2026年高考数学知识复习（全国）：专题05 高中全部补充函数培优归类（题型清单）（解析版）

专题05高中全部补充函数培优归类取整函数(高斯函数)题型1对勾函数型(a,b>0)图像特征1.有“渐近线”:y=ax(即第一象限均值不等式取等处)1.(23-24高三·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数,若对于任意的实数x₁、f(x)mn,由题意得出三种情况讨论，求出函数y=f(x)的最大值f(x)和最小值 ,由此可求出实数a的取值范围. 当且仅当x=6时，等号成立，且f(2)=10,此时，6≤f(x)≤10;①若a<0时，函数在区间[12,18]上单调递减，则,即那么,当x∈[2,18]时，,f(x)=10,成立，此②当a=0时，且当12<x≤18时，则f(x).n=6时a=0;成立，此【点睛】本题考查函数最值的应用，同时也考查了分数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.的解集为()【分析】分析可知函数f(x)为R上的偶函数，且该函数在(0,+∞)上单调递增，将所求不等式变形为f(x+1)>f(l2x|),可得出关于实数x的不等式，即可得解.【详解】由题意可知，函数f(x)的定义域为R,且f'(x)不恒为零，所以，函数f(x)在[0,+∞]上为增函数，A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(c)>fC.f(b)>f(a)>f(c)D.f(c)>f(a)>f(b)得到答案.【详解】因为函数f(x)=e+e⁻*且定义域为R,则f(-x)=e⁻×+e=f(x),所以f(x)为偶函数，,c=log₅3<log₅5=1,则1,所以4.(2020湖南娄底·模拟预测)已知函数f(x)=a*+(k-1)a⁻×(a>0且a≠1)是偶函数，则关于x的不等式的解集是()即可.【详解】∵f(x)是偶函数∵f(-x)=f(x),即a*+(a>1,0<a<1时都能得到f'(x)=lna(a⁸-a*)>0,所以f(x)=a+a⁻ˣ在(0,+∞)上是增题型2双曲函数双曲函数(双刀函数)(两支各自增),或(两支各自减),(a,b>0)(即方程等0处)立，则实数a的取值范围为()参变分离，转化为求参变分离，转化为求的最值即可.【详解】因为f(-x)=e*-e-sin2x=-f(x),所以f(x)为奇函数，又f'(x)=e*+e2ces2cos22>2cdB2?-*Qx=+x≥,故f(x)在R上单调递增，由f(x²)+f(4-ax)<0,得f(x²)<-f(4-ax)=f(ax-4),所以x²<ax-4,的最小值为()【分析】由函数奇偶性的定义可得f(x)为奇函数，结合单调性可得2m+n=1,然后结合基本不等式即可得到结果.【详解】因为f(x)=2ˣ-2*的定义域为R,且f(-x)=2*-2ˣ=-f(x),即函数f(x)为奇函数，又因为y=2*,在R上单调递增，则f(x)=2*-2*在R上也单调递增，因为f(2m)+f(n-1)=0,即f(2m)=-f(n-1)=f(则2m=1-n,所以2m+n=1,当且仅当时，即取等号.所以的最小值为8.3.(24-25高三·黑龙江哈尔滨阶段练习)已知函数,则不等式f(2x-1)≤f(x+1)的解集为【分析】根据函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解即可.所以所以函数f(x)为偶函数；因为0<x₁<x₂,所以x₂-x>0,x₂+x>0,所以f(x₂)-f(x)>0,即f(x₂)>f(x₁)所以f(2x-1)≤f(x+1)⇔且f(t)+f(2t-1)≤2的解集为()【详解】x∈R,令h(x)=f(x)-1=e-e⁻-2sinx,h(-x)=f(-x)-1=-(e*-e*-2sinx)=-h(x),所由f(t)+f(2t-1)≤2得f(t)-1≤1-f(2t-1),即h(t)≤-h(2t题型3复合分式型“反比例”函数题题解解(3)、一、三或者二、四象限，通过x=0,1计算判断。【分析】证明函数的奇偶性，再分析出其单调性，从而得到|2x-1>x-1|,解出即可.2.