河北省邢台市英华中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含答案）

第第页河北省邢台市英华中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知∠α为锐角，且sinα=12A．30° B．45° C．60° D．90°2．已知线段a,b，如果a:b=2:5，那么下列各式一定正确的是（）A．2b=5a B．a+b=7 C．a+ba=73．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=36°，则∠ADC的度数为（）A．36° B．45° C．54° D．60°4．若x=3是关于x的一元二次方程x2A．−2 B．2 C．−5 D．55．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O，且OE:EA=4:3，则EF:AB=（）A．4:3 B．3:7 C．3:4 D．4:76．如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是（）A．∠A=∠D，∠B=∠E C．∠A=∠B，∠D=∠E 7．某招聘考试分笔试和面试，其中笔试按40%、面试按60A．85分 B．86分 C．87分 D．89.5分8．据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图，在小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为4cm，物距为12cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是A．36cm B．24cm C．18cm9．若点A−2,a，B−1,b，C1,cA．b<a<c B．c<b<a C．a<b<c D．c<a<b10．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，在坡度i=1:3的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为23mA．3m B．2m C．4m D．11．某养殖户为估计鱼塘中鱼的数量，先随机捕捞了20条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回，一周后，再从鱼塘中随机捕捞30条鱼，发现其中2条鱼有标记，从而估计该鱼塘中鱼的数量为（）A．300 B．400 C．500 D．60012．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割（黄金比为5−12≈0.618A．5.7cm B．8.5cm C．9.3cm D．9.5cm13．如图，点A，B，C，D在⊙O上，为⊙O的直径，且AB⊥CD，若AB=6，∠ACD=20°，则BD的长为（）A．π B．7π3 C．16π9 14．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A．12 B．8 C．6 D．415．如图，在反比例函数y=kxx>0的图像上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，A．2.5 B．3 C．4 D．无法确定16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．按照如下步骤作图：①分别以点A,B为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M,N；②连接直线MN，交AC于点D；③以点D为圆心，BC的长为半径作弧，交AC的延长线于点E；④连接BD，A．AD=BD B．BC．∠ABE=90° D．∠CBE=二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）17．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，若∠B=70°，则∠D=．18．如图，在△ACD中，∠C=90°，∠A=15°，点B在边AC上，且AB=BD=2，则BC=，tan∠CAD=19．图1是小文家的木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点O是AB所在圆的圆心，OA=OB=75cm，点A，点B（1）AB=cm．（2）木马在摇动的过程中，当半径OA垂直于水平面时，木马就有翻倒的风险，为安全起见，点B离水平面的高度应小于cm．三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．解方程：（1）x−22（2）x−1221．如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径CA=3，圆心角∠ACB=120°，（1）求AB的长．（2）求此圆锥高OC的长．22．如图，一次函数y=23x−1的图像与反比例函数y=（1）求k的值．（2）连接BO，求△AOB的面积．23．我国在人工智能技术研究领域处于世界领先地位，“中国制造”已向“中国智造”转型，图1是我国自行设计的一款智能手臂机器人，图2是该型号手臂机器人处于工作状态时的示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB，BC为机械臂，OA=20cm，AB=100cm，BC=40cm，∠CBA=∠BAO=150°（1）求∠BCD的度数．（2）求机械臂端点C到工作台的距离CD的长．（结果保留根号）24．为了解同学们对中国古代数学家的知晓情况，数学兴趣小组的同学们设计了10道选择题，每题1分，对部分同学进行随机调查，调查结束后将成绩和人数进行整理，绘制成了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题．（1）问本次调查了多少名学生？并补全条形统计图．（2）本次调查成绩的众数、中位数和平均数中，哪一个最大？（3）该校有1200名学生．若成绩不低于9分视为优秀，请估计有多少名学生达到优秀的标准？25．图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D为BC边上的动点（点D不与点B、C重合），以D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交边AC于点E．（1）当DE∥AB时，求（2）当BD=2时，求AE的长．（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某一时刻，使得CE=4？若存在，请求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．26．已知半圆O的直径AP=10，C是半圆O上的一个动点（不与点A、P重合），连接AC，以直线AC为对称轴翻折AO，将点O的对称点记为O1，射线AO1交半圆O于点B（1）如图1，求证：AB∥（2）如图2，当点B与点O1（3）过点C作射线AO1的垂线，垂足为E，连接OE交AC于点F，当O1

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】∵∠α为锐角，且sinα=∴∠α=30°．故答案为：A．

