（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练第八章 立体几何初步 章末题型大总结（精讲）（原卷版）

第八章立体几何初步全章总结(精讲）目录一、数学思想方法1、数形结合思想2、转化与化归思想二、重点题型精讲题型一：空间几何体的结构、表面积与体积题型二：多面体与球接、切问题角度1：内切球问题角度2：外接球问题角度3：内切球与外接球综合题型三：平行问题题型四：垂直问题题型五：空间角角度1：异面直线所成角角度2：直线与平面所成角角度3：二面角题型六：距离问题角度1：点到平面的距离角度2：直线到平面的距离角度3：平面到平面的距离题型七：探索性问题角度1：动点问题角度2：空间角中的探索性问题一、数学思想方法1、数形结合思想在高考中，直观图、平行问题、垂直问题、折叠问题、体积计算、距离计算往往会综合其中若干种情形考查，在遇到这类问题时，首先要对图形有深度的观察，其次要对已知的条件进行逻辑的推导，对结论的成立进行逆推，采用两头凑的思想，将问题逐层解决.策略是紧扣相关几何体的结构特征进行有关的概念辨析，多注意观察一些实物模型和图片，明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，会识别较复杂的图形，注意观察周围的物体，然后将它们“拆分”成几个简单的几何体，培养空间想象能力和识图能力.1．如图，是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则的长度为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（

）A．B．C．D．3．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．（多选）如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是等边三角形，AB⊥BD且AB＝BD，M是AD的中点．沿BD将△BCD翻折，折成三棱锥C﹣ABD，连接BM，翻折过程中，下列说法正确的是（

）A．存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角B．棱CD上总恰有一点N，使得MN∥平面ABCC．当三棱锥C﹣ABD的体积最大时，AB⊥BCD．∠CMB一定是二面角C﹣AD﹣B的平面角5．学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.6．如图所示，在直角梯形BCEF中，，A，D分别是BF，CE上的点，且，，将四边形沿折起，连接证明：面2、转化与化归思想所谓转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法.(1)化未知为已知：当所要解决的问题和我们已经掌握的问题有关系时，把所要解决的问题化为已知问题(2)化难为易：化难为易是解决数学问题的基本思想，当我们遇到的问题是崭新的，解决起来有困难时，就要把这个问题化为我们熟悉的问题，而熟悉的问题我们有解决的方法，就化为了容易的问题，这是化难为易的一个方面.(3)化繁为简：在一些问题中，已知条件或求解结论比较复杂，这时就可以通过化这些较复杂的已知条件或者结论为简单的情况，再解决问题.有时把问题中的某个部分看作一个整体，进行换元，这也是化繁为简的转化思想.(4)化大为小：在解答综合性试题时，一个问题往往是由几个问题组成的，整个问题的结论，是通过一系列的小问题得出的这种情况下，就可以把所要解决的问题转化为几个小问题进行解决(5)化立体为平面：解决空间几何体的平面展开图问题，可将空间几何体的表面通过翻转展开成平面图形，从而更好地解决空间几何体的距离、面积问题，即立体问题平面化.1．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台,如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位:cm）,现在向这个空石瓢壶中加入（约）的矿泉水后,问石瓢壶内水深约（

）cmA．2.8 B．2.9 C．3.0 D．3.12．红薯于1593年被商人陈振龙引入中国，也叫甘薯、番薯等.红薯耐旱耐脊、产量丰富，曾于数次大饥荒年间成为不少人的“救命粮食”，现因其生食多汁、熟食如蜜，成为人们喜爱的美食甜点.小泽和弟弟在网红一条街买了一根香气扑鼻的烤红薯，准备分着吃，如图，该红薯可近似看作三部分：左边部分是半径为的半球；中间部分是底面半径为、高为的圆柱；右边部分是底面半径为、高为的圆锥，若小泽准备从中间部分的甲、乙、丙、丁四个位置选择一处将红薯掰成两块，且使得两块的体积最接近，则小泽选择的位置是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．已知长方体的棱，和的长分别为3cm、4cm和5cm，则棱到平面的距离为____________cm4．已知正方体的棱长均为1.(1)求到平面的距离；(2)求平面与平面之间的距离.5．如图，直三棱柱，.(1)证明：；6．如图，已知四边形和四边形都是直角梯形，，，，，，．设分别为的中点．(1)证明：；二、重点题型精讲题型一：空间几何体的结构、表面积与体积1．在九章算术商功中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭在方亭中，，方亭的体积为，则侧面的面积为（

）A． B． C． D．2．2022年卡塔尔世界杯称之为史上最豪的一届的世界杯，其足球场建设地美轮美奂，下图是2022年卡塔尔世界杯第六座完建球场阿图玛玛球场，其形状可近似看成底面直径240米，高50米的圆柱体内切出一个底面棱长为120米的正四棱台，其俯视图如图所示，则圆柱除去四棱台后剩余部分的体积约为多少立方米（

）参考数据：，，棱台体积公式：A．602400 B．1204800 C．1807200 D．3012003．已知正三棱柱的所有棱长为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为__________．4．一名学生参加学校社团活动，利用3D技术打印一个几何模型该模型由一个几何体及其外接球组成，几何体由一个内角都是120°的六边形绕边旋转一周得到且满足，，则球与几何体的体积之比为______.5．已知三棱锥的外接球的半径为，，，，则三棱锥的体积为______.6．对于精美的礼物，通常人们会用包装纸把礼物包好，还会用彩带捆扎包装好的礼物，有时还会扎出一个花结.这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观､结实，也要考虑尽量地节省包装彩带.以长方体的礼物为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示.“十字”捆扎“对角”捆扎假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2､高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上.(1)求“十字”捆扎中彩带的总长度；(2)根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议.7．已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点、在底面的同侧，棱锥的高，、分别为AB、CD的中点，与交于点E，与交于点F．(1)求的长；(2)求这两个棱锥的公共部分的体积．题型二：多面体与球接、切问题角度1：内切球问题1．立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.已知正方体的内切球的直径为过球的一条直径作该正方体的截面，所得的截面面积的最大值为（

