（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练8.6.3平面与平面垂直（第1课时 平面与平面垂直的判定定理）（精讲）（原卷版）

8.6.3平面与平面垂直（第1课时平面与平面垂直的判定定理）(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:判断面面垂直题型2:证明面面垂直题型3:补全面面垂直的条件题型4:二面角的概念及辨析题型5:求二面角题型6:二面角最值问题题型7:由二面角求参数三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：二面角（1）二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．（2）符号语言：①二面角.②在,内分别取两点，(,),可记作二面角;③当棱记作时，可记作二面角或者二面角.知识点2：二面角的平面角（1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.（2）说明：①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时，⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角.知识点3：二面角的平面角求法（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.（2）三垂线定理及其逆定理①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.(4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）.(5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法（该方法我们将在选择性必修第一册中学到).知识点4：求二面角的平面角步骤(1)找到或作出二面角的平面角；(2)证明(1)中的角就是所求的角；(3)计算出此角的大小以上步骤可概括为“一作、二证、三计算”知识点5：平面与平面垂直（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.（2）符号语言:（3）图形语言知识点4：平面与平面垂直的判定定理（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)（2）符号（图形）语言:，（3）应用：线面垂直面面垂直.二、重点题型分类研究题型1:判断面面垂直典型例题例题1．设，，是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则例题2．如图，在四面体中，若，，是的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面例题3．如图，在正方体所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面的平面有________．同类题型演练1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β2．已知直线、，平面、，满足且，则“”是“”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分条 C．充要 D．既非充分又非必要3．如图所示，四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是（

）①直线直线

②直线直线③直线平面

④平面平面A．①② B．②③ C．③④ D．②③④题型2:证明面面垂直典型例题例题1．如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.例题2．边长为1的正方形中，点，分别是，的中点，现将，分别沿，折起，使得，两点重合于点，连接，得到四棱锥.(1)证明：平面平面；(2)求四棱锥的体积.例题3．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．(1)求证：；(2)求证：平面平面.例题4．如图所示，直三棱柱中，为中点．(1)求证：平面；(2)若三棱柱上下底面为正三角形，，，求证：平面平面．同类题型演练1．如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面圆的一条直径，且点是弧的中点，点是的中点，，．(1)求圆锥的表面积；(2)求证：平面平面．2．如图所示，在三棱锥中，，，，点，分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求四面体的体积.3．如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点.(1)证明：平面；(2)若四边形是正方形，，求证：平面平面.4．如图，正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点，平面，且M是的中点．(1)证明：平面平面；(2)若，求四面体的体积．题型3:补全面面垂直的条件典型例题例题1．如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，，是上的一动点，当点满足___________时，平面平面.（只要填写一个你认为正确的条件即可）例题2．如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为，是的中点.(1)请在棱与上各找一点和，使平面平面，作出图形并说明理由；(2)求异面直线与所成角的正切值；(3)问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．例题3．如图，在直三棱柱中，为棱的中点，，，.在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.同类题型演练1．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为等腰直角三角形，，，F是BC的中点．(1)在AD上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．(2)为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE与平面SBC所成角的正弦值．2．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上的一点，且，为线段上的动点.(1)当为何值时，平面平面，并说明理由；(2)若，，平面平面，，求出点到平面的距离.3．如图，在四棱锥中四边形为平行四边形，，是正三角形，且．(1)当点M在线段上什么位置时，有平面？(2)在（1）的条件下，点N在线段上什么位置时，有平面平面？题型4:二面角的概念及辨析典型例题例题1．自二面角棱上任选一点，若是二面角的平面角，则必须具有条件（），， B．，C．，， D．，，且，例题2．如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（

）A． B． C． D．例题3．过正方体的顶点作平面，使正方形､正方形､正方形所在平面与平面所成的二面角的平面角相等，则这样的平面可以作（

）A．个 B．个 C．个 D．个同类题型演练1．若两个半平面所成二面角的大小为.则的取值范围是______2．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是（

）A．相等 B．互补C．相等或互补 D．不确定3．如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是______．题型5:求二面角典型例题例题1．在长方体中，，则二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．例题2．如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为4，，且平面.(1)求点到平面的距离；(2)若，且平面平面，求二面角的余弦值.例题3．在三棱锥中，为的垂心，连接.(1)证明：；(2)若平面把三棱锥分成体积相等的两部分，与平面所成角的，求平面与平面所成角的余弦值.例题4．在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，.(1)求证：；(2)求平面与平面所成的二面角的正弦值.同类题型演练1．如图1，是等边三角形，是直角三角形，BD⊥BC，，将沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2.(1)证明：BC⊥平面ABD；(2)求平面ABC与平面BCD所成的二面角的正切值.2．如图．正方体中，棱长为1，(1)求证：AC⊥平面；(2)求二面角的平面角的正弦值．3．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若，求二面角B—PC—A的正切值.4．在四棱锥P-ABCD中，ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为棱PC的中点.(1)求证：平面EBD⊥平面PAC；(2)若，，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.题型6:二面角最值问题典型例题例题1．在直三棱柱中，，，，，为线段的三等分点，点在线段上（包括端点）运动，则二面角的正弦值的取值范围为（

）A． B． C． D．例题2．已知矩形满足，现将沿着对角线翻折，得到，设顶点在平面上的射影为点．(1)若点恰好落在边上，①求证：平面；②当，时，求边长度的最小值；(2)当时，若点恰好落在的内部（不包括边界），求二面角的平面角余弦值的取值范围．同类题型演练1．如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A､B的任意一点，且.求证：(1)平面平面PBC；(2)当点C（不与A､B重合）在圆周上运动时，求平面PBC与所在的平面所成二面角大小的范围.2．已知矩形，设是边上的点，且，现将沿者直线翻折至，(1)当为何值时，使平面平面；并求此时直线与平面所成角的正切值；(2)设二面角的大小为，求的最大值.题型7:由二面角求参数典型例题例题1．二面角的大小是60°，在该二面角内有一点到的距离是3，到的距离是5，又动点和，，，则的周长的最小值是（

）A． B． C．12 D．14例题2．已知是边长为3的正三角形的中心，点是平面外一点，平面，二面角的大小为60°，则三棱锥外接球的表面积为______．例题3．如图，在直角梯形中，，，，点是的中点．将沿折起，使，连接、、，得到三棱锥．(1)求证：平面平面；(2)若，二面角的大小为60°，求三棱锥的体积．同类题型演练1．已知二面角的大小为，直线分别在平面内且都垂直于棱，则与所成角的大小为__________.2．已知一个正四棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角的大小为，则该四棱锥的侧面积为______．3．如图所示，圆锥的底面圆半径，母线.(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；(2)如图，半平面与半平面所成二面角大小为，设线段中点为，求异面直线与所成角的余弦值.三、高考（模拟）题体验1．如图，在长方体中，底面为正方形，，分别为，的中点，点是棱上靠近的三等分点，直线与平面所成角为.给出以下4个结论：①平面；

②；③平面平面；

④，，，四点共面.其