(23-24高三江苏南通·阶段练习)已知函数.x∈R,则不等式f(x²-2x)<f(3x-4)的解A.(1,2)B.(1,4)C.(0,2)【分析】由从而有f(x)在(-∞○,0)上单调递增，再结合单调性可求解.【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了分类讨论思想的应用.A.(-∞,0)U(4,+∞)A.(-∞,0)U(4,+∞)B.(-∞,0)U(2,+∞)C.(-∞【分析】作出函数图像，由图像判断函数的单调性，进而解出答案.恒成立，则m的取值范围为(),【分析】先用基本不等式求最值，再解一元二次不题型4绝对值型函数绝对值函数：(1)分类讨论去掉绝对值；(2)大部分绝对值函数，可以遵循翻折变换1、f(x)→|f(x)|x轴翻折：x轴下方(负的)翻上去2、f(x)→f(|x|)y轴翻折：y轴左侧擦除。右侧翻到左侧，成为偶函数有三个不相等的实数解，则m的取值范围是()A.[0,1n2]B.(-2-In2,0)C.(-2-1n2,0)D【分析】设h(x)=f(x)+m,则h(x)是f(x)的图象沿着x=1上下平移得到，分析函数h(x)与g(x)的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可.y4321x设h(x)=f(x)+m,则h(x)是f(x)的图象沿着x=1上下平移得到，当x=1时，h(1)=f(1)所以直线x=1与函数h(x)的图像的交点坐标为(1,m),当x=1时，g(1)=0,当x=2时，g(2)=-2,所以直线x=2与函数g(x)的图像的交点为(2,-2),当x=2时，h(2)=In2+m,所以直线x=2与函数h(x)的图像的交点为(2,In2+m),要使方程f(x)+m=g(x)恰有三个不相等的实数解，则等价为h(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，则满足即得即-2-In2<m,0,即实数m的取0],故选B.【点睛】本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查函数理解掌握水平和分析推理能力.A.1B.2【分析】设f(x)=|x-2|+|x+1,分x≥2,-1<x<2,x≤-1三种情况去掉绝对值符号得到f(x)的解析式及值域，即可得解.所以当x∈R时，|x-2+|x+1的最小值为3,A.(-∞0,-2)B.[-2,0]C.(2,+∞【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.增，,/y=-(x)A.(-2,-1)B.(-2,-1)C.(-【分析】将不等式f(x)≥x²-2x-m化为m≥x²-2x-2+|x|,令h(x)=x²-2x-2+|x|,即m≥hx).然后分分图象，数形结合即可得解.【详解】因为函数f(x)=2-|x1,所以关于x的不等式f(x)≥x²-2x-m可化为2-|x|≥x²-2x-m,即m≥x²-2x-y个y=m时的函数值可知，要使m≥h(x)的解集中有且仅有2个整数，这两个整数解只能是0和1,题型5取整函数(高斯函数)取整函数(高斯函数)数h(x)=[x]-x,那么下列说法正确的个数是(①函数h(x)的定义域为R,值域为[-1,0]②正确.[0.8]=0,[3.4]=3.定义{x}=x-[x],给出如下命题：②函数y={x}的定义域为R,值域为[0,1];和.【详解】①由2≤x<3,3≤x+1<4,所以[x+1]=3;x×<2或x≥3时[x+1]≠3.所以n为偶数时综上，只有命题①正确，故选B.【点睛】本题考查对新概念的理解、简单运用，考查函数的值域，二项式定理及应用，属于中档题.下：对任意的x∈R,函数称为狄利克雷函数；记[x]为不超过x的最大整数，则称f(x)=[x]为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是()【分析】利用狄利克雷函数与高斯函数的定义，逐项推理判断即得.