（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练 拓展二：异面直线所成角直线与平面所成角二面角问题（精讲）（原卷版）

拓展二：异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角问题目录题型一：异面直线所成角题型二：直线与平面所成角角度1：定义法角度2：等体积法题型三：二面角角度1：定义法角度2：三垂线法角度3：垂面法角度4：射影面积法题型一：异面直线所成角知识点归纳平移使相交具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角典型例题例题1．在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则异面直线与直线所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．例题2．如图，在直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．例题3．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．同类题型演练1．在正方体中，E、F分别是、的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角为（

）A． B． C． D．3．已知长方体中，，点为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________.4．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是_____________.题型二：直线与平面所成角角度1：定义法知识点归纳直线与平面所成角定义：平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；具体操作方法：①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线；②连接斜足与垂足；③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角.典型例题例题1．已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．例题2．如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．例题3．在矩形ABCD中，，点为的中点（如图1），沿将△折起到处，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正切值为___________.例题4．如图，四边形中，，，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面⊥平面，则与平面所成的角的正弦值为___________.角度2：等体积法知识点归纳①如右图：利用等体积法求垂线段的长；②典型例题例题1．如图，在三棱台中，平面，，，，则与平面所成的角为（

）A． B． C． D．例题2．如图，在四面体中，，，为的中点，为上一点.(1)求证：平面平面；(2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.题型二同类题型演练1．在三棱锥A—BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，且，则直线AB与平面ACD所成的角为（

）A． B． C． D．2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知在阳马P-ABCD中，侧棱底面ABCD，且，则直线PD与平面PAC所成角的正弦值等于（

）A． B． C． D．3．已知正方体的棱长为1，点P在线段上，且，则AP与平面ABCD所成角的正切值为（

）A．1 B． C． D．4．在四棱锥中，⊥平面，，，．(1)证明：平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值．5．如图，是⊙O的直径，垂直于所在的平面，C是圆周上不同于的一动点.(1)证明：是直角三角形；(2)若，且当直线与平面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值.题型三：二面角角度1：定义法知识点归纳在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角.典型例题例题1．在正方体中，二面角的大小是___________.例题2．四棱锥中，底面是边长为的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的平面角为_____________．例题3．过正方形之顶点作平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的度数为________．角度2：三垂线法知识点归纳三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角：①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明）②第二垂：在平面中，过点作,垂足为③第三垂：连接（解答题需证明）典型例题例题1．如图，若平面，四边形为正方形，，则二面角的大小为______.例题2．已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．例题3．如图,在正四棱锥中,.(1)求侧棱与底面所成角的大小;(2)求二面角的大小的余弦值角度3：垂面法知识点归纳垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.例如：过二面角内一点作于，作于，面交棱于点，则就是二面角的平面角.典型例题例题1．已知P是二面角内一点，，垂足为，，垂足为，且．求二面角的大小．例题2．如果二面角的平面角是锐角，空间一点到平面、和棱的距离分别为、4和，则二面角的大小为_______________.角度4：射影面积法知识点归纳射影面积法（）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小.典型例题例题1．二面角的大小为，其内部有两个半径为1，一个半径为2的小球两两外切且与，均相切，则________.例2.正方体中，为棱的中点，求平面和平面所成的二面角的余弦值。题型三同类题型演练1．长方体中，，，则二面角为（

）A． B． C． D．2．在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，，则平面PAB与平面ABCD的夹角为___________3．若一个正四棱锥的高和底面边长都为a，则它的侧面与底面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，则二面角的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．75°5．在长方体