【分析】根据∠α为锐角，根据其正弦的值为122．【答案】A【解析】【解答】解：A、∵对于线段a,b，如果a:b=2:5，则有2b=5a，∴A正确，符合题意；B、∵已知条件无法确定线段a,b的具体长度，故a+b=7，∴B错误，不符合题意；C、∵若a:b=2:5，则有a+ba=7D、∵若a:b=2:5，则有b−ab=3故答案为：A．【分析】利用等式的性质及比例的性质逐项分析判断即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=36°，∴∠ABC=90°−∠BAC=54°，又∵AC=∴∠ADC=∠ABC=54°．故答案为：C．

【分析】利用圆周角的性质及三角形的内角和求出∠ABC=90°−∠BAC=54°，再利用圆周角的性质可得∠ADC=∠ABC=54°.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵x=3是关于x的一元二次方程x2∴32∴•=5，故答案为：D．

【分析】将x=3代入x2−•x+6=0可得325．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O，∴OEOA∵OE:EA=4:3，∴OE:OA=4:7，∴EF:AB=4:7，故答案为：D．

【分析】利用位似图形的性质可得OEOA=EFAB，再结合6．【答案】A【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF，B、∵相等的角不是对应边的夹角，∴B不符合题意．C、∵相等的角不是对应角，∴C不符合题意．D、∵相等的角不是对应角，∴D不符合题意．

故答案为：A.【分析】利用相似三角形的判定方法逐项分析判断即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：90×40%∴小华的总成绩为87分；故答案为：C．

【分析】利用加权平均数的计算方法列出算式求解即可.8．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示，

由题意可知AB=4cm，OE=12cm，CD=8cm∵AB∥∴∠BAO=∠CDO，∠ABO=∠DCO，∴△BAO∽△CDO，∴OFOE=CD解得OF=24cm即像距是24cm故答案为：B．【分析】先证出△BAO∽△CDO，再利用相似三角形的性质可得OFOE=CD9．【答案】D【解析】【解答】解：∵k<0，∴y=k∵−2<−1<0<1，∴c<a<b；故选：D【分析】根据反比例函数性质即可求出答案.10．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得：BCAC即BC=1由勾股定理得：AB=A故答案为：C．

【分析】利用坡度的定义：铅直距离与水平距离的比可得BCAC11．【答案】A【解析】【解答】解：∵池塘中有记号的鱼所占的比为：220∴池塘中共有鱼30÷1故答案为：A．【分析】利用“用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例”列出算式求出池塘中的鱼的数量即可.12．【答案】C【解析】【解答】解：∵B为AC的黄金分割点，AB>BC，AC=15cm∴ABAC∴AB=0.618×AC≈9.3(cm故答案为：C．

【分析】利用黄金分割的定义可得ABAC13．【答案】B【解析】【解答】如图所示，连接OD，

∵OB=OD，∴∠B=∠BDO=∠ACD=20°，∵∠B+∠BDO+∠BOD=180°，∴∠BOD=140°，∵AB=6，∴OB=OD=3，∴BD的长为140×π×3180故选：B．【分析】先利用角的运算求出∠BOD=140°，再结合OB=OD=3利用弧长公式列出算式求解即可.14．【答案】C【解析】【解答】解：依题意A，B；A，C；A，D；B，C；B，D；C，D加上点P可以画出一个圆，∴共有6个，故答案为：C．

【分析】利用“不共线三点确定一个圆”的方法分析求解即可.15．【答案】C【解析】【解答】解：∵点P1，P2，P3，P∴P11,k，P22,k∴S1=k−k2∵S1∴k2解得：k=4，故答案为：C．

【分析】先求出P11,k，P22,k2，P33,k3，P416．【答案】D【解析】【解答】解：由题意知，MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，故选项A正确，不符合题意；∵∠A=36°，AC=AB，∴∠ABC=∠ACB=1∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=36°，∴∠BDC=∠ABD+∠A=72°，∴△BCD∽△ACB，∴BCAC=CD故选项B正确，不符合题意；∵∠BDC=∠ACB=72°，∴BD=BC=DE，∴∠DBE=∠DEB=1∴∠ABE=∠ABD+∠DBE=36°+54°=90°，故选项C正确，不符合题意；∵∠ABE=90°，∠ABC=72°，∴∠CBE=∠ABE−∠ABC=18°，∵∠DEB=54°，∴∠CBE=1故答案为：D．【分析】利用垂直平分线的性质，相似三角形的判定方法和性质及角的运算方法逐项分析判定即可.17．【答案】110°【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∠B=70°，∴∠D=180°−∠B=180°−70°=110°，故答案为：110°【分析】利用圆内接四边形的对角互补的性质列出算式求解即可.18．【答案】3；2−【解析】【解答】解：∵AB=BD=2，∴∠A=∠ADB=15°，∴∠DBC=∠A+∠ADB=30°，∵∠C=90°，∴CD=1在Rt△DBC中，由勾股定理得：BC=∴AC=AB+BC=2+3∴tan∠CAD=故答案为：3，2−3【分析】先利用角的运算求出∠DBC=∠A+∠ADB=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得CD=12BD=119．【答案】90；54【解析】【解答】解：（1）如下图，连接AB，过圆心O作OD⊥AB交AB于点D，延长OD交AB于点C，

