（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练6.3.2-6.3.4平面向量的坐标表示 精讲（解析版）

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:平面向量的正交分解及坐标表示题型2:平面向量的坐标运算题型3:由向量线性运算解决最值和范围问题题型4:利用坐标求模题型5:平面向量共线的判定与应用题型6:利用向量坐标解决平面几何问题三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：平面向量的正交分解（1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.（2）在不共线的两个向量中,垂直是一种特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,会给问题的研究带来方便.知识点2：平面向量的坐标表示（1）向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，注意：①对于，有且仅有一对实数与之对应②两向量相等时，坐标一样③，，④从原点引出的向量的坐标就是点的坐标（2）点的坐标与向量的坐标的关系区别：①表示形式不同向量中间用等号连接，而点中间没有等号②意义不同点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量.联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.知识点3：平面向量的坐标表示（1）两个向量和（差）的坐标表示两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.坐标表示：，则：；（2）任一向量的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标，，则.（3）向量数乘的坐标表示实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.坐标表示:,则.知识点4：平面向量共线的坐标表示设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得；用坐标表示,可写为,即：消去得到：.这就是说,向量()共线的充要条件是.二、重点题型分类研究题型1:平面向量的正交分解及坐标表示典型例题例题1．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意建立如图所示的直角坐标系，因为，，则，，.设，则，，因为，所以，解得，由，得，所以解得，所以.故选：C.例题2．在平面直角坐标系中，向量、、的方向如图所示，且、、，分别计算出它们的坐标．【答案】，，．【详解】解：设、、，则，，所以；，，所以；，，所以.例题3．在平面直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，则______，______.【答案】

；

【详解】设点，，∵，且，∴，.∵，，∴，.故，.故答案为：；同类题型演练1．在直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，分别计算出它们的坐标.【答案】＝(，)，＝(－，)，＝(2，－2)【详解】设，则，，，，因此＝(，)，＝(－，)，＝(2，－2).2．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且．（1）求；（2）若（，），求的值.【答案】（1）14；（2）.【详解】解：如图，分别以边，所在的直线为轴，轴，点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，，.（1）∵，，∴.（2）∵，，，由，得，∴解得∴.3．如图，已知边长为1的正方形中，与x轴正半轴成30°角，求点B，D的坐标和，的坐标．【答案】；；；【详解】解：由题知，分别是，角的终边与单位圆的交点．设，．由三角函数的定义，得，，∴．，，∴．∴，．题型2:平面向量的坐标运算典型例题例题1．设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题可知：，即.故选：D.例题2．已知向量，满足，，，则（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【详解】设，，所以，且，解得，，即，.所以，则，解得，故.故选：B例题3．某公园有三个警卫室､､，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿从警卫室出发前往警卫室，同时保安乙沿从警卫室出发前往警卫室，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.(1)保安甲从出发1.5小时后达点，若，求实数､的值；(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？【答案】(1)(2)两人约有小时不能通话【详解】（1）因为，所以，因此建立如图所示的平面直角坐标系，，设保安甲从C出发小时后达点D，所以有，设，由，即，当时，，由；（2）设保安乙从B出发小时后达点E，所以点E的坐标为，于是有，因为对讲机在公园内的最大通话距离超过2千米，两人不能通话，所以有，所以解之：或，又所以两人约有小时不能通话.同类题型演练1．在平行四边形中，为一条对角线.若，，则（

）A．

B．

C．

D．【答案】C【详解】在平行四边形中，，，所以，所以.故选：C2．已知在中，，，设是的内心，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：设的内切圆的半径为，则，解得故，则因为，所以，即，解得，故.故选：C3．已知在中，，，，为中点，则的坐标为__．【答案】【详解】，，，，.因为为中点，所以故答案为：．4．已知向量，，为坐标原点．若向量，，求向量的坐标．【答案】【详解】，又，，.题型3:由向量线性运算解决最值和范围问题典型例题例题1．在等腰直角中，为斜边的中点，点为内一点（含边界），若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，以为原点，，的方向为轴，轴的正方向建立直角坐标系，则.要使点为内一点（含边界），直线，，所以，即.故选：D.例题2．在矩形中，，，动点在以点为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（

）A．3 B． C． D．2【答案】C【详解】构建如下直角坐标系：，令，，由可得：，则且，所以当时，的最大值为.故选：C例题3．在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围．【答案】【详解】设，则因为，所以即，解得，所以因为，所以即同类题型演练1．已知正方形的边长为2，动点满足，且，则的最大值为A． B． C． D．【答案】B【详解】以为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设，由得，，即动点在以为圆心，半径的圆以及圆内部运动，又，则，令，将，即当作直线，所以当直线与以为圆心，半径的圆以及圆内部相切时，有最值，此时，圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值为.故选：B.2．如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.【答案】6【详解】如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），因为，所以，所以，所以，所以，所以当，即时，的最小值为6.故答案为：6题型4:利用坐标求模典型例题例题1．已知向量的，，那么（

