八年级下册数学期末试卷测试卷(解析版)

八年级下册数学期末试卷测试卷（解析版）

一、选择题

1.下列式子中不一定是二次根式的是（）

A.+B.V4C.y[aD.

2.下列四组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）

A.5,12,13B.1,2,3C.6,8,10D.3,4,5

3.下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）

A.Z4=ZB,ZC=ZDB.AB=AD,CB=CD

C.AB=CD,AD=BCD.AB!/CD,AD=BC

4.小明和小兵两人参加了5次体育项目训练，其中小明5次训练测试的成绩分别为11、

13、11、12、13；小兵5次训练测试成绩的平均分为12,方差为7.6.关于小明和小兵5

次训练测试的成绩，则下列说法不正确的是（）

A.两人测试成绩的平均分相等B.小兵测试成绩的方差大

C.小兵测试的成绩更稳定些D.小明测试的成绩更稳定些

5.如图,四边形ABCD中，AB=15,BC=12,CD=16,AD=25,且NC=90°,则四边形ABCD

A.246B.296C.592D.以上都不对

6.如图，矩形纸片中，AB=6cm,BC=Scm.现将其沿AE对折，使得点B落在

边4。上的点尸处，折痕与边8C交于点E,则C尸的长为（）

A.3瓜mB.2Men?C.8cmD.10cm

7.如图，已知口AOAC的顶点0（0,0）,点B在x轴正当轴上，按以下步骤作图：

①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边040/3于点。，E；②分别以点，

E为圆心，大于;的长为半径作弧，两弧在N403内交于点F：③作射线OF,交边

AC于点G.若G的坐标为（2,4）,则点A的坐标是（)

Av

A.(-3,4)B.(-2,4)C.(2-2x/5,4)D.(石-4,4)

8.下面图象反映的过程是：小刚从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后PI家，如果菜地

和玉米地的距离为。千米，小刚在玉米地除草比在菜地浇水多用了b分钟，则a,b的值

9.要使史巫有意义，则x的取值范围为____.

2

10.如图，菱形A3C。的对角线AC、4。相交于点。，点”、N分别为边/W、的中

点，连接MN,若MN=l,BD=2y/3,则菱形的面积为.

11.在平面直角坐标系中，若点用(尤4)到原点的距离是5,则x的值是.

12.如图，把矩形纸片4BCD沿直线4E折叠，使点。落在8c边上的点F处，已知48=

6,8c=10,则线段CE的长为.

13.一次函数'=履-5的图象经过点P(-l,0),那么A=.

14.如图，矩形48C。的两条对角线相交于点。，若400-60,AD=3,则4：的改为

15.甲从A地出发以某一速度向3地走去，同时乙从3地出发以另一速度向A地而行，如

图中的线段)1、％分别表示甲、乙离8地的距离(km)与所用时间x(h)的关系.则A、

点4恰好落在BC边上的点E处，若47=3,BE=1,则DE的长是

17.计算：

(1)>/80->/20+x/5;

(2)(国我(6-®

18.在《算法统宗》中有一道“荡秋千"的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步

与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有

几此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离48的长度为1

尺.将它往前推送，当水平距离为10尺时.即AC=IO尺，则此时秋千的踏板离地的距离

A7)就和身高5尺的人一样高.若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，求绳索。人的

长.

19.如图，是规格为8x8的正方形的网格，请你在•所给的网格中按下列要求操作:

(1)请在网格中建立.直角坐标系，使A点坐标为(4-2),4点坐标为(2,T)；

(2)在网格上，找一格点C,使点。与线段A3组成等腰三角形，这样的C点共有

个；

(3)在(1)(2)的前提下，在第四象限中，当△ABC是以48为底的等腰三角形，且腰

长为无理数时，△A8C的周长是一，面积是一.

20.如图，在048co中，过点。作。F_L8c于点F,点E在边4。上，AE=CF,连结8£、

CE.

(1)求证：四边形8FDE是矩形.

(2)若DE=AB,N48c=130°,求NDEC的度数.

