（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练8.6.3平面与平面垂直（第2课时 平面与平面垂直的性质定理）（精讲）（解析版）

8.6.3平面与平面垂直（第2课时平面与平面垂直的性质定理）(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:平面与平面垂直的性质定理的应用题型2：平面图形折叠后的垂直问题题型3:与二面角有关的探索性问题题型4：直线与平面垂直、平面与平面垂直的综合应用三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：平面与平面垂直的性质定理（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(2)符号（图形）语言：，，.（3）应用：①面面垂直线面垂直②作平面的垂线.二、重点题型分类研究题型1:平面与平面垂直的性质定理的应用典型例题例题1．已知三棱锥中，，，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为______．【答案】【详解】取的中点，连接，，如图所示：因为，所以为的外接圆圆心，又因为，为的中点，所以.因为平面平面，所以平面，所以三棱锥的外接球球心在直线上.在上取一点，使得，即为三棱锥的外接球球心，设，，所以，.在中，，所以，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：例题2．如图，四边形中，，，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面⊥平面，则与平面所成的角的正弦值为___________.【答案】【详解】因为平面平面，，平面平面，平面，故平面.因为平面，故.因为，，故，故，又，故平面，∴为直线与平面所成的角，，,又∵平面，∴,∴,故答案为：.例题3．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.证明：平面【答案】证明见解析【详解】证明：由题设，，又面面，面面，面，所以面，而面，则，由得：，又，则平面.例题4．如图，在三棱锥中，底面．(1)求证：平面平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)（1）底面．又ACB=，；又平面，又平面，∴平面（2）取PC的中点O，连接AO、BO；又∵平面平面且交线为，平面，直线AB在平面PBC中的射影为OB，为AB与平面PBC所成的角在直角中，AB=，，同类题型演练1．在矩形ABCD中，，点E为CD的中点（如图1），沿AE将△折起到△处，使得平面平面ABCE（如图2），则直线PC与平面ABCE所成角的正切值为___________.【答案】【详解】取的中点，连接，，∵且为的中点，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，则直线PC与平面ABCE所成角为，，即，所以.故答案为：．2．已知四棱锥的每个顶点都在球O的球面上，侧面底面，底面为边长为2的正方形，，，则四棱锥外接球的体积为__________.【答案】【详解】在中，，，，所以，所以.又侧面底面，侧面底面，平面，所以平面.所以四棱锥外接球的直径是以AB，AD，AP为棱的长方体的对角线，设外接球的半径为R，体积为V，则，，所以，即四棱锥外接球的体积为.故答案为：3．如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.求证：.【详解】证明：因为为矩形，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.4．如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面【详解】证明：如图，连接AF，由题意知为等腰三角形，而为的中点，所以．又因为平面平面，且，平面平面，平面，所以平面．而平面，所以．而，平面，所以平面．连接，则，，而，，所以且，所以是平行四边形，因此，故平面．题型2：平面图形折叠后的垂直问题典型例题例题1．如图所示，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列说法中不正确的是（