∵点A、B离水平面的高度均为15cm，∴CD=15cm∵OC=OA=OB=75cm∴OD=OC−CD=60cm在Rt△ADO中，AD=∴AB=2AD=90cm（2）如下图，当半径OA垂直于水平面时，过点B作BE⊥OA于点E，过点O作OD⊥AB于点D，∴∠AEB=∠ADO=90°，∵∠BAE=∠OAD，∴△ADO∽△AEB，∴ADAE由（1）知AD=45cm，AB=90cm，∴AE=AB⋅AD∴点B离水平面的高度应小于54cm．【分析】（1）连接AB，过圆心O作OD⊥AB交AB于点D，延长OD交AB于点C，先利用线段的和差求出OD的长，再利用勾股定理求出AD的长，最后求出AB的长即可；

（2）当半径OA垂直于水平面时，过点B作BE⊥OA于点E，过点O作OD⊥AB于点D，先证出△ADO∽△AEB，利用相似三角形的性质可得ADAE20．【答案】（1）解：x−22−9=0，

整理得x−22=9，

∴x−2=3或x−2=−3，

∴x（2）解：x−12=2xx−1，

整理得x−12−2xx−1=0，

∴x−1−x−1【解析】【分析】（1）利用直接开方法的计算方法分析求解即可；

（2）利用因式分解法的计算方法分析求解即可.（1）x−22−9=0，整理得∴x−2=3或x−2=−3，∴x1=5，（2）x−12=2xx−1∴x−1−x−1∴x1=1，21．【答案】（1）解：AB的长=120π×3180（2）解：设OA的长为r，则2πr=2π，解得r=1．在Rt△AOC中，∠AOC由勾股定理得OC=A【解析】【分析】（1）利用弧长公式列出算式求解即可；

（2）先求出圆锥底面圆的半径，再利用勾股定理求出OC的长即可.（1）解：AB的长=120π×3（2）设OA的长为r，则2πr=2π，解得r=1．在Rt△AOC中，∠AOC由勾股定理得OC=A22．【答案】（1）解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E．

设AE=m，在Rt△AOE中，tan∠AOE=13，

∴OE=3m，

∴点A的坐标为3m,m，代入一次函数y=23x−1中

得m=23×3m−1，解得m=1．

∴A3,1．

（2）解：过点B作BF⊥x轴于点F，

联立方程组y=23x−1y=3x，

解得：x1=−32y1=−2，x2=3y2=1，

∴点B的坐标为−32,−2，

∴BF=2．

【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，设AE=m，求出点A的坐标为3m,m，再将点A的坐标代入y=23x−1求出m的值，再将点A的坐标代入y=kx（1）解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E．设AE=m，在Rt△AOE中，tan∴OE=3m，∴点A的坐标为3m,m，代入一次函数y=2得m=23×3m−1∴A3,1∵A3,1在反比例函数y=∴k=3．（2）过点B作BF⊥x轴于点F，联立方程组y=2解得：x1=−3∴点B的坐标为−3∴BF=2．在y=23x−1中，当y=0故点C坐标为32∴OC=3S△AOB23．【答案】（1）解：如图、分别延长CB，OA交于点P．