AED

222

21.同学们，我们以前学过完全平方公式，a±2ab+b=(a±b),你一定熟练掌握了吧？现

在我们又学习了平方根，那么所有的正数和0都可以看作是一个数的平方，比如：

2=(⑨2,3=(右)2,7=(疗)2,02=0,那么我们利用这种思想方法计算下面的题：

例：求3_3衣的算术平方根

解：3-3x/2=2-2x/2+1=(N/2)2-272+12=(72-1)2

・・・3-3&的算术平方根是核-1

同学们，你看明白了吗？大胆试一试，相信你能做正确！

⑴。十2五

（2）J10+8>/3+2方

（3）小3-2直+的-2#+/7-2厄+加-2而+1-2而.

22.工厂中甲，乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，

更换设备后，乙组的工作效率是原来的2.5倍•两组各自加工零件的数量x（件）与时间y

（时）之间的函数图象如图所示.

（1）甲组的工作效率是一件/时；

（2）求出图中。的值及乙组更换设备后加工零件的数量v与时间x之间的函数解析式.

（3）当x为何值时，两组一共生产570件.

23.问题发现：

（1）如图1,点4为线段8c外一动点，且BC=a,28=b.填空：当点4位于CB延长线

上时，线段4C的长可取得最大值，则最大值为（用含a,b的式子表示）；

尝试应用：

（2）如图2所示，AABC和a/WE均为等腰直角三角形，ZBAC=Z.DAE=9Q°,M、抵分

别为A8、AD的中点，连接MMCE.4）=5,47=3.

①请写出MN与CE的数量关系，并说明理由.

②直接写出MN的最大值.

（3）如图3所示，ZkABC为等边三角形，。4=6,08=10,N4）8=60。，M、N分别为

8C、8D的中点，求MN长.

（4）若在第（3）中将“/408=60。”这个条件删除，其他条件不变，请直接写出MN的取

值范围.

24.如图1,直线A8分别与X轴，y轴交于A,4两点，04=6,/劭。=30。，过点8

作放?_LA4交x轴于点C.

（1）请求出直线8C的函数解析式.

（2）如图1,取AC中点。，过点。作垂于x轴的线力上，分别交直线A8和直线BC于点

F,E,过点尸作关于x轴的平行线交直线8C于点G,点M为直线OE上一动点，作

/何_1），轴于点可，连接AM,NG,当AM+MN+NG最小时，求M点的坐标及

AM+MN+GN的最小信.

（3）在图2中，点尸为线段A8上一动点，连接产。，将△必。沿尸。翻折至△Q4'。，连

接48,A'C,是否存在点使得△A8C为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐

25.定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫

做这个损矩形的直径。

（1）如图1,损矩形ABCD,ZABC=ZADC=90°,则该损矩形的直径是线段AC,同时我

们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。

如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB,在AB同侧有/ADB和NACB,此时NADB=

ZACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC,在CB同侧有NBAC和NBDC,此时NBAC=

ZBDC0请再找一对这样的角来—=

（2）如图2,△ABC中，ZABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,D为菱形ACEF的

中心，连结BD,当BD平分/ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理

由。

（3）在第（2）题的条件下，若此时AB=3,BD=4>/2，求BC的长。

【参考答案】

一、选择题

1.c

解析：c

【分析】

根据二次根式的性质即可判断.

【详

石、"、C是二次根式，右中的a可能为负数，故不一定是二次根式

故选C.

【点睛】

此题主要考查二次根式的识别，解题的关键是熟知二次根式的定义.

2.B

解析：B

【分析】

利用勾股定理逆定理进行求解即可.

【详解】

解：A、52+122=132,能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

12+22^32,不能构成直角三角形，故此选项符合题意；

C、62+82=102＞能构成直角三角形，故此选项不合题意；

D、32+42=52,能构成直角三角形，故此选项不合题意；

故选B.

【点睛】

本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键.主要看较短两边的平

方和是否等于较长边的平方

3.C

解析：C

【解析】

【分析】

根据平行四边形的判定方法对各个选项进行判断即可.