）A．平面平面 B．C．平面平面 D．平面【答案】D【详解】选项A.由平面平面，平面平面,又，且平面，所以平面由平面，所以平面平面，故A正确.选项B.由上有平面，又平面，则，故B正确.选项C.由上可知，，且,所以平面,又平面,所以平面平面，故C正确.选项D.由上有平面，又平面，则若平面，由平面,则,这与相矛盾，故D不正确.故选：D例题2．如图所示的四边形是边长为的正方形，对角线，相交于点，将沿折起到的位置，使平面平面．给出以下5个结论：①；②和都是等边三角形；③平面平面；④；⑤三棱锥表面的四个三角形中，面积最大的是和．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】①②④【详解】因为正方形的对角线互相垂直，所以，且，由线面垂直的判定可知平面，所以，即①正确；因为正方形的边长是，所以，又平面平面，所以平面，所以，即和都是等边三角形，②正确；如图，取的中点，连接，，得，，所以就是二面角的平面角，而，所以不是直角．即平面与平面不垂直，③错误；因为，所以④正确；因为，，所以三棱锥表面的四个三角形中，面积最大的是和，不是和，所以⑤错误．综上，可知①②④正确．故答案为：①②④例题3．如图1是半圆（以为直径）与组合成的平面图，其中，图2是将半圆沿着直径折起得到的，且半圆所在平面与所在平面垂直，点是的中点．(1)求证：；(2)若，求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）是半圆的直径，，，即，又平面平面，且平面平面平面，平面，又平面，，又，平面，平面，平面，又平面，所以；（2）在平面内，过点作，且，连接，则，，可得四边形是矩形，四边形是平行四边形，，异面直线与所成的角为或其补角，由（1）得，平面平面，平面，，在Rt中，，，在中，，，即异面直线与所成角的余弦值为．例题4．已知四边形为等腰梯形，，、分别是、的中点，连接，，如图①所示，将梯形沿直线折起，连接、，是的中点，如图②所示．(1)证明：平面；(2)若平面平面，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：取的中点，连接、，为的中点，且.由题意，且，所以，且，所以，四边形为平行四边形，所以，，因为平面，平面，因此，平面.（2）解：设、的延长线交于点，则平面，平面.平面平面，则、、三点共线，在图①中，分别过点、作、，垂足分别为点、，如下图所示：由等腰梯形的几何性质可知，，且，所以，，，因为，，，故四边形为平行矩形，所以，且，又因为为的中点，为的中点，则，即，所以，且，所以，四边形为矩形，故，，由翻折不变性可知，，，，、平面，平面，平面，，即，因为平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，翻折前，，翻折后，仍有，，，，，，过点在平面内作，垂足为，则为的中点，则，所以，，所以，，，因为，设点到平面的距离为，则，解得，因此，点到平面的距离为.同类题型演练1．（多选）如图，在长方形中，，，为的中点，为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起，使平面平面.在平面内过点作，为垂足.设，则的取值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】BC【详解】连接，设，.因为平面平面，，所以平面.又因为平面，所以.在中，，在中，，在中，，设，在中，，在中，，所以，即.又因为，所以.故选：BC2．已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有、两点.如图，，，点是上动点.沿将纸片折为直二面角，并连结，，，.(1)当平面时，求的长；(2)问当点在什么位置时，三棱锥体积最大，并求出此时点到平面的距离.【答案】(1)(2)，(1)解：因为平面，平面，平面平面，所以，又，所以，所以，又，所以.(2)解：当时，三棱锥的体积最大，因为，二面角为直二面角，平面平面，平面，所以平面，平面，所以、，又，而，所以当，时，三棱锥的体积最大，此时，此时即是等边三角形，边长，∴，设所求距离为，则，即，解得，故当时，此时点到平面的距离为.3．如图1，在矩形中，点E在边上，，将沿进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面平面，如图2.(1)若点F在棱上，且平面，求；(2)若，求点A到平面的距离，【答案】(1)(2)【详解】（1）如图，在上取点，使得∥，连接，，则∥∥.因为平面，平面平面，所以∥，所以四边形是平行四边形，所以.又因为，所以.（2）作，垂足为，连接，，.因为平面平面，平面平面，所以平面.由条件可知是等腰直角三角形，，.，所以三棱锥的体积为.在底面内计算可得，所以同理可得.所以是等腰三角形，面积为.设点到平面的距离为，则，即，解得.4．如图，矩形中，分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面.(1)求证：；(2)若，求证：平面平面.【详解】（1）证明:由题意知，,故,则,又平面平面，平面平面,且平面，所以平面，又平面，所以,由,平面,所以平面,平面,所以；（2）证明:由题意知,即,由（1）知平面，故平面，平面，所以,因为，故矩形为正方形，则,平面,所以平面,又平面,所以平面平面.题型3:与二面角有关的探索性问题典型例题例题1．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，若为线段上的动点（不含．(1)平面与平面是否相互垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由；(2)若为何值时？