∵∠CBA=∠BAO=150°，

∴∠BAP=∠ABP=30°，

∴∠APB=180°−∠BAP−∠ABP=120°，

∵CD⊥DO，AO⊥DO，

∴CD∥OP，

∴∠APB+∠BCD=180°，

∴∠BCD=60°．（2）解：如图，过点B作直线EF∥OD，分别交直线CD，OP于点E，F，

∴∠BEC=∠AFB=90°，

∴四边形DOFE为矩形，

∴DE=OF，

∵OA=20cm，AB=100cm，BC=40cm，∠BCD=60°，∠BAP=30°，

∴CE=BC⋅cos∠BCE=40×12=20cm，

AF=AB⋅cos∠BAF=100×32=503cm，【解析】【分析】（1）分别延长CB，OA交于点P，先利用角的运算求出∠APB=180°−∠BAP−∠ABP=120°，再结合平行线的性质可得∠APB+∠BCD=180°，最后求出∠BCD=60°即可；（2）过点B作直线EF∥OD，分别交直线CD，OP于点E，F，先利用解直角三角形的方法求出CE和AF的长，最后利用线段的和差求出CD的长即可.（1）解：如图、分别延长CB，OA交于点P．∵∠CBA=∠BAO=150°，∴∠BAP=∠ABP=30°，∴∠APB=180°−∠BAP−∠ABP=120°，∵CD⊥DO，AO⊥DO，∴CD∥∴∠APB+∠BCD=180°，∴∠BCD=60°．（2）解：如图，过点B作直线EF∥OD，分别交直线CD，OP于点E，F，∴∠BEC=∠AFB=90°，∴四边形DOFE为矩形，∴DE=OF，∵OA=20cm，AB=100cm，BC=40cm，∠BCD=60°∴CE=BC⋅cosAF=AB⋅cos∴DE=OF=OA+AF=20+50∴CD=CE+DE=20+20+503答：机械臂端点C到工作台的距离CD的长为40+50324．【答案】（1）解：本次调查的学生有25÷25%=100（名），成绩为“8分”的学生有100−25−30−5=40（名），

补全条形统计图如下：（2）解：根据条形图可知，本次调查成绩的众数为8分，中位数为8分，平均数为1100×7×30+8×40+9×25+10×5=8.05（分）（3）解：1200×25+5答：估计有360名学生达到优秀的标准．【解析】【分析】（1）先利用“9分”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“8分”的人数并作出条形统计图即可；

（2）先利用众数、中位数和平均数的定义及计算方法分析求解即可；

（3）先求出“优秀”的百分比，再乘以1200可得答案.（1）本次调查的学生有25÷25%成绩为“8分”的学生有100−25−30−5=40（名），补全条形统计图如下：（2）由条形图可知，本次调查成绩的众数为8分，中位数为8分，平均数为1100∴本次调查成绩的平均数最大；（3）1200×25+5答：估计有360名学生达到优秀的标准．25．【答案】（1）解：∵DE∥AB，

∴∠BAD=∠ADE，

又∵∠ADE=∠B，

∴∠B=∠BAD，

∵AB=AC=5，

∴∠B=∠C，

∴∠B=∠BAD=∠C，

∴△DAB∽△ACB，

∴BDAB=ABCB，

∴BD（2）解：∵AB=AC=5，

∴∠B=∠C，

∵∠ADE=∠B，∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠DAB，

∴∠DAB=∠EDC，

∴△DAB∽△EDC，

∴DBEC=ABDC，

∵DC=BC−BD=8−2=6，

∴2EC=56，

（3）解：不存在，理由如下：由（2）可得，△DAB∽△EDC，

∴DBEC=ABDC，

当CE=4时，设DB=x，

则x4=58−x，

∴x8−x=20，

整理得，x2−8x+20=0【解析】【分析】（1）先证出△DAB∽△ACB，利用相似三角形的性质可得BDAB=ABCB，再将数据代入求出BD的长即可；

（2）先证出△DAB∽△EDC，可得DBEC=ABDC，再求出EC的长，最后利用线段的和差求出AE的长即可；（1）解：∵DE∥∴∠BAD=∠ADE，又∵∠ADE=∠B，∴∠B=∠BAD，∵AB=AC=5，∴∠B=∠C，∴∠B=∠BAD=∠C，∴△DAB∽△ACB，∴BDAB∴BD5∴BD=25（2）解：∵AB=AC=5，∴∠B=∠C，∵∠ADE=∠B，∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠DAB，∴∠DAB=∠EDC，∴△DAB∽△EDC，∴DBEC∵DC=BC−BD=8−2=6，∴2EC∴EC=12∴AE=AC−EC=5−12（3）解：不存在，理由如下：由（2）可得，△DAB∽△EDC，∴DBEC当CE=4时，设DB=x，则x4∴x8−x整理得，x2∵b2∴方程无解，即不存在某一时刻，使得CE=4．26．【答案】（1）证明：根据折叠的性质，可得∠O1AC=∠OAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠O1（2）解：连接OB，BC，设OB、AC交于点M，如下图，

∵点O、B关于AC对称，

∴BM=OM，OB⊥AC，

∴AM=CM，∠AMB=∠CMO=90°，

∴△AMB≌△CMO(SAS)，

∴AB=OC，

由∵OA=OC=OB，

∴OA=OB=AB，

∴△OAB为等边三角形，

∴∠OAB=60°，∠BAC=∠OAC=12∠OAB=30°，

∵AP=10，

∴OA=OP=5，

∴OM=12OA=2.5，

∴AM=OA2−OM2=52−2.52=532（3）解：当点O1在线段AB上时，如下图，过点O作OH⊥A