专题03 等式与不等式性质及一元二次函数、一元二次不等式15大题型60题（期中专项训练）（解析版）高一数学上学期人教A版

2/24专题03等式与不等式性质及一元二次函数、一元二次不等式题型1用不等式表示不等关系题型8由一元二次不等式的解确定参数题型2由已知条件判断所给不等式是否正确（重点）题型9解其他不等式（常考点）题型3作差法比较代数式的大小题型10解含有参数的一元二次不等式（难点）题型4作商法比较代数式的大小题型11一元二次方程根的分布问题题型5利用不等式求取值范围（常考点）题型12恒成立问题（难点）题型6由不等式的性质证明不等式题型13有解问题（难点）题型7解不含参数的一元二次不等式（常考点）题型14整数解问题（难点）题型15实际应用（重点）题型一用不等式表示不等关系（共2小题）1．（24-25高一上·吉林长春·期中）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米?(2)若同时增加相同的窗户和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?请计算说明.【答案】(1)；(2)变好，理由见详解.【分析】（1）设该公寓窗户面积为，依题意列出不等式组求解可得.（2）记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，表示出增加面积前后的比值作差比较即可作出判断.【详解】（1）设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意，，解得，所以这所公寓的窗户面积至少为.（2）记窗户面积为a、地板面积为b，同时增加的面积为c，依题意，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，由，且，得，因此,所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了.2．（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢.(1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？(2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？【答案】(1)答案见详解(2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案；（2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少.【详解】（1）设安排两种货厢分别为节，节，则可列不等式组，利用不等式即可解得，，或，或.共有三种方案：方案一，安排型货厢28节，型货厢22节；方案二，安排型货厢29节，型货厢21节；方案三，安排型货厢30节，型货厢20节.（2）共有三种方案，运费分别为：安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元.安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元.易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元.题型二由已知条件判断所给不等式是否正确（共5小题）3．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据不等式的性质，结合特殊值讨论各选项即可求解.【详解】因为，所以，对于A，，所以，A选项正确；对于BCD，当时，，，无意义，故BCD选项错误.故选：A.4．（23-24高一上·云南红河·期末）下列说法错误的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【分析】利用反例判断A选项，BCD均可以通过不等式的性质以及作差法进行判断.【详解】对于A，令，满足，但，故A错误；对于B，因为，所以，，故B正确；对于C，，则，故C正确；对于D，若，则有，则，故D正确；故选：A.5．（24-25高一上·甘肃临夏·期末）（多选）若实数，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由不等式的性质逐一判断即可.【详解】由题意，，对于A，因为，，由不等式的可乘性得，故A正确；对于B，因为，，由不等式的可乘性得，故B错误；对于C，因为，由不等式的可乘方性得，则，故C正确；对于D，因为，则，所以，故D错误.故选：AC.6．（24-25高一上·陕西西安·期末）（多选）已知，，则下面不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用特殊值判断A、C，根据不等式的性质判断B、D.【详解】对于A：如，，，，满足，，但是，故A错误；对于B：因为，所以，故B正确；对于C：如，，，，满足，，但是，故C错误；对于D：因为，，所以，，所以，故D正确.故选：BD7．（23-24高一上·贵州黔南·期末）（多选）设，则下列选项中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ACD【分析】利用不等式的性质推理判断AC；举例说明判断B，作差判断D.【详解】对于A，由，得，A正确；对于B，取满足，而不成立，B错误；对于C，由，得，则，C正确；对于D，由，得，则，D正确.故选：ACD题型三作差法比较代数式的大小（共4小题）8．（24-25高一上·广西北海·期中）已知，则（填“”或“”）【答案】>【分析】作差法比较大小.【详解】，故.故答案为：>9．（24-25高一上·福建莆田·期中），，，则有.（请填“”、“”、“”、“”、“”）【答案】【分析】利用作差法可得出、的大小关系.【详解】因为，故.故答案为：.10．（24-25高一上·上海·期中）若，设,则的大小关系为.【答案】【分析】作差计算，根据差值即可比较大小.【详解】由题恒成立，所以.故答案为：.11．（24-25高一上·上海·期中）设为实数，比较与的值的大小；【答案】【分析】根据作差比较法即可得解.【详解】因为，当时等号成立，所以.题型四作商法比较代数式的大小（共1小题）12．已知，试比较与的大小.【答案】【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可.【详解】，，.两数作商，.