【详解】

A、不可以得到两组对角分别相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合

题意；

B、不可以得到两组对边分别平行，不能列定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合

题意；

C、根据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故

此选项符合题意；

D、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意：

故选C.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形

是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四

边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等

的四边形是平行四边形.

4.C

解析：C

【解析】

【分析】

先计算出小明5次训练测试成绩的平均分和方差，再与小兵5次训练测试成绩的平均分和

方差进行比较即可得出结论.

【详解】

解：小明5次训练测试成绩的平均分为：(11+13+11+12+13)=12(分)；

小明5次训练测试成绩的方差为：

S?=#(11—12尸+(13—12)2+(11—12尸+(12-12尸+(13—12尸］=0.8(分2)

S小明<J浜

/.两人的平均成绩一样好,小兵的方差大，

「•小明测试的成绩更稳定些

故选：c.

【点睛】

本题考查了方差的意义.方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反

之也成立.

5.A

解析：A

【详解】

解：连接BD.

,/ZC=90\BC=12,CD=16,

•a-BD=7BC2+CD2=20T

在△ABD中，*/BD=20,AB=15,DA=25,

152+202=252,

即AB2+BD2=AD2,

△ABD是直角三角形.

S网或形ABCD=SAABD+SABCD

=—AB«BD+—BC<D

22

=—xl5x20+—xl2xl6

22

=150+96

=246.

故选A.

6.B

解析：B

【解析】

【分析】

先根据折叠性质可证四边形ABE尸为正方形，BE=AB,然后根据EC=8C-8E可得到

EC的值，最后根据勾股定理即可求出CT的长.

【详解】

ZAFE=Z5=90°,ZBAF=90°,

四边形AHEV为矩形.

,/AB=AF,

四边形ABEb为正方形.

BE=AB=6cm,

/.EC=BC-BE=8-6=2cm,

一.在Rt^CEF中，CF=y/EF2+EC2=而万=2回。》

故选：B.

【点睛】

本题考查了折叠的性质，矩形和正方形的判定及性质，根据正方形的判定证明四边形

ABE尸是正方形是解题的关键.

7.A

解析：A

【解析】

【分析】

首先证明49=AG,设AO=AG=x,则A7=x-2,在mZVlOT中，x2=42+(x-2)2,求

出工，可得结论.

【详解】

解：如图，设AC交y轴于兀

•••G(2,4),

:.TG=2.07=4,

•••四边形A04C是平行四边形，

:.ACHOB,

ZAGO=ZGOB,

•.•NAOG=NGOB,

/.ZAOG=ZAGO,

：.AO=AG,

设AO=AG=x,则AT=x-2,

在R/ZsAOT中，x2=42+（X-2）2,

x—5»

"7=5-2=3,

A（-3,4）,

故选：A.

【点睛】

本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知

识，解题的关键是证明AO=AG,学会利用参数解决问邈.

8.D

解析：D

【分析】

先分析每•段图像对应的小刚的事件，再根据数据计算即可.

【详解】

解：此函数图像大致可分以下几个阶段：

①0-12分种，小刚从家走到菜地；

②12-27分钟，小刚在菜地浇水；

③27-33分钟，小刚从菜地走到玉米地；

④33-56分钟，小刚在玉米地除草；

⑤56-74分钟，小刚从玉米地回到家；

综合题意，由③的过程知，〃=1.5-1=0.5（千米）；

由②、④的过程知b=（56-33）-（27-12）=8（分钟）.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了学生对函数图象的理解，要求学生具有用应的读图能力，以及将图像信息

与实际问题结合的能力，考生在解答此类试题时•定要注意分析，要能根据函数图象的性

质和图象上的数据得出对应事件的信息，从而列出算式得到正确的结论.

二、填空题

9.x&2

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件可得6-3A>0,再解不等式即nJ.

【详解】

解：由题意得：6-3.t>0,

解得M2.

故答案为：x«2.

【点睛】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.