）A． B．2 C． D．【答案】C【详解】解：，．故选：C．例题2．在中，，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图建立平面直角坐标系，设，∴，，∴，∴，∴时，的最小值为：.故选：D.例题3．如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为__________.【答案】6【详解】如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），因为，所以，所以，所以，所以，所以当，即时，的最小值为6.故答案为：6例题4．（2022秋·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校考期中）在中，，，，为线段上一点，则的最小值为___________．【答案】【详解】以为坐标原点，，，所在直线为，轴建立直角坐标系，可得，，，则直线的方程为，设，则，，则，，所以由，所以当时，有最小值3所以的最小值为，故答案为：同类题型演练1．已知向量的，，那么（

）A． B．2 C． D．【答案】C【详解】解：，．故选：C．2．在中，，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【详解】，，，,，即，.故选：A.3．（多选）若平面向量和互相平行，其中，则（

）A． B．0 C． D．2【答案】AD【详解】因为平面向量和互相平行，所以或，即，或，，所以或，所以或，故选：AD4．已知点，，则___________.【答案】【详解】由题意得，故.故答案为：.5．已知向量,，则向量的模的最大值是________.【答案】【详解】∵，则，当时，有最大值，且为，故答案为：6．已知向量，，若，则________．【答案】【详解】，，，，．故答案为：题型5:平面向量共线的判定与应用典型例题例题1．已知向量，若，则（

）A． B．2 C．1 D．【答案】C【详解】由，且都是非零向量，可知存在实数使得，即满足所以，得故选：C.例题2．向量，，，若，且，则的值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【详解】由题意，得，，因为，所以，解得，则，即，解得，故.故选：C.例题3．已知，，向量，，则当时，的最小值为_____．【答案】【详解】因为，则，由基本不等式可得，可得，当且仅当，时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.例题4．已知，.(1)当为何值时，与共线；(2)若，且三点共线，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：，，，，又与共线，，即；（2）解：，，、、三点共线，，即．例题5．已知两个不共线向量与，且，，.(1)若，求，的值；(2)若，，三点共线，求的最大值.【答案】(1)，(2)(1)解：因为，，所以，又∵，，∴，；(2)解：，，由A，B，C三点共线得，存在不为零的数，使得，即，所以，，∴，∴，∴，∴时，mn取得最大值.同类题型演练1．已知向量，若向量，则实数_____.【答案】【详解】向量，由得，所以.故答案为：2．已知为坐标原点，且，若三点共线，则实数_____．【答案】##0.8【详解】因为三点共线，所以，，，所以，解得：.故答案为：3．已知向量，．若，则________.【答案】0【详解】解：向量，，所以，若，则，解得.故答案为：0.4．已知向量，，若，则实数k＝______．【答案】-1【详解】解：因为向量，，所以，因为，所以，解得，故答案为：-15．已知向量，，且，则__________.【答案】【详解】由题设，，又，所以，解得.故答案为：题型6:利用向量坐标解决平面几何问题典型例题例题1．如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】以为原点､的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，则有，.设，则.由题意可知所以.因为，所以，故的最大值为.例题2．如图，，，是圆上的三个不同点，且，，则（

）．A． B．C． D．【答案】D【详解】解：如图，建立直角坐标系，设圆的半径为1，因为，，所以,所以,因为不共线，所以由平面向量基本定理可知存在一对有序实数，使，所以，所以，解得，所以，故选：D同类题型演练1．如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为A． B． C．2 D．【答案】C【详解】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆；根据三角形面积公式得到，可得到内切圆的半径为可得到点的坐标为：故得到故得到，故最大值为：2.故答案为C.2．（多选）如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE=CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（

）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．满足λ+μ=3的点P有且只有一个D．λ+μ=的的点P有且只有一个【答案】ABD【详解】如图建系，取，∵，∴，动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，当时，有且，∴，∴，当时，有且，则，∴，∴，当时，有且，则，∴，∴，当时，有且，则，∴，∴，综上，，选项A：取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误；选项B：当点取点或的中点时，均满足，此时点不唯一，故B错误；选项C：当点取点时，且，解得，为，故C正确；选项D：当点取的中点或的中点时，均满足，此时点不唯一，故D错误；故选：ABD.三、高考（模拟）题体验1．已知向量满足，则（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【详解】因为，所以，故，故选：C2．已知向量，若，则（

）A． B．2 C．1 D．【答案】C【详解】由，且都是非零向量，可知存在实数使得，即满足所以，得故选：C.3．已知在中，，，，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【详解】解：因为，所以，因为，所以，又，所以，又，所以，得．