（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练 拓展一：空间几何体的外接球与内切球问题（精讲）（原卷版）

拓展一：空间几何体的外接球与内切球问题目录题型一：空间几何体的内切球问题角度1：内切球等体积法角度2:内切球独立截面法题型二：空间几何体的外接球问题角度1：外接球公式法角度2：外接球补型法角度3：外接球单面定球心法角度4：外接球双面定球心法题型一：空间几何体的内切球问题角度1：内切球等体积法知识点归纳球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：即：，可求出.典型例题例题1．在正四棱锥中，，则该四棱锥内切球的表面积是（

）A． B． C． D．例题2．正四棱锥的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为______．例题3．在三棱锥中，垂直底面，，，若三棱锥的内切球半径为，则此三棱锥的侧面积为___________.角度2:内切球独立截面法知识点归纳如图，在三棱锥中，是其内切球球心，求其内切球的半径1、在例题图形中，画出过经过球心和切点的大圆的截面图，如图中2、在独立截面中，找到和球半径相关的直角三角形，如图中和3、利用相似性求出内切球半径.典型例题例题1．轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，已知一等边圆锥的母线长为，则该圆锥的内切球体积为（

）A． B． C． D．例题2．已知圆锥的底面圆半径为，圆锥内部放有半径为1的球，球与圆锥的侧面和底面都相切，若，则圆锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．题型一同类题型演练1．已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（

）A． B． C． D．2．在底面是正方形的四棱锥中，底面ABCD，且，则四棱锥内切球的表面积为（

）A． B． C． D．3．一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（

）A． B． C． D．4．如图，在四棱锥中，是正方形的中心，底面，，，则四棱锥内切球的体积为（

）A． B． C． D．5．已知三棱锥中,平面,则该三棱锥的表面积与内切球的半径分别为__________,__________.6．在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为___________；则三棱锥的内切球的半径为___________.题型二：空间几何体的外接球问题角度1：外接球公式法典型例题正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点例题1．一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为，则球的表面积是（

）A． B． C． D．例题2．长方体的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为______.例题3．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（

）A． B．4 C． D．.角度2：外接球补型法①墙角模型（三条线两个垂直，补为长方体模型）题设：三条棱两两垂直②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）典型例题例题1．已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．例题2．在三棱锥A-BCD中，，，二面角是钝角.若三棱锥的体积为2，则的外接球的表面积是（

）A． B． C． D．例题3．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为（

）A． B．C． D．例题4．在四面体中，，，则这个四面体的体积为____________.角度3：外接球单面定球心法知识点归纳单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.典型例题例题1．已知在四面体中，，则该四面体外接球的表面积为__________.例题2．在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是___________.例题3．已知球是正三棱锥的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是___________.角度4：外接球双面定球心法知识点归纳如图：在三棱锥中：①选定底面，定外接圆圆心②选定面，定外接圆圆心③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.典型例题例题1．如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．例题2．三棱锥中，二面角为，和均为边长为2的正三角形，则三棱锥外接球的半径为______．例题3．已知菱形的各边长为，如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，若则三棱锥的体积为___________，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为___________.题型二同类题型演练1．已知某正方体外接球的表面积为，则该正方体的棱长为______．2．已知正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______．3．在四棱锥中，面，底面是正方形，，则此四棱锥的外接球的半径为_______________．4．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是___________.5．在中，，将绕旋转至的位置，使得，如图所示，则三棱锥外接球的表面积为___________.6．在三棱锥中，已知，，两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为___________.7．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，满足平面BCD，且，，，则此鳖臑外接球的体积为______．8．已知在三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．9．在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（

）A．60π B．45π C．30π D．20π10．已知四棱锥中，平面平面ABCD，其中为正方形，是边长为2的等边三角形，则四棱锥外接球的表面积为（

）A．4 B． C． D．11．已知三棱锥中，平面平面，且，，若，则三棱锥外接球的表面积为（