题型五利用不等式求取值范围（共5小题）13．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用不等式的性质即可求解.【详解】∵，∴，又，∴，即的取值范围是.故选：C.14．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知，，则的取值范围是．【答案】【分析】运用不等式的性质进行求解即可.【详解】根据不等式的性质由，，故答案为：15．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知，则的范围是【答案】【分析】应用不等式性质求范围即可.【详解】由题设，则.故答案为：16．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知实数满足，则的取值范围为．【答案】【分析】结合不等式的基本性质求的取值范围.【详解】因为：，又，两式相加，得：.故答案为：17．（24-25高一上·北京·期中）设实数满足：，则的取值范围是.【答案】【分析】利用不等式的性质计算即可.【详解】因为，所以，又因为，所以，即，所以的取值范围是.故答案为：题型六由不等式的性质证明不等式（共2小题）18．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较与的大小；（2）已知，，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）利用作差法比较大小；（2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证.【详解】（1）因为，所以；（2）因为，所以，又，所以，得证.19．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）利用不等式的性质证明即可；（2）应用作差法比较大小，即可证.【详解】（1）由，则，故，由，则，故，所以，得证.（2）由，而，所以，即，得证.题型七解不含参数的一元二次不等式（共3小题）20．（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】（1）由，得，解得，所以不等式的解集为；（2）由，得，即，解得或，所以不等式的解集为.21．（24-25高一上·天津西青·期中）解下列不等式：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解（1）（2）；根据分式不等式的解法即可求解（3）.【详解】（1），又，所以，即不等式的解集为；（2）方程中，，该方程无解，所以不等式的解集为；（3），解得或，即原不等式的解集为.22．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）解下列一元二次不等式（本题答案必须用集合表示）(1)；(2)(3)．【答案】(1)或，(2)(3)或【分析】（1）（2）根据一元二次不等式的解的特征，即可求解，（3）根据分式不等式的性质即可求解.【详解】（1）由可得，解得或，故不等式的解为或，（2）由可得，即，解得，故不等式的解为（3）由得，故或，故不等式的解为或题型八由一元二次不等式的解确定参数（共3小题）23．（23-24高一上·广东珠海·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为或【答案】BD【分析】由题意可得1和5是方程的两根，且，利用韦达定理可得与的关系，然后逐项判断可得答案.【详解】由题意可得1和5是方程的两根，且，由韦达定理可得，得，对于A，因为，故A错误；对于B，不等式，即，即，得，所以不等式的解集是，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，由不等式，得，即，则，得或，即解集为或，故D正确.故选：BD.24．（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解.【详解】因为关于x的不等式的解集为，所以的两个根为1，2，所以由韦达定理有，解得，所以不等式，即不等式或.故选：A.25．（24-25高一上·云南文山·期中）若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】依题意可得为关于的一元二次方程的两根且，利用韦达定理得到，再代入，解得即可.【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或，所以为关于的一元二次方程的两根且，所以，所以，则不等式即，因为，所以，即，解得，所以不等式的解集是.故选：B.题型九解其他不等式（共5小题）26．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】转化为一元二次不等式求解即可．【详解】由，得，解得，故关于的不等式的解集为．故选：B．27．（24-25高一上·安徽宿州·期末）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据分式不等式的解法求解即可.【详解】由，得，解得或，故选：D28．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）若集合，，则为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用无理不等式及一元一次不等式的解法，结合交集的定义即可求解.【详解】,所以.故选：D.29．（23-24高一上·安徽黄山·期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解不等式求出集合，再利用交集运算即可求得.【详解】由绝对值不等式的解法可得，解得，即；由根式不等式的解法可得，解得,即.所以.故选：B.30．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将不等式化简得，将分式不等式转化成整式不等式即可解.【详解】由，得，所以，所以，即，解得或，故的取值范围为．故选：D．题型十解含有参数的一元二次不等式（共5小题）31．（24-25高一上·广东广州·期中）关于的不等式：，当时，不等式的解集为．【答案】【分析】将不等式分解因式可得答案.【详解】由得，由，得，解得，或，所以不等式的解集为.故答案为：32．