专题07 函数的奇偶性与对称性8大题型45题（期中专项训练）（解析版）高一数学上学期人教版A版

2/24专题07函数的奇偶性与对称性题型1用定义法证明具体函数的奇偶性（重点）题型5由奇偶性求函数解析式（常考点）题型2用定义法证明抽象函数的奇偶性（重点）题型6由奇偶性求参数（常考点）题型3已知函数或判断函数的奇偶性求值（常考点）题型7由函数奇偶性解不等式（难点）题型4最大值+最小值及f(a)+f(-a)（常考点）题型8函数的对称性及应用（难点）题型一用定义法证明具体函数的奇偶性（共7小题）1．（24-25高一上·吉林白城·期中）判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3)【答案】(1)奇函数(2)既是奇函数又是偶函数．(3)偶函数【分析】先求出函数的定义域并判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义判断即可.【详解】（1）因为，所以．又因为，所以为奇函数．（2）因为函数的定义域为，关于原点对称，且，所以．所以既是奇函数又是偶函数．（3）的定义域是，对，都有．当时，，；当时，，．综上可知，对于，都有，故为偶函数．2．（24-25高一上·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由：(1)．(2)．【答案】(1)偶函数(2)既是奇函数又是偶函数【分析】（1）（2）先求函数的定义域，再求与的关系即可判断函数的奇偶性；【详解】（1）令，，，所以，所以函数为偶函数.（2）令，，解得或，所以，所以既有，又有，所以函数既是奇函数又是偶函数.3．（24-25高一上·重庆渝北·期中）判断函数的奇偶性【答案】非奇非偶函数.【分析】利用函数奇偶性定义直接判断得解.【详解】函数有意义，，解得且，所以函数的定义域为，该定义域关于数0不对称，所以函数是非奇非偶函数.4．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数，且.(1)求a的值；(2)判断函数的奇偶性.【答案】(1)(2)为奇函数.【分析】（1）将代入，解出的值.（2）按照定义法证明奇偶性的步骤，先判断定义域是否关于原点对称，再判断与的关系即可.【详解】（1）由已知可得，，