【详解】由高斯函数的定义知，Vx∈R,f(x)=[x]都是整数，即都是有理数，所以D(f(x))=1,A正确；若x为有理数，则x+1也是有理数，D(x+1)=D(x)=1;若x为无理数，则x+1也是无理数，D(x+1)=D(x)=0,B正确；取x=-0.5,则f(0.5)=0,f(-0.5)=-1,f(0.5)+f(-0.5)=-1,C错误；已知函数设g(x)=[f(x)],)A.f(x)是奇函数B.g(x)是奇函数C.f(x)在R上是增函数D.g(x)的值域是{-1,【分析】利用奇偶性定义及特殊值法判断A、B;根据指数函数、复合函数的单调性判断C,由函数新定义及分式型函数、指数函数性质求g(x)的值域判断D.【详解】由且x∈R,则f(x)是奇函数，A对；由,根据指数函数、复合函数单调性易知：f(x)在R上是增函数，C对；当x≥0时，1+2*≥2,则,此时g(x)=0;当x<0时，1<1+2*<2,则,此时g(x)=-1;所以g(x)的值域是{-1,0},D对.设f'(x)是函数f(x)的导数，f"(x)是f'(x)的导数，若方程f"(x)=0有实数解xo,则称点(x₀,f(x。))A.(0,-3)B.(0,3)C.(0,-2)m≤x²(x²+1),而当x≥1时，x²(x²+1)≥1×(1+1)=2,所以m≤2,即m的最大值为2.此时的图象关于点(0,-2)对称，所以点Q的坐标为(0,-2).2.(21-22高三上河南信阳·阶段练习)已知函是(0,-2)上的增函数.当实数m取最大值时，若存在点Q,使得过点Q的直线与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，且这两A.(0,-3)B.(0,3)C.(0,-2)的最大值为2,故得A.(1,2)B.(1,3)【详解】由g(x)=x³-3x²+2x+3,令g”(x)=6x-6=0,故x=1,“拐点”就是对称中心，设函数则以下说法正确的是()的值是99的值是1【分析】根据题意求出函数【分析】根据题意求出函数f(x)对称中心，然后根据函数对称中心的性质进行求解即可.令f"(x)=2x-1=0,解得所以有f(x)+f(1-x)=2,所以有的值是99.解3.指数函数的定点，类似中心对称的点，两个点关于“定点”满足“积定值。这个性4.无论指数函数怎么变换，要注意“一点一线”是否存在且“跟随”变换。A.(-1,2)B.(-1,0)C.(0,1)个y=le-1y=n2.(2025高三·全国·专题练习)已知函数.A.(4,5)A.(4,5)B.(4,5)【分析】将方程f(x)-a=0有四个不同的实数根，转化为函数y=f(x),y=a有四个不同的交点，利用数形结合得到a的范围，再根据x,x₂为方程ek+1=a的两根，x₃,x₄为方程.的两根，利用韦达定理建立x₁x₂+x₃x₄的函数，再利用函数的单调性求解.【详解】y=e+¹在(-∞0,-1)上单调递减，在(-1,0)上单调递增，当x=-1时取得最小值1,当x=0时函数值为e,当x趋近于-∞时，函数值趋于正无穷；在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，当x=2时取得最小值1,当x趋近于0时趋近于+∞,当x趋近于+0时趋近于+0∞0,如图所示：个ey=a1由方程f(x)-a=0有四个不同的实数根，得函数y=f(x)的图象与直线y=a有四个不同的交点，由图知：1<a≤e,设x₁,x₂为方程e+1=a的两根，即|x+1|=lna的两根，即x²+2x+1-1n²a=0的两根，则x₁x₂=1-In²a,设x₃,x₄为方程的两根，即x²-(3+a)x+4=0的两根，由1<a≤e,得0<lna≤1,即O<1n²a≤1,则4≤5-1n²a<5,g(x)=3-t²有3个不同的实数根，则实数t的取值范围是()A.(-2,2)B.(√3,2)C.(-2,【分析】令m=f(x),作出函数函数f(x)的大致的图象，结合图象得出关于x的方程根的情况，再根据一元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解.【详解】由题意，作出函数f(x)的大致图象，如图.y=mO令m=f(x),由图可知，当m∈(0,1)时，关于x的方程m=f(x)有2个不同的实数根；当m=0或m∈[1,+∞]时，关于x的方程m=f(x)只有1个实数根.