（23-24高一上·北京·期末）求解下列关于的不等式，并写出不等式的解集(1)(2)(3)【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析.【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式求解.（2）将不等式转化为不等式组求解.（3）分类讨论解含参数的不等式.【详解】（1）不等式，化为，解得，所以原不等式的解集为.（2）不等式化为：或，解，得，即；解，得，即且，所以原不等式的解集为.（3）不等式，当时，不等式为，解得；当时，不等式为，解得或；当时，不等式为，若，则；若，则无解；若，则，所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.33．（24-25高一上·广东广州·期中）设函数.(1)若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；(2)解关于的不等式；【答案】(1)(2)答案见解析.【分析】（1）由题设有且仅有一个根，讨论参数a，结合函数性质求参数值.（2）由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集.【详解】（1）函数，又有且只有一个元素，则方程有且仅有一个根，当时，，即，则，满足题设；当时，，即，则，满足题设，所以的取值集合为.（2）依题意，，整理得，当时，解得；当时，无解；当时，解得，综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.34．（24-25高一上·四川成都·期中）已知关于x的不等式.(1)当时，解这个关于x的不等式；(2)当时，解这个关于x的不等式.【答案】(1)或(2)答案见解析【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；（2）根据含参一元二次不等式的解法分类求解即可.【详解】（1）当时，不等式为，即，解得或，即不等式的解集为或.（2）由，则，当，即时，不等式为，解得；当，即时，解得或；当，即时，解得或.综上所述，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或.35．（24-25高一上·福建南平·期中）设.(1)若，求不等式的解集；(2)解关于的不等式.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集；（2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集.【详解】（1）若，则由，解得，所以不等式的解集为.（2）不等式，即，当时，，解得；当时，则，解原不等式可得；当时，，解原不等式可得或；当时，原不等式即为，即恒成立；当时，，解原不等式可得或.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.题型十一一元二次方程根的分布问题（共5小题）36．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（）A．或 B．C． D．或【答案】B【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围.【详解】设关于x的方程的两个根分别为,则由根与系数的关系，知所以由题意知，即，解得.故选：B37．（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、，由题意可得，解得，因为，所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件.故选：B.38．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解．【详解】设，则由题意可知，即，解得，故实数的取值范围是.故选：C．39．（24-25高一上·山西·期中）已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由判别式和根与系数的关系得到不等式，解出实数的取值范围.【详解】设方程的两根为，则,∴∴，故答案为：40．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是.【答案】【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】因为方程的两根一个比大另一个比小，则，解得，因此，实数的取值范围是.故答案为：.题型十二恒成立问题（共5小题）41．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】即不等式对应函数图象与x轴相切或在x轴上方，据此可得答案.【详解】因关于的不等式的解集为，则图象与与x轴相切或在x轴上方，当时，，此时的解集不是R则.故选：B42．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为.【答案】【分析】分和两种情况分析求解即可.【详解】当时，恒成立，所以符合题意，当时，因为，使得恒成立，所以，解得，综上，，即实数a的取值范围为.故答案为：43．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为.【答案】【分析】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围.【详解】由不等式在上恒成立，得在上恒成立，所以在上恒成立，又，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，故的最小值为.故答案为：.44．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为．【答案】【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得.【详解】由时，恒成立，即恒成立，对于，有，当且仅当时取等号，又在上单调递减，在上单调递增，且，，，故的取值范围是.故答案为：45．（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】利用一元二次型不等式恒成立，分类求出的范围.