江西省南昌市西湖区立德朝阳中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

第第页江西省南昌市西湖区立德朝阳中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷一、单项选择题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置.错选、多选或未选均不得分。1．在如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球C．3个球中有黑球 D．3个球中有白球3．如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝82°，那么∠BOD的度数为（）A．160° B．162° C．164° D．170°4．小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为（）A．30° B．60° C．90° D．120°5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（）A．1 B．3 C．32 D．6．斐波那契数列指的是这样一列数：1，1，2，3，5，8，…（从第3个数起，每个数是前面两数的和）．如图，用以这些数为边长的正方形拼成长方形，在以这些数为边长的正方形中作出圆心角为90°的圆弧，则接下来一段圆弧对应的扇形面积是（）A．254π B．16π C．169二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．若点P（m，1）关于原点的对称点Q（﹣2，n），那么m+n＝．8．将含有30°角的直角三角板OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若AB=23，将三角板绕原点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A'的坐标为9．若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是6πcm，则此扇形的圆心角等于10．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°，得到Rt△AB'C'，点C'恰好落在边AB上，连接BB'，则∠BB'C'＝度．11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙I是△ABC的内切圆，则⊙O的半径与⊙I的半径的比值是．12．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AC＝2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连接AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP'，连接CP'，则CP'的取值范围是．三、解答题。（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（1）一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…，不断重复上述过程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球根据上述数据，估计口袋中的白球大约有多少个？（2）如图，P是正方形ABCD内一点，△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置．若BP＝3cm，求线段PE的长．14．HUAWEIMate60Pro于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长80mm，弓形高CD长14mm求半径OA的长．15．创新作图如图是由小正方形构成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A、B、C三个格点，连接AB，AC，BC，仅用无刻度直尺在给定网格中按要求画图．（不写作法）（1）在圆上找点D，使得∠BAD＝90°；（2）在劣弧BC上找点D，使得∠CBD＝45°．16．家庭成员尤其是父母对待日常生活和工作的态度和处事方法都会对孩子有潜移默化的影响，父母在教育孩子认识问题和解决问题方面对孩子采取怎样的指导、帮助、要求，都会形成孩子对待问题的方式．为此，某校举行了一次“智慧家长”系列讲座活动，活动过程中，甲、乙、丙、丁四位家长踊跃发言，积极互动．活动后校方准备从这四位家长中随机抽选一位作为家长代表做总结发言，并从剩下的三位家长中随机抽选一位做进一步访谈调查．（1）选择家长乙作为家长代表做总结发言的概率为；（2）请用列表法或画树状图的方法求家长甲作为家长代表做总结发言，且家长丁被抽选做进一步访谈调查的概率．17．如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重合，已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°．（1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）四、解答题。（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．某超市设计的“春节大酬宾”促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”“20元”“20元”和“40元”的字样，规定：在本超市同一日内，顾客每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．超市根据两个小球所标金额的和直接进行减价优惠，李叔叔刚好消费200元．（1）从箱子里任意摸出一个球，摸到球上标有“50元”字样的球是事件；摸到球上标有“0元”字样的球是事件；（均填“不可能”“必然”或“随机”）（2）求出李叔叔所获得的优惠金额大于50元的概率．（列表或画树状图求解）19．如图1，重庆特色的九宫格火锅分九格：四角格、十字格、中心格（中心格一般为正方形）．隔板的设计有以下两种：①横纵隔板两两垂直交于隔板的三等分点如图2所示；②横纵隔板两两垂直交于圆锅边缘（圆）八等分点如图3所示．已知圆锅直径为40cm．（1）求图2的中心格面S1；（2）求两种设计的中心格面积S1与S2差．20．在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当α=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．五、解答题。（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，23）、C（﹣4，0），且AB＝2．以BC为直径作⊙O1（1）求证：DE是⊙O1的切线；（2）若线段BC上存在一点P，使以点P为圆心，PC为半径的⊙P与y轴相切，求点P的坐标．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，点E为平面内一点，连接DE，将DE绕点D顺时针旋转90°，点E的对应点为F，连接EF，AE，CF．（1）如图1，当点E在边AC上时，请直接写出线段AE，CF之间的数量关系，位置关系；（2）如图2，当点E在△ABC内部时，判断（1）中结论是否依然成立，并说明理由；（3）AE＝5，DE＝3，若A，E，F三点共线，请直接写出线段BE的值．六、解答题。（本大题共12分）23．（1）【教材呈现】以下是人教版八年级下册数学教材第50页的部分内容．如图，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？（2）【基础巩固】如图1，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，求阴影面积与圆面积的比值；（3）【尝试应用】如图2，在半径为5的⊙O中，BD＝CD，∠ACO＝2∠BDO，AB＝4，求S△ABC；（4）【拓展提高】如图3，AB是⊙O的直径，点P是OB上一点，过点P作弦CD⊥AB于点P，点F是⊙O上的点，且满足CF＝CB，连接BF交CD于点E，若BF＝8EP，S△