二面角为．【答案】(1)平面AEF与平面PBC是相互垂直；证明见解析(2)【详解】（1）因为，E为线段PB的中点，所以，因为底面ABCD，平面ABCD，所以，又因为底面ABCD为正方形，所以，又，所以平面PAB，∵平面PAB，∴，因为，所以平面PBC，因为平面AEF，所以平面平面PBC（2）如图，取AB的中点M，作交AF于点N，连接EM，EN，因为EM为的中位线，所以，又平面ABCD，线段BC故平面ABF，，，故平面EMN，所以即为二面角的平面角，即设，则，因为，即，所以又，即，得例题2．如图，将边长为的正方形沿对角线折起，使得点到点的位置，连接，为的中点.(1)若平面平面，求点到平面的距离；(2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.【答案】(1)；(2).【详解】（1）连接，则，因为平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又正方形的边长为，所以，，设点O到平面的距离为，则，所以，所以，即点O到平面的距离为；（2）取的中点，连接，因为，所以，所以为二面角的平面角，所以，由题可知，在中，，，，所以，所以，所以.同类题型演练1．如图，在三棱柱中，已知，，侧面.（Ⅰ）求直线与底面所成角正切值；（Ⅱ）在棱（不包含端点）上确定一点E的位置，使得（要求说明理由）；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若，求二面角的大小.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）当E为中点时，，理由见详解；（Ⅲ）二面角的大小为45°.【详解】解：（Ⅰ）在直三棱柱，平面ABC,在平面ABC上的射影为CB.为直线与底面ABC所成角，，即直线与底面ABC所成角的正切值为2.（Ⅱ）当E为中点时，.,，，即.又平面，平面.，平面ABE,平面ABE，.（Ⅲ）取的中点G，的中点F，则，且，,连结，设，连结，则，且，为二面角的平面角.，，∴二面角的大小为45°.2．如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在侧棱上.(1)求证：平面平面；(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴.∵四边形ABCD是直角梯形，，，，∴，取AB中点为F,连接，∵四边形ABCD是直角梯形，，，，∴，，，，∴四边形ADCF为矩形，，∴.∴⊥，又，平面，∴平面PBC.∵平面EAC，∴平面平面PBC.（2）方法一：由（1）知平面PBC，又∵平面PBC，∴⊥，由（1）知，所以是二面角的平面角.由图知平面PAC与平面ACE的夹角即为二面角，∵平面PAC与平面ACE的夹角的余弦值为，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴.在中，由，得：，∴，∴，，∵∠CPB与∠CBP互余，∠PCE与∠ECB互余，∴，，∴；题型4：直线与平面垂直、平面与平面垂直的综合应用典型例题例题1．如图，已知平行四边形与直角梯形所在的平面互相垂直，且，为的中点．(1)证明：平面；(2)证明：平面．【详解】（1）证明：取的中点，连接，，如图，为的中点，，且，又，且，，且，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面.（2）证明：四边形是平行四边形，，又，在中，由余弦定理可得：，，，.平面平面，平面平面，平面.例题2．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，，分别是，的中点.(1)求证：平面平面；(2)求平面和平面夹角的余弦值；(3)在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)；(3)存在，与点重合时，满足题意.【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，又为边长为2的正三角形，为中点，所以，所以平面，平面，所以①,又，所以，所以，所以，所以(为与的交点)，所以②，又因为③,由①②③可得平面，又因为平面，所以平面平面；（2）解：设,过作于，连接,因为平面，平面，所以，又因为，，则平面,平面,所以，所以为平面和平面夹角，在中，,在中，，所以，所以中，,所以；（3）当点与点重合时，点到平面的距离为，取中点，连接,则∥，所以四点共面，又平面，平面，所以，又，,所以平面，设点到平面的距离为，又,即,即,所以，解得.故在线段存在点（端点处），使点到平面的距离为.例题3．如图，在四棱锥中，，，，，.(1)求证：平面.