解得：（2）由（1）知，，定义域为关于原点对称，又，所以为奇函数.5．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知.(1)判断并证明该函数的奇偶性；(2)画出该函数的图象.【答案】(1)为偶函数，证明见解析(2)函数图象见解析【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可；（2）根据函数解析式画出函数图象.【详解】（1）为偶函数，证明如下：因为，定义域为，当时，，则；当时，，则；又，综上可得对任意的，均有，所以为偶函数；（2）由可得的图象如下所示：6．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知是定义在上的函数，且，.(1)求函数的解析式；(2)判断函数的奇偶性，并用定义证明；(3)求函数在上的值域.【答案】(1)；(2)为奇函数，证明见解析；(3).【分析】（1）根据，求出的值即可求函数解析式；（2）根据奇偶性的定义证明即可；（3）证明函数在上的单调性，从而可求解.【详解】（1）因为，，所以，得，所以.（2）的定义域为，关于原点对称，又,所以为奇函数.（3）设，则.因为，所以，所以，即，所以在上单调递增.又，所以函数在上的值域为.7．（24-25高一上·河南漯河·期中）已知函数，其中，，.(1)当时，证明：函数在区间上是减函数.(2)讨论函数的奇偶性，并说明理由.(3)当时，若实数满足，求实数的范围.【答案】(1)证明见解析(2)时，为偶函数，且时，为非奇非偶函数,理由见解析(3)或【分析】（1）由函数单调性的定义证明即可.（2）由函数奇偶性定义进行判断即可.（3）应用函数的偶函数的性质再结合函数的单调性得出不等关系，计算即可求出参数范围.【详解】（1）由题，设任意，则，因为，所以，且，则，所以，即，所以函数在区间上是减函数.（2）因为，定义域为R，则，若为偶函数，则，；若为奇函数，则，所以因为为变量，所以无解；所以时，为偶函数，且时，为非奇非偶函数.（3）因为当时，，为偶函数，所以，所以，又因为函数在区间上是减函数，所以函数在区间上是增函数，所以，所以或，所以或题型二用定义法证明抽象函数的奇偶性（共6小题）8．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且.(1)求的值；(2)判断的奇偶性，并证明.【答案】(1)(2)为偶函数，证明见解析【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解；（2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断.【详解】（1）令，得，令，得，因为，所以，，令，得，即，因为，所以，所以.（2）为偶函数.证明如下：令，得，由（1）得，即，又的定义域为，所以为偶函数.9．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意，都有，且当时，，且．(1)求与的值；(2)判断的奇偶性；(3)判断的单调性，并证明.【答案】(1)，(2)奇函数(3)是上的减函数，证明见解析【分析】（1）通过赋值即可求解；（2）令，结合可判断；（3）令，由可判断，即可判断其单调性.【详解】（1）令，则，即，，；（2）令，则，即，可得为奇函数；（3）是上的减函数.证明：令，则，则，由时，，可得，即有，即，即，则是上的减函数.10．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有(1)求证：是奇函数；(2)设，且当时，，求不等式的解集．【答案】(1)证明见解析；(2)或【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可；（2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可.【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称，又对任意，都有，令，得，令，得，令，得，是奇函数.（2），，，设，则，所以，在上是减函数，因为的定义域为，又，所以是偶函数，因为，，则，解得，不等式的解集为或.11．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且时,,时,.(1)求的值并判断函数的奇偶性；(2)讨论的单调性并证明；(3)若对任意的成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，奇函数(2)增函数，证明见解析(3)【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得；（2）先证明时,，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数；（3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的成立问题，结合一次函数的图象即可求得.【详解】（1）因对任意的都有.当时,令,则，因，则；再令,则，即，因，则.令,则,故是奇函数.（2）在上是增函数.以下提供证明:当时,则，由，可得，又，且时,，故时,.又因是定义在上的奇函数,所以.任取,则,从而在上单调递增,又因是上的奇函数,则在上单调递增,且，故在上是增函数;（3）在中，令，可得，因，则，由可得，即因在上是增函数，即得对任意的成立，设，则解得或即实数的取值范围为.12．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，．(1)求和的值；(2)判断函数的奇偶性；(3)解关于的不等式【答案】(1)，(2)奇函数(3)【分析】（1）通过赋值法来确定函数的特殊值；（2）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性；（3）运用函数奇偶性，结合函数的单调性求解不等式即可.【详解】（1）令，得，解得．，；（2）因为函数的定义域为R，，令，则有，，即，∴函数为奇函数；（3）因为，所以，又因为，即由，则，即，又因为为增函数，所以，解得，故x的取值范围为．13．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得.(1)求证：为奇函数；(2)求证：在R上单调递增；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用赋值法先计算，再利用赋值法令，结合奇函数的定义计算即可；（2）先令得出，结合为奇函数及单调性的定义通过赋值计算即可证明.【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，不妨令，得，解得或，又不存在，使得，故，令，得，故，即，因此为奇函数；（2）时，，则，当且仅当，等号成立，又不存在，使得，则，于是时，，又为奇函数，则时，，于是对，任取，则，而，又，则，于是，故，因此在上单调递增；【点睛】思路点睛：先赋值及结合奇函数定义可证明奇偶性；通过判定，再根据单调性的定义作差证明即可.题型三已知函数或判断函数的奇偶性求值（共5小题）14．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数，若，则（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【分析】根据奇函数的性质即可求解.【详解】，则为奇函数，即，故选:C.15．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则的值为（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】由即可求解.【详解】依题意，函数是定义域为的奇函数，所以.故选：D16．（24-25高一上·北京·期中）设函数，是奇函数，则的值是（

）A． B． C． D．8【答案】A【分析】由是奇函数，得，代入即可求.【详解】因为是奇函数，所以，所以.故选：A17．（24-25高一上·广东广州·期中）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则．【答案】【分析】根据奇函数的性质求得答案.【详解】依题意，若函数是定义在R上的奇函数，所以.故答案为：.18．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数，若，则.【答案】【分析】利用函数的奇偶性计算即可.【详解】易知，即为奇函数，所以.故答案为：.题型四最大值+最小值及f(a)+f(-a)（共5小题）19．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】构造函数，由奇偶性定义可知为奇函数，知，由此可求得结果.【详解】，设，定义域为，则，所以函数为奇函数，所以，则，即.故选：C.20．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，其中，为奇函数，若，则．【答案】【分析】根据奇偶性可得到结果.【详解】因为为奇函数，则，所以则，即，，故答案为：.21．（24-25高一上·福建三明·期中）已知函数且，则的值为．【答案】【分析】构造函数，根据的奇偶性计算出的值.【详解】令，定义域为且关于原点对称，因为，所以为奇函数，所以，所以，代入，可得，故答案为：.22．（24-25高一上·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则．【答案】4【分析】构造函数，根据奇偶性定义可知为奇函数，从而代入运算即可.【详解】是定义在上的奇函数，则有，，设，函数定义域为，，为奇函数，则有，即，所以.故答案为：4.23．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则=【答案】4048【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案.【详解】由题意得，令，（）则，即为奇函数，则，又函数，（）的最大值为，最小值为，得，则，故答案为：4048.题型五由奇偶性求函数解析式（共3小题）24．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时，．【答案】【分析】根据偶函数的性质求解即可.【详解】若，则，当时，，所以，又因函数是偶函数，所以所以当时，，故答案为：25．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，为偶函数，，则．【答案】【分析】根据题意，由函数解析式和奇偶性可得，，从而由可得，综合可得的解析式．【详解】函数为奇函数，则，为偶函数，则，因为①，则，所以②，则由①-②可得.故答案为：．26．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，.【答案】【分析】根据题意结合奇函数定义求解即可.【详解】若，则，可得，又因为函数是定义在R上的奇函数，所以.故答案为：.题型六由奇偶性求参数（共5小题）27．（24-25高一上·湖南·期中）若为奇函数，则实数（

