浙江省宁波市2024-2025学年高一年级上册1月期末考试数学试卷（解析版）

宁波市2024学年高一第一学期期末试题

数学试卷

说明：本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共15。分.

考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.

第I卷（选择题共58分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是正确的.

1.已知集合A={T，°，1，2},B={1［训,则）

A.{0}B.{2）C.{-1,0}D.{-1,1,2）

【答案】A

【解析】

【分析】先解不等式求出集合6,再根据集合交集定义和补集定义计算即可.

【详解】由题8=21}={工比21或人工一1},

所以备3=（-1,1）

所以={0}.

故选:A.

2.命题“VxwZ,以怕1^”的否定是（）

A.3XGZ.|x|eNB.BxeZ,|x|任N

C.Hr史Z,|x|eND.Bx^Z,IxkN

【答案】B

【解析】

【分析】由命题的否定方法直接得解.

【详解】命题“X/xwZ,|x|£N"的否定是“玉wZ,Ml任N”.

故选:B.

3.已知函数/（x）=4sin（3x+。）（A＞0,口＞0,0＜。＜兀）的部分图象如下图所示，贝J（）

(12兀)

B./(^)=2sin—x+一

123J

(571(15兀)

C.f(x)=2sinI2x+D./(x)=2sin—x+一

(26)

【答案】A

【解析】

7T\

【分析】由图中最高点和最低点结合周期公式即可求出4。，再将点3,2J代入解析式即可求出。，进

而得解.

T271兀兀2兀,

【详解】由图可得A=2，-—=>——=TI=>co=2,

12122co

71c.兀1c

所以/(x)=2sin(2x+。)，又由图2sin2+(p=2sin----Fcp|=2

J<6)9

7T7T2立

所以——+(p=2kit+—,keZ,解得。=2EH-----、keZ,

623

2兀

又0<9<兀,所以。二—^~,

所以/(x)=2sin(2x+1.

故选：A.

4.设a,B,。分别是VA9C的三个内角，贝lj()

4+8C

A.cos(A+B)=cosCB.cos=cos—

2

.c

C.sin(A+B)=sinCD.sin=sin一

2

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形内角和及诱导公式可判断各选项.

【详解】A.C0S(y4+^)=C0S(7C-C)=-COSC,选项A错误.

A+B兀一cc

B.cosF~T2"?>=siny,选项B错误.

C.sin(A+8)=sin(兀一C)=sinC,选项C正确.

A+B71-Cc

D.sin=sin=sin

~T~=cos—,选项D错误.

4

故选:C.

sin(a+〃)

5.已知tana=2tan〃，则()

sin(a-0)

i1

A.一B.-C.-3D.3

33

【答案】D

【解析】

【分析】根据两角和、差的正弦公式和同角三角函数的基本关系计算可得结果.

sin(a+4)sin«cos6+cosasinBtan«+tan/y2tanZ7+tanZ?.

【详解】由题意得，——-----=------------------=------------=-------------=3

sin(cr-p)sinacosp-cosasinptana-tanp2tan/>-tanp

故选：D.

6.已知函数/（x）=/I2x,对任意M,,q£R,下列结论成立的是（）

3

A./(Xj)f(x2)B.

西+飞</(3)+/(/)x+王后/（x）+/（w）

C/(2)一D./(

222

1C

【解析】

t分析】利用二次函数性质，举例说明判断AB；作差判断CD.

【详解】函数/（x）=/+2x的图象关于直线工=一1对称，/（工）在（-8,7）上递减，在（T+oo）上递

增,

对于AB,当在对称轴两侧时，/（%），/。2）的大小与勺大小无关，

因此/侬），/（々）大小关系不确定，故AB错误;

%+W)/(3)+/(£)X+X八2x,+2为x；+2.q

对于CD,/(一（-Ly=）十玉十巧

2~222

=一］（"|_"2）2W0，即/（,故C正确，D错误.

~1~）一2

故选：C.

7.若函数/5）=«与函数g（x）=〃（x+l）的图象有交点，则实数。的取值范围是（）

1

1

A.5,+8B.O,2一C.[1,4W)D.[0,1]

【答案】B

【解析】

【分析】将函数有交点问题转化为方程4=a（x+l）有解，分离参数，构造函数），=正M20,利用基

X+1

本不等式求解函数的值域即可得解.

【详解】因为函数/*）=«与函数g（X）=4（X+l）的图象有交点，所以方程4=C«X+1）有解,

由xNO,所以〃=正在［0,*z））上有解，记》=

,x>0>

X+1x+1

则实数〃的取值范围是函数），=,xNO的值域,

A+1

令1一4上0，WOy=—―-，当，=0时，y—。；

厂+1

=I

y~2,当且仅当/=1即［=1时，等号成立,

当/>0时，v

又y>0,所以0<），V；,

综上，1所以实数。的取值范围是ol.