(2)设为的中点，求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）∵，，PB=PD，∴Rt△PDC≌Rt△PBC，∴BC=DC，又PB∩PD=P，∴PC⊥平面PBD，∵BD平面PBD，∴PC⊥BD，∵AB=AD，BC=CD，∴易知AC⊥BD，又∵AC∩PC=C，AC,PC含于面PAC∴BD⊥平面PAC；（2）如图，设AC交BD于O，则O是BD的中点，连接OP，过作，连接，由（1）得，BD⊥平面PAC，面，故，又，所以，面，故为PE与平面ABCD所成角，设，因为为中点，且，故在中，，又由BC=CD，且BD=，，∴在△BCD中，由余弦定理得：，即，解得，故，∴，，，，∵PC⊥平面PBD，∴，所以，在中，利用等面积法，得到，故，所以，在中，同类题型演练1．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，,是棱的中点.(1)证明：平面平面.(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：由直三棱柱的定义可知平面.因为平面，所以；因为是等边三角形，，且是棱的中点，所以.因为平面，且，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）连接，由题意可得的面积.因为是边长为4的等边三角形，且是棱的中点，所以.由（1）可知平面，则三棱锥的体积因为是棱的中点，且，所以，则.由（1）可知平面,平面，则，从而的面积.设点到平面的距离为，则三棱锥的体积.因为，所以，解得，即点到平面的距离为.2．如图，在四棱锥中，，，侧面底面，底面为矩形，为上的动点（与，两点不重合）．(1)判断平面与平面是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由；(2)若，，当为的中点时，求点到平面的距离．【答案】(1)垂直，证明见解析(2)4【详解】（1）平面与平面垂直．证明如下：因为底面为矩形，所以．又侧面底面，且平面平面，平面所以平面．又平面，所以．又，且，平面，所以平面．又平面，所以平面平面，即平面平面．（2）当为的中点时，取的中点，连接．因为，所以．因为侧面底面，且平面平面，平面，所以底面．因为，，所以，．在中，，，所以．由（1）知平面，又平面，所以．所以．因为，所以．设点到平面的距离为，则由，得，解得．所以点到平面的距离为4．3．如图，在正四棱锥中，，点O为底面的中心，点P在棱上，且的面积为1．(1)若点P是的中点，求证：平面平面；(2)在棱上是否存在一点P使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明强由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，P为棱SD靠近端点S的三等分点.【详解】（1）在四棱锥S-ABCD中，正方形ABCD的边长是，则AC=2，因点S在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点O，即SO⊥底面ABCD，而AC底面ABCD，则SO⊥AC，又△SAC的面积为1，即，解得，于是得，则，因点P是SD的中点，则有SD⊥AP，SD⊥CP，而，平面PAC，从而得SD⊥平面PAC，又平面SCD，所以平面SCD⊥平面PAC.（2）假定在棱SD上存在一点P使得平面PAC和平面ACD夹角的余弦值为，连OP，OD，如图，由(1)知，SO⊥AC，而DO⊥AC，，平面SOD，则有AC⊥平面SOD，又平面SOD，从而有PO⊥AC，因此，是二面角P-AC-D的平面角，令PD=a，由(1)知，SO⊥DO，SO=DO=1，则，且，过P作PM//SO交DO于M，则PM⊥DO，，，因，则，而，即有，，解得：，即有，所以在棱SD上存在一点P使得二面角的余弦值为，P为棱SD靠近端点S的三等分点.三、高考（模拟）题体验1．如图，三棱锥中，侧面PAB垂直于底面ABC，，底面ABC是斜边为AB的直角三角形，且，记O为AB的中点，E为OC的中点.(1)求证：；(2)若，直线PC与底面ABC所成角的大小为60°，求四面体PAOC的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接，因为，所以，侧面垂直于底面，平面，平面平面，所以底面，底面，所以，是斜边为的直角三角形，且，所以，又因为O为AB的中点，所以,所以为等边三角形，又E为OC的中点，所以，因为，，，，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）知底面ABC，所以直线PC与底面ABC所成角为，因为直线PC与底面ABC所成角的大小为，，因为，所以，在中，，，所以.2．如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面ABCD.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).（1）取中点，连，因为，，，，所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，则，，因为面面，面面，面，所以平面，又平面，所以.（2）取中点，连，则，且，因为平面平面，面面，面，所以平面，又面积为