10.A

解析；2G

【解析】

【分析】

根据MN是aAAC的中位线，根据三角形中位线定理求的AC的长，然后根据菱形的性质

求解.

【详解】

解：「M、N是A8和8c的中点，即MN是△ABC的中位线，

：.AC=2MN=2,

80=26，

所以菱形的面积为!BD・AC=1X2X2Q=2G,

22

故答案为：2石

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理和菱形的性质，理解中位线定理求的4c的长是关键.

11.3或・3

【解析】

【分析】

根据点例（X4）到原点的距离是5,可列出方程，从而可以求得x的值.

【详解】

解：•・•点M（x,4）到原点的距离是5,

&+42=5’

解得：x=3或3

故答案为：3或3

【点睛】

本题考查了坐标系中两点之间的距离，解题的关键是利用勾股定理列出方程求解.

12.A

解析：|

【分析】

由折叠可知，AD=AF,DE=EF,ZD=Z4FE=90°,在中，由勾股定理得1。2=62

+8F2,求出8F=8,CF=2,在RJEFC中，由勾股定理得（6-CE）2=CE2+22,求得CE

-3,

【详解】

解：在矩形4BCD中，AD=BC=10,Z0=90%

由折叠可知,AD=AF,DE=EF,ZD=^AFE=90°,

，.•8c=10,

AF=10,

・/48=6,

在R348F中，AF2=AB2-1~BF2,

102=62+8尸,

BF=8,

/.CF=2,

在RSEFC中，EF2=CE2+CF2,

(6-CE)2=CE2+22,

8

CE=-,

3

故答案为g.

J

【点睛】

本题考查折叠的性质，熟冻掌握矩形的性质、折叠的性质，熟练应用勾股定理是解题的关

键.

13.-5

【分析】

直接把点(-1，。)代入一次函数y=k.x-5,求出k的值即可.

【详解】

解：，•一次函数y=履-5的图象经过点(-1,0),

:.0=-k-5t解得k=-5.

故答案为：-5.

【点睛】

本题考查了•次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是掌握•次函数图象上各点的坐标

一定适合此函数的解析式.

14.A

解析：6

【分析】

根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC="),再根据三角形的一个外角等于与它不相

邻的两个内角的和求出NOCO=30，然后根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的

一半解答.

【详解】

解：在矩形A8C。中，OC=OD,

NOCD=N8C,

乙40。=60，

：.ZOCD=-^AOD=-x60=30),

22

又QNAOC=90‘，

/.AC=240=2x3=6.

故答案为6.

【点睛】

此题考查矩形的性质，解题关键在于利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，三角形

的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质.

15.2或3

【分析】

①利用路程的函数图象解得的解析式，再求的值；

②根据题意列方程解答即可.

【详解】

解：①设=kx+b,

经过点P(2.5,7.5),(4,0).

解得，

■••--

解析：2或3

【分析】

①利用路程X的函数图象解得M的解析式，再求的M值;

②根据题意列方程解答即可.

【详解】

解：①设M=kx+b,

必经过点P(2.5,7.5),(4,0).

2.54+Q7.5

••<4k+b=0，

》=-5x+20,当x=0时，,=20.

答：A8两地之间的距离为20km.

②根据题意得：5x+3x=20-4或5x+3x=20+4,

解得：x=2或x=3.

即出发2小时或3小时，甲、乙两人相距4km

【点睛】

此题主要考查了根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题FI中的一些关键性词

语，找出等量关系，列出方程组.熟练掌握相遇问题的解答也很关键.

16,【分析】

过点作于，于，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求，由面积法可求的长,

由勾股定理可求的长.

【详解】

解：如图，过点作于，于，

将沿直线翻折，

解析：y

【分析】

过点。作O〃_LAC于〃，DFLBC于F,由折叠的性质可得AC=CE=3,

ZACD=NBCD=45。,由勾股定理可求AB=5,由面积法可求的长，由勾股定理可求

DE的长.