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此项符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，此项不符题意；D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，此项不符题意；故答案为：B．【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形。在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项一一判断即可。2．【答案】B【解析】【解答】解：A：摸出3个球都是黑球是随机事件，不符合题意；B：摸出3个球都是白球是不可能事件，符合题意；C：摸出3个球中有黑球是必然事件，不符合题意；D：摸出3个球中有白球是随机事件，不符合题意；故答案为：B.

【分析】根据事件发生的大小进行逐一判断即可求解.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，

∴∠BCD+∠DCE=180°，∠BCD+∠A=180°，

∴∠DCE=∠A，

∵∠DCE＝82°，

∴∠A=82°

∴∠BOD=2∠A=164°，故答案为：C.【分析】根据圆内接四边形可得∠DCE=∠A，结合已知条件再根据圆周角定理得到∠BOD=2∠A，从而求解.4．【答案】B【解析】【解答】解：因为每次旋转相同角度α，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°，所以每次旋转相同角度α=360÷6=60故答案为：B

【分析】利用图形的旋转和旋转的性质即可得出答案。5．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接AA'，过点A作AD⊥A'C，垂足为点D，

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，

∴AC=3BC=3,∠B=60°,

∵△A'B'C是由△ABC绕点C顺时针旋转60°而得，

∴CA=CA',CB=CB',∠ACA'=∠BCB',

∵∠B=60°,

∴△CBB'是等边三角形，

∴∠BCB'=60°,

∴∠ACA'=60°,

∴△CAA'是等边三角形，

∵AD⊥A'C，

∴CD=12AC=32,

【分析】连接AA'，过点A作AD⊥A'C，垂足为点D，根据直角三角形的性质求得AC=3,∠B=60°,利用旋转的性质推出CA=CA',CB=CB',∠ACA'=∠BCB',从而证明△CBB'是等边三角形，6．【答案】C【解析】【解答】解：由图可得90故答案为：C.

【分析】根据规律，利用扇形面积公式代入数据计算即可求解.7．【答案】1【解析】【解答】∵点P（m，1）关于原点的对称点Q（﹣2，n），

∴m=2，n=-1，

∴m+n＝1，

【分析】根据关于原点对称的点的特点：横纵坐标皆互为相反数，进而求得m，n的值，从而求解.8．【答案】（3，﹣33）【解析】【解答】解：由题意，过A'作A'H⊥OB于点H，如图，

∴在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=23，

∴OB=43,OA=6,

∵将三角板绕原点O顺时针旋转90°，

∴OA'=OA=6,∠A'OB'=30°,

在Rt△OA'H中，∠OHA'=90°,∠A'OH=60°,

∴OH=OA'·故答案为：A'(3,-33

【分析】过A'作A'H⊥OB于点H，结合已知条件解直角三角形得到OH、A'H的值，即可求解，9．【答案】60°【解析】【解答】解：∵扇形的半径是18cm，且它的弧长是6πcm，且∴n=180lπr=故答案为：60°．

【分析】根据扇形的弧长公式列出方程6π=n10．【答案】22【解析】【解答】解：由旋转的性质可得AB=AB',∠BAB'=44°,在△ABB'中，∠ABB'=12(180°-∠BAB')=12×（180°-44°）=68°，

∵∠AC'B'=∠C=90°,

∴

【分析】根据旋转的性质可得AB=AB',∠BAB'=44°,利用等腰三角形的性质得到∠ABB'的度数，再根据直角三角形的两锐角互余即可求解.11．【答案】2+1【解析】【解答】解：连接BO，可得点I在BO上，如图，

可得BO为⊙O的半径，OI为⊙I的半径，

设⊙I与BC相切于点E，半径为r，

∵BC是⊙I的切线，

∴IE⊥BC，

∴△IBE是等腰直角三角形，

∴IE=OI=r，BI=2r，

∴BO=OI+BI=(2+1)r，

∴OB

【分析】连接BO，可得点I在BO上，可得BO为⊙O的半径，OI为⊙I的半径，设⊙I与BC相切于点E，半径为r，根据切线的性质以及等腰三角形的性质求得OB、OI的值，从而求解.12．【答案】22﹣1≤CP'≤22+1【解析】【解答】解：连接CP，BP'，如图，∵∠BAC=90°,旋转角为90°，