因为关于x的方程g(x)=3-t²有3个不同实数根，当m=0为方程m²-tm+t²-3=0的根时，t=±√3,且方程的另一根为m=t.当t=√3时，方程的另一个根为m=√3,不符合题意；当t=-√3时，方程的另一个根为m=-√3,不符合题意.当m=1为方程m²-tm+t²-3=0的根时，有t²-t-2=0,则t=-1或t=2.当t=-1时，方程的另一个根为m=-2,不符合题意；当t=2时，方程的另一个根为m=1,不符合题意.所以关于m的方程m²-tm+t²-3=0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,+∞)内.令【分析】令t=f(x)-1,由f(t)=2可得t=-2,t₂=0,t₃=log₃5,分类讨论结合函数图象分析求解即可.【详解】求函数g(x)=f(f(x)-1)-2的零点个数，即求方程f(f(x)-1)=2的不同实数根的个数，y-2y-f(x)令t=f(x)-1,则f(t)=2,解得t=-2,t₂=0,t₃=log₃5.当t₁=-2时，f(x)-1=-2,则f(x)=-1,此时方程无解；当t₂=0时，f(x)-1=0,则f(x)=1,此时方程有3个不同实数根；当t₃=log₃5时，f(x)-1=log₃5,则f(x)=1+log₃5,此时方程有2个不同实数根.综上可知，函数g(x)=f(f(x)-1)-2的零点个数为5.0题型8对数型绝对值函数对于f(x)=|logax|,|logax|=t3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”1.1.(24-25高二下·山东日照阶段练习)已知函数若实根x,x₂,x₃,x₄,且x₁<x₂<x₃<x₄,则的取值范围为()A.(0,1)B.(1,3)C.(0和x₃+x₄=10,进而利用二次函数的性质求出范围.y=f(x)Ay=m方程f(x)=m有四个不同的实根x,x₂,x₃,x4,则0<x₁<1<x₂<3<x₃<4<6<x₄,函数y=-x²+10x-21在(3,4)上单调递增，当x∈(3,4)时，0<y<3,则-x²+10x₃-21的取值范围为(0,3),所以的取值范围为(0,3).下列结论正确的是()1<x₁<2<x₂,根据函数值可进一y=()01X,又f()=1,f(10)=1,∵存在a<b<c,满足f(个y=k又因为f(x₃)=f(x₄),即lnx₃-1|=|lnx₄-1,可得Inx₃-1+1nx₄-1=0,所以In(x₃x4)=2,即x₃x₄=则xx₂x₃x₄=(-x₂-d)x₂?é=-14题型9对数无理型大对数与无理式复合是奇函数：k>0√(kx)²+1+kx,k>0,是增函数；√(kx)²+1-kx,k>0,是减函数；变形：±kx),T>0------是上下平移，且对称中心在y±kx),T>0------是上下平移，且对称中心在y轴上1.(2025河北模拟预测)若f(x)=(e*-e*)og₂(√4x²+1+ax)【分析】由偶函数的性质和对数的运算性质【详解】由题意知：f(-x)=(e*-e*)log₂(√4x²+1-ax则-log₂(√4x²+1-ax)=log₂(√4x²+1+ax),化简为,则4-a²=0,解得【分析】分析函数的性质，再按x>0,x<0分段并结合导数及零点存在性定理推理判断.则函数f(x)与y=|x|的图象在x>0时无交点；所以函数f(x)与y=|x|的图象交点只有一个.故选：故选：B【分析】由f(x-2)为奇函数，得到f(x-2)=-f(-x-2),求得f(x)的图象关于点(-2,0)对称，再由根据奇偶性，得到h(x)为奇函数，且g(x)的关于(-2,0)对称，求得n的值，得到答案.【详解】因为f(x-2)为奇函数，所以f(x所以f(x)的图象关于点(-2,0)对称，对于函数h(x)=ln(Jx²+1-x)(x≠0),可得D(-x)+h(x)=1n(√²+1+x)+1n(√x²+1-x)=ln(x²+1-x²)=In1=0,所以n为偶数，这些根成对出现，每对和为-4,所以设所以设s=x₁+x₂+…+xn,则2s=-4n,所以s=-2n=-2024,解得n=1012.