【详解】

解：如图，过点。作OH_LAC于”，DFJ.BC于F,

•.•将AAOC沿直线CD翻折，

:.AC=CE=3,ZACD=ZBCD=45°,

:.BC=4,

-DH1AC,DF工BC,ZACD=ZBCD=45°,

:.DF=DH,NDCF=NFDC=45。,

:.DF=CF,

•/AB2=AC2+BC2=9+16=25,

...AB=5,

:=-xACxI3C=-xACxDH+-xBCxDF

•a/wK222t

.\12=7DF,

129

/.DF=CF=y,EF=?

故答案为：-y-.

【点睛】

本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，求出。尸

的长是本题的关键.

三、解答题

17.(1)3；(2)2

【分析】

(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

(2)利用平方差公式计算即可.

【详解】

解：(1)原式=

(2)原式=5-3=2.

【点睛】

本题考查的是二次根式

解析：(1)3不；(2)2

【分析】

(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

(2)利用平方差公式计算即可.

【详解】

解：(1)原式=46-2石十石=36

(2)原式=5-3=2.

【点睛】

本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，掌握利用平方差公式进行简便

运算是解题的关键.

18.绳索0A的长为14.5尺.

【分析】

设绳索0A的长为x尺，根据题意知，可列出关于的方程，即可求解.

【详解】

解：由题意可知：尺，

设绳索0A的长为x尺，根据题意得

解得.

答：绳索0A的

解析：绳索。4的长为14.5尺.

【分析】

设绳索04的长为x尺，杈据题意知，可列出关于x的方程，即可求解.

【详解】

解：由题意可知：A'O=5尺，

设绳索。囚的长为x尺，艮据题意得

102+（X+1-5）2=X2,

解得x=14.5.

答：绳索OA的长为14.5尺.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，列出方程是解题的关键.

19.（1）见解析；（2）10；（3）,4.

【解析】

【分析】

（1）根据A点坐标为，B点坐标为特点，建立直角坐标系；

（2）分三种情况讨论，若AB=AC或AB=BC,或BC=AC,此时的点C在线段AB

解析：（1）见解析；（2）10；（3）2V10+25/2,4.

【解析】

【分析】

（1）根据A点坐标为（4「2）,8点坐标为（2,-4）特点，建立直角坐标系；

（2）分三种情况讨论，若。或A3=8C,或5C=AC,此时的点。在线段A8的垂直平

分线上，据此画图；

（3）根据题意，符合条件的点是点G（L-i）,结合勾股定理解得

AC=8C=炉，=而，即可解得周长，再由Sv.c=S正方形-2Sw-Ss解得其面积•

【详解】

解：（1）如图建立直角坐标系，

(2)分三种情况讨论，如图，若或或3OAC,此时的点C在线段A4的

垂直平分线上，

符合条件的点C共有10人，

故答案为：10;

(3)在(1)(2)的前提下，在第四象限中，当AABC是以48为底的等腰三角形，且腰

长为无理数时，符合条件的点是点Cg(1,-D

AB=&+展=2&

AC=BC=yl}2+32=Vio

GABC=屈+M+2无=2加+2应

Sv.c=S正方形"Sv]-%=3x3-2xgx1x3-gx2x2=9-3-2=4

故答案为：2加+2a,4.

【点睛】

本题考查网格与勾股定理、网格中画等腰三角形、等腰三角形的性质等知识，是重要考

点，掌握相关知识是解题关键.

20.(1)见解析；(2)25°

【分析】

(1)由题意可证四边形DFBE是平行四边形，且DE_LAB,可得结论；

(2)根据平行四边形的性质求得NADC=130。，DE=CD,再利用等腰三角形的性

质即叮求

解析：(1)见解析；(2)25°

【分析】

(1)由题意可证四边形DFBE是平行四边形，且DE_L48,可得结论；

(2)根据平行四边形的性质求得N4DC=130。，DE二CD,再利用等腰三角形的性质即可求

解.

【详解】

(1)证明：在"8C。中，ADW8C,AD=BC,

EDIIBF.

,/ED=AD-AE,BF=BC-CF,AE=CF,

/.ED=BF.