∴∠CAP+∠CAP'=∠BAP'+∠CAP'=90°,

∴∠CAP=∠BAP',

∵AP=AP',AB=AC,

∴△APC≅△AP'B(SAS),

∴PC=P'B=1,

在等腰Rt△ABC中，AC=2，

∴BC=22,

在△BCP'中，22-1≤CP'≤22+1，

故答案为：2

【分析】连接CP，BP'，根据同角的余角相等求得∠CAP=∠BAP',利用SAS证明△APC≅△AP'B,根据全等三角形的性质得到PC=P'B=1,再利用勾股定理求得BC=2213．【答案】（1）解：由题可得出摸到黑球的概率是：20100＝1因此摸到白球概率是1﹣15＝4设口袋中约有x个白球，由题可得x3+x＝4解得：x＝12，答：估计口袋中的白球大约有12个；（2）解：∵△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置，∴BP＝BE＝3cm，∠PBE＝∠ABC＝90°，∴PE＝32+3答：线段PE的长为32cm．【解析】【分析】（1）先利用概率公式求出摸到黑球的概率，进而得到摸到白球的概率，设口袋中约有x个白球，利用频率估算概率即可求解；

（2）根据旋转的性质得到BP＝BE＝3cm，∠PBE＝∠ABC＝90°，利用勾股定理即可求解.14．【答案】解：设半径OA的长为rmm，则OA＝OC＝OB＝rmm，∵弓形高CD＝14mm，∴OD＝（r﹣14）mm，∵OC⊥AB，AB＝80mm，∴AD＝12在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2﹣OD2＝AD2，即r2﹣（r﹣14）2＝402，解得：r＝4497答：半径OA的长为4497【解析】【分析】设半径OA的长为rmm，可得则OA＝OC＝OB＝rmm，用r表示出OD的值，利用垂径定理可得AD＝1215．【答案】（1）解：取AC上的格点K，连接BK并延长交圆于D，如图1，则D即为所求；理由：由图知，AB＝BC，K为AC中点，∴直线BK是AC的垂直平分线，∴BD是圆的直径，∴∠BAD＝90°；（2）解：取格点M，连接BM交圆于D，则D即为所求，如图2．【解析】【分析】（1）取AC上的格点K，连接BK并延长交圆于D，根据中点的性质得到直线BK是AC的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得BD是圆的直径，最后根据圆周角定理即可得出结论；

（2）根据网格特点，取格点M，连接BM交圆于D，从而得出结论.16．【答案】（1）1（2）解：根据题意画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中家长甲作为家长代表做总结发言，且家长丁被抽选做进一步访谈调查的情况只有1种，所以家长甲作为家长代表做总结发言，且家长丁被抽选做进一步访谈调查的概率为112【解析】【解答】解：（1）选择家长乙作为家长代表做总结发言的概率为14，

【分析】（1）直接利用概率公式代入数据进行计算即可求解；17．【答案】（1）解：根据题意得π•DE＝90⋅π∴DE＝12∴ED与母线AD长的比值为12（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，而AD＝2DE＝10cm，∴BC＝2AD＝20cm，∴S阴影部分＝S△ABC﹣S扇形EAF＝12×10×20﹣＝（100﹣25π）cm2．答：加工材料剩余部分的面积为（100﹣25π）cm2．【解析】【分析】（1）根据题意建立方程，可得DE＝12AD，即可求出答案.

（2）根据边之间的关系可得BC=20，再根据S阴影部分＝S△ABC﹣S扇形18．【答案】（1）不可能；随机（2）解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中李叔叔所获得的优惠金额大于50元的结果有4种，∴李叔叔所获得的优惠金额大于50元的概率为4【解析】【解答】解：（1）从箱子里任意摸出一个球，摸到球上标有“50元”字样的球是不可能事件；摸到球上标有“0元”字样的球是随机事件；