）A．1 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】先由奇函数的性质得到，从而求得的值，再进行检验即可得解.【详解】因为为奇函数，所以，即，解得，此时，其定义域为，且，即为奇函数，所以满足题意.故选：B.28．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案．【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以，显然，，所以．故选：B．29．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】的对称中心为，根据为奇函数得到关于对称即可得解；【详解】，因为，所以的对称中心为，由题意得函数为奇函数关于对称，则关于对称，解得，故选：A.30．（24-25高一上·四川巴中·期中）函数为奇函数，则的值为．【答案】【分析】根据奇函数定义，由恒成立求解即可.【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，因为为奇函数，所以对任意，都有.则，所以.故答案为：.31．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则.【答案】2【分析】根据奇函数性质得到，代入化简得到答案.【详解】若函数为奇函数，则，解得：.故答案为：.32．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知函数为奇函数，则等于．【答案】【分析】根据奇函数求出时的解析式，对照所给解析式得出a，b即可得解．【详解】设，则，所以，所以，又当时，，所以，，故，故答案为：．题型七由函数奇偶性解不等式（共5小题）33．（24-25高一上·吉林延边·期末）定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意得到，的值与的单调性，再分类讨论，，，与五种情况，结合的性质即可得解.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，所以，，在上单调递增，当时，成立；当时，成立；当，即时，，即有，可得；当时，，，可得，可得；当时，，，可得，可得；综上，或，即的取值范围是.故选：B.【点睛】易错点睛：本题容易忽略的情况，从而出现漏解的情况.34．（24-25高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，可得是奇函数，且在上是增函数，由，可得，即，利用单调性解不等式即可.【详解】设函数，则，所以，显然定义域关于原点对称，所以是奇函数.因为是上的增函数，是上的减函数，所以是上的增函数.等价于，即.因为是奇函数，所以.因为是上的增函数，所以，即，解得或.故选：.35．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数奇偶性，结合题设，判断函数的单调性，继而分类讨论求解不等式，可得答案.【详解】不妨令，则，因为，所以，即，所以在上单调递增，又为定义在上的奇函数，则，则在上单调递增，又，所以，①当时，不等式等价于，等价于，等价于，等价于，解得，②当时，不等式等价于，等价于，等价于，等价于，解得，综上可得，不等式的解集为.故选：C36．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知奇函数满足，且在上单调递减，则的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的奇函数性质得到，又，在上单调递减，推出，在上单调递减，故和时，满足要求，得到答案.【详解】为奇函数，故，，又，在上单调递减，故当时，，此时，不合要求，当时，，此时，满足要求，由对称性可知，在上单调递减，故当时，，此时，满足要求，当时，，此时，不合要求，综上，的解集为.故选：B.37．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】已知不等式转化后得出函数在上是增函数，不等式转化为，然后由偶函数与单调性求解即可．【详解】不妨设，所以，则，所以，令，则，所以在上单调递增，又是偶函数，所以，即也是偶函数，则其在上单调递减，因为，所以，则，所以，解之得．故选：D题型八函数的对称性及应用（共8小题）38．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（

）A．4047 B．4048 C．4049 D．4050【答案】C【分析】由已知，得，则，即可求得结果.【详解】因为函数，所以，所以，所以.故选：C.39．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，函数是定义在上的奇函数，若与的图象的交点分别为，…，，则（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【分析】根据给定的函数，求出函数与图象的对称中心，再利用对称性求出值.【详解】函数定义域为，而，则函数的图象关于点对称，由函数是定义在上的奇函数，得，即，则函数的图象关于点对称，因此函数与的图象的交点关于点对称，则，所以.故选：A40．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】由奇函数的性质结合题意计算可得；【详解】设，则为奇函数，可得，由奇函数的定义域关于原点对称可得即，,由可得，即，所以，故选：A.41．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为则（

）A．2 B．1 C． D．0【答案】C【分析】根据得中心对称以及中心对称点，进而分析得也关于对称，从而得到两函数图象交点也是对称的，由此得解.【详解】由得关于对称，由得，即，所以也关于对称，因此两函数图象交点也是对