x=l时，，有最小值是-9,9W/W9,由函数

)，=(:『在定义域上是减函数，

•••原函数的值域是［3-9,3，.故答案为［3一9,3，.

【典例11】(2019•黑龙江省大庆四中高一月考(文))已知函数/*)=优一2(。>0,且〃=1,*之0)的图像

经过点(3。5),

(1)求〃值；

(2)求函数/(x)=“5(x20)的值域；

【答案】(1)〃=!(2)(0,4］

2

【解析】

(1)•・・函数〃%)=广2的图像经过点(3,0.5)

a3~2=0.5

1

：.a=—

2

f[、x-2

⑵由⑴可知/(月=上(x>0)

•••0<gvl/./(x)在0+8)上单调递减，则“X)在x=0时有最大值

・••/—=4

又,."(%)>0

••・函数〃力的值域为(0,4]

【规律方法】

1.比较累值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同.是用指数函数的单调性，还是用事函数的单调性

或指数函数的图象解决.要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用.

2.指数函数的图象在第•象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大).当幕的底数不确定时，要注意讨论

底数的不同取值情况.

3.根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=l与图象的交点进行判断.如图是指数函数(l)y

=a\(2)y=bx,(3)y=c\(4)y=(T的图象，底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>l>a>b.

规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大.

4.简单的指数不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，

并在必要时进行分类讨论.

5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次

要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断.

6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解.

【变式探究】

2一“xV0

'"，则满足/(x+l)</(2%)的x的取值范围是()

{1/%>0

A.(-co,-1]B.(0,+co)C.(-1,0)D.(-oo,0)

【答案】D

【解析】将函数/(%)的图象画出来，观察图象可知会有解得XV0,所以满足"％+1)Vf(2x)

的工的取值范围是(一8,0),故选D.

2.(