【分析】（1）根据不可能事件以及随机事件的概念求解即可；

（2）画出树状图，根据树状图得到共有12种等可能的结果，其中李叔叔所获得的优惠金额大于50元的结果有4种，利用概率公式代入数据计算即可求解.19．【答案】（1）解：如图2，过点O作OB⊥AP于点B，连接OA，由题意得：OA＝20cm，AH＝HI＝IP，由中心格是正方形可得：OB=设OB＝xcm，则AB＝3xcm，在Rt△ABO中，由勾股定理得：x2+9x2＝400，∴x2＝40，S1（2）解：如图3，过点C作CF⊥DG，垂足为F，连接CG、DE，由题意得：CD＝CE＝20cm，CF＝FG，∵横纵隔板两两垂直交于圆锅边缘八等分点，如图3所示，∴圆锅边缘每段弧的度数为45°，∴∠CDF∴．∠DCG＝∠CGF﹣∠CDF＝22.5°＝∠CDF，∴CG=DG=2FD=∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF2+FD2＝CD2，即CF2+∴C∴S2∴S2【解析】【分析】（1）过点O作OB⊥AP于点B，连接OA，则有OA＝20cm，AH＝HI＝IP，进而得到OB=HB=BI=12HI=20．【答案】（1）解：BE=DF．理由如下：∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，∴AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，在△ABE和△C1BF中∠ABE=∠C∴△ABE≌△C1BF，∴BE=BF（2）解：四边形BC1DA是菱形．理由如下：∵AB=BC=2，∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，∴∠A1=∠C1=30°，∵∠ABA1=∠CBC1=30°，∴∠ABA1=∠A1，∠CBC1=∠C，∴A1C1∥AB，AC∥BC1，∴四边形BC1DA是平行四边形．又∵AB=BC1，∴四边形BC1DA是菱形【解析】【分析】（1）由AB=BC得到∠A=∠C，再根据旋转的性质得AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，则可证明△ABE≌△C1BF，于是得到BE=BF（2）根据等腰三角形的性质得∠A=∠C=30°，利用旋转的性质得∠A1=∠C1=30°，∠ABA1=∠CBC1=30°，则利用平行线的判定方法得到A1C1∥AB，AC∥BC1，于是可判断四边形BC1DA是平行四边形，然后加上AB=BC1可判断四边形BC1DA是菱形．21．【答案】（1）证明：连接O1D，BD，如图，∵A（0，23∴OA＝23∵以BC为直径作⊙O1交OC于点D，∴∠BDC＝90°．∵AB∥OC，OC⊥OA，∴AB⊥OA，∴四边形ABDO为矩形，∴OD＝AB＝2，BD＝OA＝23∴CD＝OC﹣OD＝2，∴BC＝CD∴O1C＝O1D＝2，∴△O1CD为等边三角形，∴∠O1CD＝∠O1DC＝60°，∵∠EDO＝30°，∴∠O1DE＝180°﹣∠O1DC﹣∠EDO＝90°，∴O1D⊥DE，∵O1D为⊙O1的半径，∴DE是⊙O1的切线；（2）解：∵线段BC上存在一点P，使以点P为圆心，PC为半径的⊙P与y轴相切，∴点P到y轴的距离等于PC．过点P作PF⊥y轴于点F，PH⊥x轴于点H，如图，则PF＝PC．由（1）知：∠BCD＝60°，∴CH＝12PC，PH＝3∵PF⊥y轴，PH⊥x轴，OA⊥OC，∴四边形PHOF为矩形，∴OH＝PF＝PC，∴OC＝CH+OH＝12∴PC＝83∴PF＝OH＝83，PH＝32×∴点P的坐标为（﹣83，4【解析】【分析】（1）连接O1D，BD，利用点A、C的坐标得到OA、OC的值，根据矩形的性质与判定以及圆周角定理和勾股定理求得BC的长，证明△O1CD为等边三角形，通过角的和差求得∠O1DE＝90°，最后根据切线的判定定理即可求解；

（2）过点P作PF⊥y轴于点F，PH⊥x轴于点H，根据圆的切线定义得到点P到y轴的距离等于PC，利用直角三角形的边角定理和矩形的性质求得CH＝1222．【答案】（1）AE＝CF；AE⊥CF（2）解：如图2，AE＝CF仍然成立，理由如下：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD＝CD＝12∴∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADC﹣∠CDE＝∠EDF﹣∠CDE，∴∠ADE＝∠CDF，∵DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF（3）解：①点E在AF上，连接BE，∵∠BAC＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠CAF＝∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠BAE＝∠ACF，∵AB＝AC，AE＝CF，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴BE＝AF＝AE+EF＝5+32；②点F在AE上，类比①可得BE＝AF＝AE﹣EF＝5﹣32，∴综上所述，BE＝5+32或5﹣32．【解析】【解答】解：连接AD，如图，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，

∴AD=CD=12BC,AD⊥BC,

∴∠ADC=∠EDF=90°,

∴∠ADE=∠CDF,

∵DE=DF，

∴△ADE≅△CDF(SAS),

∴AE=CF；

∵DE⊥DF，

∴AE⊥CF；

【分析】（1）连接AD，利用SAS证明△ADE≅△CDF,推出AE=CF，再根据DE⊥DF以及翻折的性质即可求解；

（2）连接AD，利用SAS证明△ADE≌△CDF，根据三角形全等的性质即可求解；

（3）①点E在AF上，连接BE，利用SAS证明△ABE≌△CAF，根据三角形全等的性质并结合BE＝AF＝AE+EF，从而求解；②点F在AE上，类比23