（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（精练）（解析版）

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系（精练）一、单选题1．设是空间中的两条直线，是空间中的两个平面，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则与相交C．若，则D．若，则与没有公共点【答案】D【详解】A选项，若，则，或与异面，如图1，满足，但与不平行，A错误；B选项，若，则与平行或相交，如图2，满足，但与平行，B错误；C选项，若，则，或与异面，如图3，满足，但不满足，C错误；D选项，结合C选项的分析可知：若，则，或与异面，即与没有公共点，假设与有公共点，设公共点为，则，则，但，故矛盾，假设不成立，即与没有公共点，D正确.故选：D2．在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】连接DE，因为点F，G分别为棱CD，AC的中点，所以FGAD，所以或其补角为异面直线AE，FG所成角，设正四面体的边长为a，则，，由余弦定理得：，所以异面直线AE，FG所成角的余弦值为.故选：C3．设是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（

）.A．相交 B．平行 C．异面 D．无法确定【答案】A【详解】如图，延长使，因为，，，为棱的中点，所以延长，都会交中点处，所以直线和直线的位置关系为相交.故选：A.4．如图在四面体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列说法中不正确的是（

）A．，，，四点共面 B．C． D．四边形为梯形【答案】D【详解】由图可知，在中，,,分别是,的中点，所以且，同理在中，且，所以所以四边形为平行四边形，所以，，，四点共面，所以A正确;在中,由中位线定理得同理在中，由中位线定理得,所以由等角定理知，，所以B正确;在中，由中位线定理得所以,所以由等角定理可知，，,,所以，所以C正确;由上述分析得四边形为平行四边形，所以D错误;故选:D.5．在正方体中，直线与所成角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】画出图象如下图所示，根据正方体的性质可知，所以是直线与所成角，由于三角形是等边三角形，所以，即直线与所成角的大小为.故选：B6．平面与平面相交于直线l，点A、B在平面上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是（

）A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC【答案】C【详解】因为直线AB与直线l相交于点D，，所以平面，又点C在平面上，所以平面，因为平面，点在直线AB上，所以平面，又平面，所以平面，所以与的交线是直线.故选：C.7．如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=A1A=2,M､N分别是BB1和B1C1的中点,则直线AM与CN所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解:由题知找中点及靠近点的四等分点为,连接,如图所示:是中点,且,四边形为平行四边形,,是中点,,AM与CN所成角即为夹角,因为正三棱柱ABC-A1B1C1,AB=A1A=2,,在中由余弦定理可得:,故直线AM与CN所成角的余弦值等于.故选:D8．在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】取中点,连接,，不妨设正方体的棱长为2，由于分别为的中点，则，又在正方体中，易得，所以，故异面直线与所成角为或其补角，因为，平面，所以平面，又平面，故，所以在直角三角形中，，易知异面直线与所成角为锐角，所以其余弦值为.故选：D..二、多选题9．已知直线l与平面相交于点P，则（

）A．内必有直线与l平行 B．内有无数条直线与l垂直C．内有无数条直线与l是异面直线 D．至少存在一个过l且与垂直的平面【答案】BCD【详解】直线与平面相交于点，则直线与平面相交，所以内不存在直线与平行，故A错误；如图，平面内与在平面内射影PO垂直的直线，平面内与平行的直线都与垂直，有无数条，故B正确；如图，由B得，与在平面内射影PO垂直的直线，平面内与平行的直线都与是异面直线，这样的直线有无数条，故C正确；如图，取直线上除斜足外一点A，过该点作平面的垂线AO，则平面POA就垂直于平面，故D正确.故选：BCD.10．在正方体中，为的中点，点在线段上运动，点在棱上运动，为空间中任意一点，则下列结论正确的有（

）A．异面直线与所成角的取值范围是B．的最小值为C．若，则平面截此正方体所得截面的面积是D．若，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为【答案】ACD【详解】对于，如图1，易知四边形为平行四边形，则，所以与所成角即为异面直线与所成的角或补角.又点在线段上运动，可知是等边三角形，所以直线与所成角的取值范围是故A正确对于B，如图2，展开平面，使平面与平面共面，过作，交于点，交于点，则此时最小，由题可知，，则，即的最小值为，故B错误.对于，如图3，平面截此正方体所得截面，所以，作，则，所以，则.又因为，所以，所以，则，可求出，故C正确.对于，如图4，因为，所以在一个平面内，点的轨迹是以为焦点的椭圆.又因为，所以该椭圆的长轴长为8，短轴长为，故点的轨迹是以为焦点的椭球表面.设的中点为，要使三棱锥的体积最大，即到平面的距离最大，所以当平面，且平面时，三棱锥的体积最大，此时为等边三角形，设其中心为，三棱锥的外接球的球心为的外心为，连接，则，所以，此时三棱锥外接球的表面积故D正确.故选：ACD三、填空题11．如图为正六棱柱.其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有______条.【答案】【详解】连接，因为六边形为正六边形，所以，故，所以四点共面，不是异面直线，同理可得：与共面，不是异面直线，而，又与相交，故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为，其余面对角线均与异面，分别为，共5条.故答案为：512．在长方体（平面为下底面）中，，，点为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.【答案】【详解】解：在长方体的上方补一个全等的长方体，所以，由长方体的性质可知：直线，因为，，点为线段的中点所以，，，所以，所以，异面直线与BF所成角的余弦值为.故答案为：四、解答题13．如图，在正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点．求证：(1)；（1）因为正方体中，F，G分别是棱，的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以14．如图，在棱长为a的正方体中，E､F分别是和的中点.（1）求异面直线和的距离；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）为异面直线和的公垂线段，,即为和的距离为；（2）取中点,连接，因为,则即为与成角，在中，可知，，，所以，即面直线与所成角的大小为.15．如图，在直三棱柱中，，，，求异面直线与所成角的余弦值．【答案】．【详解】解：因为，所以就是异面直线与所成的角或补角．在中，，则，同理，在中，，，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值是．16．已知是空间四边形，如图所示（，，，分别是、、、上的点）．(1)若直线与直线相交于点，证明，，三点共线；(2)若，为，的中点，，，，求异面直线与所成的角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，，平面，平面，所以平面，因为，，平面，平面，所以平面，由于直线与直线相交于点，即，平面，，平面，又有平面平面，则，所以，，三点共线.（2）连接，作的中点，并连接，，如图所示：在中，点，分别是和的中点，且，所以，且，在中，点，分别是和的中点，且，所以，且，则异面直线与所成的角等于直线与所成角，即或的补角，又，由余弦定理得：，故异面直线与所成的角的余弦值.B能力提升17．如图，在中，，斜边AB=4，D是AB的中点；现将以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且；(1)求该圆锥的全面积和体积；(2)求异面直线AO与CD所成角的正切值；【答案】(1)全面积为，体积为；(2).【详解】（1）在中且，即圆锥高为，底面半径为2．圆锥的侧面积，圆锥的底面积，故圆锥的全面积；体积为.（2）过D作交BO于点M，连接CM，则为异面直线AO与CD所成角．因为平面OBC，所以平面OBC，因为平面OBC，所以．在中，所以．由D是AB的中点知：M是OB的中点，所以，结合题设易知：．在中，．即异面直线AO与CD所成角的正切值为：.18．如图所示，圆锥SO的底面圆半径，母线.(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；(2)过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的余弦值【答案】(1)；(2)【详解】（1）圆锥SO的底面圆半径，母线，所以圆锥的高为，所以圆锥的体积圆锥的侧面展开图扇形的面积（2）在圆锥中，作，交于，则异面直线AM与PS所成角为，，，，