四边形BFDE是平行四边形.

•/DF±BC,

ZDFB=9Q°,

••・四边形BFDE是矩形;

(2)解：在u/A8c。中，AB=CD,ZABC=ZADC.

,/DE=AB,Z/4BC=130°,

:.DE=CD,ZADC=130°.

/.ZDEC=yx(1800-130o)=25°.

【点睛】

本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，运用等腰三角形的判定和性质解决问题是本

题的关键.

21.(1)+1：(2)4+：(3)-1.

【解析】

【详解】

试题分析：根据完全平方公式的特点以及材料中所给的方法，通过仔细观察对

所要求的式子中的数进行恰当拆分即可得.

试题解析：(1);

解析：(1)&+1：(2)4+及；(3)>/6-1.

【解析】

【详解】

试题分析：根据完全平方公式的特点以及材料中所给的方法，通过仔细观察对所要求的式

子中的数进行恰当拆分即可得.

试题解析：(1)；3+2上=’(夜+1『=应+1;

（2）《10+8yl3+2&='10+8（夜+1）=J18+8&=夜+4『=4+及；

（3）J3-2&+，5-2遥++丁9-2我+1-2回

2

=’（a力+，（6一3）2+“4—可+J（石-可+柄阖

-

=&-1+6及+〃-x/3+V5-4+«-&

=76-1.

22.(1)70；(2)320,y=100x-280；(3)5

【分析】

(1)利用待定系数法求一次函数解析式即可得到甲的JJ乍效率；

(2)利用乙的原来加工速度得出更换设备后，乙组的工作速度，然后求出更换

解析：(1)70；(2)320,y=100x-280；(3)5

【分析】

(1)利用待定系数法求一次函数解析式即可得到甲的工作效率；

(2)利用乙的原来加工速度得出更换设备后，乙组的工作速度，然后求出更换设备后加工

零件的数量y与时间x之间的函数解析式即可.

(3)根据(1)(2)求出的函数关系式，令两者的和为570,求出x的值即可.

【详解】

解：(1)••・图象经过原点及(6,420),

设解析式为：y=kx,

/.6k=420,

解得:k=70,

y=70x：

.•.甲的工作效率为70件/时：

(2)乙3小时加工120件，

一•乙的加工速度是：每小时40件，

.•.乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2.5倍.

更换设备后，乙组的工作速度是：每小时加工40x2.5=100(件)，

0=120+100x(6-4)=320：

乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为：y=120+100(x-4)=

100x-280.

(3)由题意可得：70x+100x-280=570,

解得x=5,

・•・当x为5时，两组一共生产570件.

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意得出函数关系式以及数形结合.

23.(1)a+b；(2)①EC=2MN,见解析；②MN的最大值为4；(3)MN

=7；(4)2<MN<8

【分析】

(1)当点在的延长线上时，的值最大.

(2)①结论：.连接，再利用全等三角形的性质证明，

解析：(1)a+b；(2)①EC=2MM见解析；②的最大值为4；(3)MN=7；

(4)2<MN<8

【分析】

(1)当点A在的延长线上时，AC的值最大.

(2)①结论：EC=2MN.连接30,再利用全等三角形的性质证明40=EC,再利用三

角形的中位线定理，可得结论.②根据MN,,4W+4V,求出AM,AN,可得结论.

(3)如图3中，以4。为边向左作等边AW7,连接CD,BT,过点T件刀，RD交BD

的延长线于J.证明用'=C。，MN=gcD,求出87可得结论.

(4)由(3)可知，=求出B7的取值范围，可得结论.

【详解】

解:(1)•;BC=a,AB=b,

AC„a+b,

・••AC的最大值为a+

故答案为：a+b.

(2)①结论：EC=2MN.

图2

理由：连接80.

vza4C=zzwr=90°,

ZBAD=ZCAE,

在M4/)和△(*£：«+«,

AB=AC

<4BAD=/CAE,

AD=AE

ABAD\ACAE(SAS),

/.BD=CE»

•・・AM=M8，AN=ND,

:.BD=2MN,

:.EC=2MN.