故选：B.DCD数，将原不等式f(x)+f(2x-1)+3x<0通过转化为不等式g(x)<g(1-2x)计算求解.【详解】令g(x)=f(x)+kx+b,则8(x)+g(2x-1)=f(x)+kx+b+f(2x-1)+k(2x-1)+b=所以g(x)为奇函数.则g(x)在R上单调递增，所以原不等式等价于g(x)+g(2x-1)<0,即g(x)<g(1-2x),即x<1-2x,解得故选：D.题型10对数反比例型形如对数与反比例复合型，是奇函数：y=loga,y=log。,如：,log。,log。前提是上下“对偶”(1)、上下平移：(2)、左右平移：y=loga左右平移，中心，可以通过定义域的中心值找扩展拔高：,依旧是奇函数，如果上下不“对偶”,则发生了左右与上下平移，依旧中心对称【分析】求出函数f(x)的定义域，结合奇函数的性质求出a的值，再利用定义判断得解.由f(x)是奇函数，得-a-2+2a=0,解得a=2,此时f(x)的定义域为(-4,4),A.f(a)<f(b)<f(c)B.f(a)<f(c)<f(b)C.f(c)<f(a)<f(b)【分析】根据解析式、对数复合函数的单调性判断f(x)的定义域和单调性，再应用式判断a,b,c的大小，进而判断函数值的大小.【详解】因为【详解】因为所以定义域为(-3,2),且易知y=ln(2-x)为减函数，y=1n(3+x)为增函数，所以为减函数.又a,b>1,所以a>b>c,则f(a)<f(b)<f(c).故选：AA.当a>0时，函数f(x)在其定义域上单调递减B.当a<0时，函数f(x)在其定义域C.存在实数a,使函数f(x)的图像是轴对称图形D.当a≠0时，函数f(x)的图像恒为【分析】求f(x)的导数即可判断AB,计算f(2m-x)=f(x)即可判断C,计算f(2m-x)+f(x)是否为定值即可判断D.故A错误；,故不存在m,故C错误；【分析】根据题意，得到函数为奇函数，得到g(-x)+g(x)=0,列出方程，求得的值，即可求解.所以为奇函数，即g(-x)+g(x)=0,整理得9a²x²-(a-2)²=9x²-1,所以a²=1且(a-2)²=1,解得a指数型“反比例函数”:2.以上几个类型都是奇函数指数型“反比例函数”:l2.以上几个类型都是对称中心函数，对称中心在y轴上怎么找中心?2.如果x=0无意义，则(0,是中心，即特殊值法是奇函数，则a=()【详解】函数的定义域为{x|x≠0},由f(x)为奇函数，得f(x)+f(-x)=0,故选：BC.f(x+2)+3C.f(x+2)+3【分析】分别求得定义域，由定义域不关于原点对称，可判断AC;BD定义域关于原点对称，利用奇函数的定义计算可判断B,令利用奇函数的定义计算可判所以不是奇函数，故A错误；对于B,所以,则所以B正确；对于C,,定义域不关于原点对称，所以f(x+2)+3不是奇函数，故C错误；对于D,所以所以f(x+1)-3不是奇函数，所以D不正确；故选：B.则A.1B.2【分析】结合数列的周期性，求出a₄,即可求解，函即,整理可得(3⁴+1)×(3++1)=3⁴+1+3+¹+1,即3⁴×3+¹=1,解方程得a₄=-5,所以a₁+a₂+a₃+a₄=0,2f(|x|-2)+f(2)≤f(0),则x的取值范围为(),根据函数奇偶性、单调性及不等式2f(|x|-2)+f(2)≤f(0)可得列式求解即可.所以解得m=1.又f(x)为奇函数，所以f(x)在R上单调递减.因为f(0)=0,所以不等式2f(|x|-2)+f(2)≤f(0)可化为由函数的单调性可知|x|-2≥-1,解得x≤-1或x≥1.题型12对数反比例：绝对值型对数反比例绝对值型函数f,有以下几点性质(可以参考下图特殊函数)1.定义域是断点型：x≠±a,x≠±b(结合具体函数数值)2.图像一上一下，一左一右，具体有两个判断：(1)、两个断点处；(2)、断点处左右两边极限处带特殊值，判断函数值正负。【分析】根据定义域先求出a,再根据奇函数的性质求出b,从而可求a+b.故函数定义域中不能有-1,1,故1+a+a=0即此时f(x)=log₂而A.(√3,4)B(√3,5)C.(3,4)可.易知x≠1,所以x≠-1,即有得到所以此时，函数此时，函数f(x)为奇函数，即b=ln2满足题意，所以当0<x<1时，