2

故选：B

8.已知a=sin3,b=log53,c=log64,则()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦函数，对数函数单调性进行放缩，再来比较大小.

【详解】^=sin3<sin—=1,

62

33

b=log53=log5咽<log5V125=log55^=-,

11

rr2

b=log53=Iog5V9>Iog5V5=log55=-,

33

C=log64=log6</256>log6V2T6=log66,二j，

由上可得：a<b<c>

故选:A.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题中成立的是()

A.若则/B.若。>力>0,则必>〃

C.若a>b,c<d,则4一c>〃一dD.若a>b>0,c<d<0,则ac>bd

【答案】BC

【解析】

【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,。=-2/=-3时，。2=4,6=9,不满足〃2>从，故A错误，

对于B,由于。>Z?>0,b>0,故而"B正确，

对于C,若cvd,则一c>-4,又a>b,^La—ob—d»C王确，

对干D,若cvd<0,则一。>一，/>0,结合则-ac>-仇/,故ac<bd,D错误，

故选：BC

10.已知函数/(x)=tan2x,则()

A./(幻的最小正周期为：

B./(x)的图象关于点成中心对称图形

C./(X)的图象可以由y=-tan2x的图象平移得到

D./(%)的图象与)，=8$4%的图象在区间上有唯一公共点

【答案】ABD

【解析】

【分析】由周期公式即可判断A；求出函数的对称中心即可判断B；由正切函数图象性质和余弦函数性质树

形结合即可判断CD.

【详解】对于A,函数/(x)最小正周期为7=5,故A正确；

fJ/1、

对干B,令2x=—,^GGZ=>A=—,keeZ,所以函数的对称中心为—,0,k《Z,

24I4)

71

所以当左=1时得点-,0是函数/(幻的一个对称中心，故B正确;

(4)

对于C,函数/(x)=tan2x图象与y=-tan2x的图象关于x粕对称，如图:

由图象结构性质可知/(X)的图象不可以由y=-tan2x的图象平移得到，故C错误;

jr

对于D,因为X£(0,:卜寸,

2XE0,—,4XG（0,TI）,

<2y

所以函数/(幻=tan2/在0,£上单调递增，y=cos4x在0,二上单调递减,

又当x=0时，代入函数/(x)=tan2x得/(0)=。，代入y=cos4x得y=l>0,

7T7T7T

当上二一时，，代入函数/Cr)=tan2x得/(-)=tan—=1,代入y=cos4x得y=Ovl,

884

所以fM的图象与y=cos4x的图象在区间(0,个)上有唯一公共点，故D正确.

故选：ABD

11.已知函数/(幻，如果存在不全为零的实数。，4使得f(x+。)—人为奇函数，那么/(x)叫做关于

(以2)的“类奇函数”.下列结论正确的有()

A./(幻=丁+1为“类奇函数”

B./(x)=lnx为“类奇函数”

C.若/(x)为“类奇函数"，则/Q)可以是偶函数

D.若/(X)是关于(©〃)的“类奇函数”，则/(X)的图象关于点(外勿成中心对称图形

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用新定义，构造函数，根据奇偶性的定义以及性质，结合函数图象变换，逐项判断可得答案.

【详解】对于A,当。=0,6=1时，可得〃x+0)-l=V令g(x)=V,因为关于原点对称，

g(-x)=-f=_g(x),所以g(x)为奇函数，所以/(幻叫做关于(0,1)的“类奇函数:

故A正确；

对于B,对于八x)=lnx,具定义域为(0,+8),若存在不全为零的实数小〃，使得

/(X+4)-〃为奇函数，设=+-b=ln(x+4)-匕，因为/(/)的定义域为(-4,+e),

不关于原点对称，所以/(x)=lnx不“类奇函数”；

对于C,若/。)=1,则/(公为偶函数，则/(%+0)-1=0,令力(x)=0,

其定义域为％WR,/?(-%)=0=-/z(x),所以〃(6=0是奇函数，

所以/。)=1是“类奇函数”，故C正确；

对于D,若/(幻是关于(外刀的“类奇函数”，则/(%+。)一人为奇函数，

^y=f(x+a)-b,因为y=f(x+a)-b是奇函数,其图象关于(0,0)对称，

所以/(©的图象关于点(/〃)成中心对称图形，故D正确.

故选:ACD.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对新定义的理解和应用.