【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立；当时，，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：题型十三有解问题（共5小题）46．（24-25高一上·江苏镇江·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先写出原命题的否定，然后根据存在量词命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】依题意，命题“，”为真命题，所以，由于，所以当时，取得最小值为，所以.故选：A47．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解.【详解】依题意，令，则，其图象开口向上，对称轴为，所以函数在区间上单调递减，则，因为存在，使得成立，所以，即，即，解得，所以的取值范围是，故选：C.48．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是.【答案】【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可.【详解】由题意，可得，即，则实数的取值集合是.故答案为：.49．（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为.【答案】【分析】分离参数，然后将不等式有解转化为最值问题即可.【详解】法一：原不等式可化为，因为不等式在有解，所以；令，则；令，易知在单调递减，在单调递增，，所以.法二：令，则即可；由二次函数在闭区间上的最值可知，，所以或，解得或，所以.故答案为：50．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为.【答案】【分析】只需求函数在上的最大值，即可得答案.【详解】由题意，在上有解，∴在上有解，即，其中，在中，，对称轴，∵，二次函数开口向上，∴函数在单调递减，在上单调递增，∴函数在上取最大值，，∴，故答案为：.题型十四整数解问题（共7小题）51．（24-25高一上·江苏南京·期中）若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】整理可得，结合题意分析可知不等式解集为，且，运算求解即可.【详解】因为，若不等式有5个负整数解，则不等式解集为，且，解得，所以的取值范围是.故选：A.52．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先解不等式可得或，再解不等式，进而分三种情况讨论，结合交集的定义求解即可.【详解】由，即，解得或，由，即，当时，不等式为，无解；当时，不等式解集为，结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解，所以，即，当时，不等式解集为，结合题意，要使不等式组仅有一个整数解，则，即，综上所述，k的取值范围为，故选：D53．（24-25高一上·安徽合肥·期中）关于x的不等式的整数解恰有2个，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】根据二次函数开口方向和根的判别式得到不等式，求出，求出不等式的解集，解集中恰有两个整数，从而得到不等式，求出答案.【详解】关于的不等式等价于，此不等式整数解恰有2个，则有且有，故有，令即得，故不等式的解集为，因为，所以，所以解集中恰有两个整数，可得，解得．故答案为：．54．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知关于的不等式只有有限个整数解，且0是其中一个解，则．【答案】或【分析】根据一元二次不等式的解及解集特征确定参数的范围，即可得答案.【详解】因为0是的解，所以．因为只有有限个整数解，所以，因为，所以或．故答案为：或55．（24-25高一上·天津津南·期中）关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围【答案】【分析】由题可得不等式的解集为或，由不等式有3个整数解可得答案.【详解】.若，则不合题意；若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为2，3，4，则；若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为0，1，2，则.故答案为：56．（24-25高一上·四川绵阳·开学考试）已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是.【答案】【分析】将化为，分，，三种情况讨论即可求.【详解】由可得，当时，不等式的解集为，不符合题意，舍，当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍，当时，不等式的解集为，因为有且仅有3个正整数解，故整数解为，所以，.综上，实数的取值范围是.故答案为：57．（24-25高一上·江苏无锡·期中）关于的一元二次不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据题意，方程有两个不同的实数根，进而求解出方程的两个解，再根据的不同取值范围，讨论两根的分布情况，从而得出结果.【详解】恰有两个整数解

方程有两个不相等的实数根，解得，，且方程的两根可写为时，，，此时不等式至少有4个整数解，不合题意；时，，，此时不等式有两个整数解1和2，符合题意；时，，.当时，，即，解得，;当时，不等式最多一个整数解，不合题意.综上，.故答案为：.题型十五实际应用（共3小题）58．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本.(1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？(2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？【答案】(1)(2)元【分析】（1）设杂志提价后的价格，根据题意列出销售总收入后建立不等式，即可解得结果；（2）设杂志提价后的价格为，列出杂志销售的利润表达式，由二次函数的性质求得函数在何处取最大值.【详解】（1）设杂志提价后的价格是每本（）元，则，即，解得，所以杂志定价位于内，能使提价后