(2)vAD=5,A/3=AC=3,

35

/.AM=BM=-AN=ND=-,

2f2

;.MN,,AM+AN,

:.MN,、1+:，

22

:.MN,、4,

二.MN的最大值为4.

(3)如图3中，以4。为边向左作等边AAO7,连接CD,BT,过点丁作交BD

的延长线于J.

J图3

•.•AABC,A4O7都是等边三角形，

,1.Z7>U)=Zfi4C=60o.AT=AD.AR=AC,

:.ZTAB=ZDAC,

在ATXB和AOAC中，

AT=AD

/.TAB=ADAC,

AB=AC

MAB^DAC（SAS）,

BT=CD,

•：BM=CM,BN=ND,

:.MN=-CD,

2

；.MN=LBT,

2

\ZADB=ZADT=ar,

.­.Z771/=180°-120o=60°,

/.NO"=30。，

\AD=DT=6,

:.DJ=^TD=3,TD=y/DT2-DJ2=3x/3，

.•.a/=n/+3D=3+10=13,

:.BT=4TJ2+BJ2=7（3>/3）2+132=14,

:.MN=-BT=7.

2

（4）由（3）可知，MN=；BT,

VI0-6W6+10,

.•.4触T16,

二2黜西8.

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形

的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等

三角形解决问题.

24.（1）直线的函数解析式为：；（2）当点的坐标为：时，有最小值；（3）的坐标

为：，或，或或.

【解析】

【分析】

（1）利用锐角三角函数求直角三角形的边和的长度，从而得出点、的坐标，再利用待定系

数法，

解析：（1）直线8c的函数解析式为：y=Gx+2G；（2）当用点的坐标为：（2,粤）

时，AM+MN+NG有最小值邛「2；（3）。的坐标为：（8-2^,2-：6）或（6+2万，

JJ

-2）或（4,手）或（0,2g）.

【解析】

【分析】

（1）利用锐角三角函数求直角三角形的边08和OC的长度，从而得出点8、C的坐标，

再利用待定系数法，求出直线BC的函数解析式；

（2）此题需先在图形中补全题目山现的条件，第二问为“造桥问题”，借助两点之间线段最

短，先作图，再结合函数知识解决问题：

（3）借助有定点、定长可确定圆入手，找到动点4的运动轨迹；同时，考虑等腰三角形

△的腰不确定，应分三种情况讨论，从而确定点。的坐标.

【详解】

解：（1）•••x轴_Ly轴，OA=6,ZBAO=30°,

：.ZBOA=90°,ZABO=60。，则AO=tan30oOA=^-6=2G，

3

/.8（0,2百）；

•・•过点8作8c_LAB交工轴于点C,

ZCfi4=90°,Z.CBO=ZCBA-ZABO=9（）0-60°=30°,

/.CO=tan3（）oOfi=^y-2石=2,

•••C（2,0）；

设直线AC的函数解析式为：>\=kx^b,将点仇0,2万），C（-2,0）代入得，

0+。=26k=0

解得,

-2k+h=0

.直线AC的函数解析式为：y=6r+2G.

（2）

•.•MN_Ly轴，G尸//x轴，

.•.G〃_Ly轴，直线GF上所有点的纵坐标都相等；

将点G在直线G产上平移至点G',使得G<7=MV,连接47,交DE于点、M',过作

交丁轴于点N',连接GM,

则=GN'=GM',当A/位于点时，A/W十/四十NG有最小值；

.・•点。为线段AC的中点，C(-2,0),A(6,0),

•.。(2.0),八。=4,

•••OEJLx轴，

：.GG=MN=MN=2,/尸D4=90°,直线OE上所有点的横坐标都为2；

•.•4)=2,/区4。=30。，

DF=tan30。♦A。=曰•4=竽，则?⑵华)，

设点G«竿)，

代入),=6v+2>/5得，4ix+2\l3»解得,工=-：’则G(—|,,

.•eg,苧)，则