第n卷（非选择题共92分）

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

,log,x,x>0,（（\

12.已知函数/*）=；则//-=----------.

、Z+1,X—U,<I，J,

【答案】g##0.5

【解析】

【分析】由内往外直接代入计算即可.

（1>1

【详解】由题/-=log2-=-l,

12J2

所以/（/（小〉/㈠》—丁十二!.

故答案为：.

13.函数/（x）=sin（2x-F）在区间［0,m］上不单调，则实数〃7的取值范围为.

【答案】（全+8,

【解析】

【分析】利用整体法即可结合正弦函数的性质求解.

详解】xe［（）,〃z］时，则2%-色比,2m.,

由干/（x）=sin（2xq）在区间［0,向上不单调，则2m故相臼，

、（兀、

故答案为：鼻，+8

IJ/

14.实数a,b满足/一^+从二。，则使Q+恒成立的实数4的最大值为.

【答案】2夜

【解析】

【分析】利用三角换元可得。一!二［cosaLsinO/eR,即可根据三角函数的最值得

222

a+十2十g•求解•

【详解】由〃2一4+序=0可得+^=1,

I2J4

令〃——二—cose,Z?=—sin6,6eR,

要便〃+/lbW2恒成立，故拈］+（3丸）+（42,解得一2及44工2近，

故元的最大值为2夜，

故答案为：2拒

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.设全集U=R,集合A=*|lKxK4},集合8={M〃+2«xWa+10},其中awR.

（1）若人口8=0，求。的取值范围；

（2）若“XEA”是的充分条件，求〃的取值范围.

【答案】（1）9）U（2,一）

（2）tzef-6,-11，

【解析】

【分析】（1）根据交集为空集列不等式求解即可.

（2）由题意AqB,利用集合间的关系列不等式求解即可.

【小问1详解】

因为集合4={•工工＜4},集合3={乂。+2《工4。+10},且4口8=0,

所以。+10<1或。+2〉4,即。w(-oo,-9)U(2,+co).

【小问2详解】

因为“xwA”是“XW"'的充分条件，所以AqB,

集合A={x|l«x<4},集合B=*|a+2<x<a+10},

a+2<\

所以，八一解得即au[-6,-1].

/z+10>4

16.单位圆。与x轴正半轴的交点为A,点8,。在圆。上，且点4在第一象限，点C在第二象限.

C

（1）如图，当3c的长为W时，求线段BC与5c所围成的弓形（阴影部分）面积；

、（兀[4

（2）记ZAOC=tz,oce—,兀，当30_LCO,点8的横竺标为一时，求sina+cose的值.

1275

【答案】（1）四一1

64

1

（2）sincr+cosa=-.

5

【解析】

【分析】（1）设弧长及圆心角，应用扇形面积公式计算5=S扇形—S&BQC求解即可；

（43、34

（2）先由已知得B进而得出sin/=巳，cos/?=-,最后应用诱导公式计算求解即可.

<5Sy55

【小问1详解】

设8c所对的圆心角为。，弧长为/，弓形的面积为s.

TTITT

因为/=彳，圆。的半径为r=1，所以。=一=二，

3r3

S成形，•乙了=工，s△…Li巫=6，s-S-S_工_立.

2236加8224°_J扇形%OC―64

【小问2详解】

设AAOB=0,由题知，

34

于是sin4=一,cos/7=—,

55

“431…1

sina+cosa=sin（90°+//）+cos（90o+/?）=cos/y-sin8=-----=—.即sina+cosa=—.

5555

17.定义在R上的奇函数/(x)和偶函数g(x)满足/(x)+g(x)=e、.

(1)求/(X)，g(x)的解析式;

(2)若"(x)]2+[g(x)]2+4g(x)20恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)〃幻=三£二，g")=W;；

(2)a>-\.

【解析】

【分析】(1)由题设I(x)+g(x)=e"结合函数奇偶性得-f(x)+g*)=eT,两式相加和相减即可求解函

数解析式.

22

(2)由(1)结合题意且令z=e、+eT得一一t,恒成立，进而求出函数〃«)二一—t,t>2,的

tt

最大值即可得解.

【小问1详解】

因为/(工)+以此=e"且奇函数，g(x)是偶函数，

所以f(-x)+g(—x)=-/*)+g(x)=e-\即一/(x)+g(x)=e-r,

结合/(x)+g(x)=e、，解得〃])二三匚，8⑴二二詈.

【小问2详解】

2--2x

由(l)得"(x)/+[ga)：T=b；e-，

2x—24x—x

所以不等式[/(x)]2+[g(x)f+ag(x)之0可以化为u+a・e+e>0,

22

叫e'+e-'y+Me'+e-')-220,即二一⑹+小)=2⑹

e'+e-vev+e-v')

令i=e'+er，Mr>2>/eA-e-r=2-当且仅当x=0时，取“二”，

2

所以原不等式转化为对任意的f22,都有。>--，恒成立，

t

2

设力(。二—一Z,z>2,易知〃⑴为[2,+8)上的减函数，

t

所以力(f)的最大值为力(2)=7,所以。2—1.

18.已知函数/(x)=2cos(x+tj.

(1)求/(x)图象的对称轴方程；

(2)若将函数/(幻的图象上各点向右平移:个单位后得到函数g(x)的图象，记函数

力a)=/a)g(x).

(i)求〃(x)的值域；

(苴)若〃(%)=-4?，龙。《五'五)'求tan2A>()的值.

/\

【答案】⑴/(x)=2cos2x-^

\

=

(2)(i)l-2,2J；(ii)tan2A0~~^~

【解析】

【分析】(1)利用整体代入思想即可得到对称轴方程.

(2)先利用图形的变化“左加右减”得到g(x)的图象g")=2cos卜一1｝进而求出函数万(力的解析

式，再求出值域；又由整体思想转化得到tan2x0的值.

【小问1详解】

因为f(x)=2cos[x+jj,

7T7T

令上+―=〃兀，keZ,解得/=—+kn,keZ,

66

7T

所以/(幻图象的对称轴方程是1=一二+E,keZ.

6

【小问2详解】

\

由题知，g(x)=/(x-*1=2cos(x-71

(兀)/16.](Gi.'

于是〃(x)=/(x)・g(x)=4cosx-^•cosx+—=4—cosx+——sinx•——cosx—sinx

I6)(22只22J

/621.x/3.

2

=4——cosx+—sinxcosx-------sinx=V3cos2x+sin2x=2cos|2x--.

I424JI6J

(i)因为-1—cos2x----<1,所以—2W2cos<2,

l6J

即力(x)的值域是[-2,2].

若〃(%)二一竽^即

(ii)

(兀77r।

因为X()W—»TT»所以2%-2W(0,兀)，

<1212/6

所以tan百

sin~Tf

r7兀1兀/十必

tan2x0——+tan—6

兀兀6)6

所以lan2x=tan+—23

06J6,八7171

1-lan2XQ--♦tan-1-

k6623

即tan2XQ=

19.已知函数/(幻的定义域为R,给定集合。，若/(外满足对任意巧，X2GR,存在实数%,当

时，都有义[/(%)一/(々)]£。，则称是。上的“4级优函数”.

(1)请写出一个｛1｝上的“1级优函数”，并说明理由；

(2)已知/(幻是[2,3]上的“2级优函数”，

(i)证明：/(x+6)-/(x)=3；

(ii)当xw[0,l]时，f(x)=aj(+—其中mbeZ,求m〃的值.

x+1t

【答案】(1)函数/(冗)=1是｛1｝上的“1级优函数，理由见解析

a=0[a=1

(2)(i)证明见解析♦；(打)<「或匕…

b=-\[b=\

【解析】

【分析】(1)根据“2级优函数”的定义，即可求解.

3

(2)根据定义可得14/(%)-/(4)«万，即可采用迭代相加法求解(i),根据(i)的思想可证明

331

/(x+3)-/(x)=-,故/(x+3)-/(幻=5,进而可得/*+1)-/*)=5,进而可判定f(x)是。1］

上的“2级优函数”，且/(幻是［0」］上单调递增函数，对〃分类讨论，结合函数的单调性及可列方程求解

(ii).

【小问1详解】

函数/(x)=x是｛1｝上的力级优函数”.理由如下：

因为当X-M=l时.，有/(%)—/(%)=%一%=1,所以/。)=工是⑴上的“1级优函数”.

【小问2详解】

(i)因为是［2,3］上的“2级优函数”，由定义可得对任意不，x2eR,

3

当24王一占43时，有1</(%)-/(占)工5，

所以/(x+6)-/*)=/(x+6)-/(x+4)+/(x+4)-/(为+2)+/a+2)-/(x)N3,

又f(x+6)—/(x)=f(x+6)-/(x+3)+f(x+3)-f(x)<3,

所以/(x+6)-/(x)=3.

(ii)由(i)可得

4</(X+2)-/(X+3)<~,1</(X+3)-/(X)<|

4222

故f\x+2)-/(x)=f(x+2)-f(x+3)+/(x+3)_/(x)W1

又f(x+2)-f(x)>1,因此f(x+2)-f(x)=1,