）A． B． C． D．2．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（）A． B． C． D．2π3．已知三棱柱中，，，平面平面，，若该三棱柱存在体积为的内切球，则三棱锥体积为（

）A． B． C．2 D．44．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，其内切球与两侧面，分别切于点，则的长度为（

）A． B． C． D．5．棱长为36的正四面体的内切球球面上有一动点，则的最小值为__．6．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中内切球半径为__________，体积为__________.角度2：外接球问题1．“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（

）平方尺.A． B． C． D．2．在四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，，平面平面，则四棱锥外接球的表面积为（

）A．4π B．8π C． D．3．则三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球半径为（

）A．3 B． C． D．64．在三棱锥中，，，设侧面与底面的夹角为，若三棱锥的体积为，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，（

）A． B． C． D．45．在正三棱柱中，所有棱长之和为定值，当正三棱柱外接球的表面积取得最小值时，正三棱柱的侧面积为（

）A．12 B．16 C．24 D．186．已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为（

）A． B． C． D．角度3：内切球与外接球综合1．若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（

）A． B． C． D．2．已知某正三棱锥的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为，其外接球的体积为，那么这个三棱锥的表面积为（

）A． B． C． D．3．已知空间四边形，，，且，，面ABC与面夹角正弦值为1，则空间四边形外接球与内切球的表面积之比为（

）A． B． C． D．4．张衡（78年—139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家．他的数学著作有《算罔论》．他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最大值为，利用张衡的结论可得该正方体内切球的表面积为______．5．已知一个体积为的球内切于直三棱柱（即与三棱柱的所有面均相切）,底面的中有,则该直三棱柱的外接球（即使所有顶点均落在球面上）的表面积为________．6．底边和腰长之比为的等腰三角形被称为“黄金三角形”，四个面都为“黄金三角形”的四面体被称为“黄金四面体”.“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为______.题型三：平行问题1．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，、分别是、的中点．证明：平面．2．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，为侧棱的中点，求证：平面3．如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点．(1)求证：平面平面；(2)若平面，求证：为的中点．4．在三棱柱中，(1)若分别是的中点，求证：平面平面.(2)若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．5．在三棱柱中，（1）若分别是的中点，求证：平面平面.（2）若点分别是上的点，且平面平面，试求的值．6．类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱中，平面平面，，，①求的余弦值；②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．题型四：垂直问题1．如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面2．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.证明：平面3．如图，在三棱维中，，平面平面.(1)求证：；(2)求证：平面.4．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，AB⊥平面PAD，ABCD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝AB，PH为中AD边上的高．求证：（1）PH⊥平面ABCD；（2）EF⊥平面PAB．5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD；(3)二面角P﹣BC﹣D的平面角的大小为45°．6．如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．(1)求证：AF∥平面SEC；(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．题型五：空间角角度1：异面直线所成角1．如图，在直三棱柱中，，且分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．2．在三棱锥A－BCD中，已知平面BCD，，若AB＝2，BC＝CD＝4，则AC与BD所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．如图，在直棱柱中，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．已知体积为6的四面体满足，，，则异面直线与所成的角的大小为______．6．已知异面直线所成角为，过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，则的取值范围是___________.7．在如图直四棱柱中，底面为菱形，，，点为棱的中点，若为菱形内一点（不包含边界），满足平面，设直线与直线所成角为，则的最小值为______.角度2：直线与平面所成角1．如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于（

）A． B． C． D．2．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．3．已知三棱锥的底面是正三角形，平面，且，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．4．在正方体中，A1B与平面BB1D1D所成角的余弦值为___________.5．若正三棱锥底面边长为2，侧棱与底面所成的角为，则其体积为_______．6．三棱锥中，面面，，，，，,为射线上一动点，求直线与面所成角的正弦的最大值为______________角度3：二面角1．四面体中，，则二面角的平面角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．正三棱台侧面与底面所成角为，侧棱与底面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．如图，已知三棱锥S–ABC中，SA=SB=CA=CB=，AB=2，SC=，则二面角S–AB–C的平面角的大小为A．30° B．45° C．60° D．90°4．在正方体中，平面与平面所成的锐二面角的大小是___________.5．如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点.(1)求证：平面平面ABC；(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.6．如图，在正四棱锥中，，点O为底面的中心，点P在棱上，且的面积为1．(1)若点P是的中点，求证：平面平面；(2)在棱上是否存在一点P使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明强由．7．如图，在直角梯形中，，，，沿对角线将折至的位置，记二面角的平面角为．(1)当时，求证：平面平面；(2)若为的中点，当时，求二面角的正切值．题型六：距离问题角度1：点到平面的距离1．直三棱柱中，若，，，是棱上的中点，则点到平面的距离是（

）A．1 B． C． D．2．在棱长为1的正方体中，到平面的距离为________.3．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．求A到平面的距离；4．如图，在直三棱柱中，分别为的中点．(1)判断直线与平面的位置关系，并说明理由；(2)求点到平面的距离．5．如图，是三棱锥的高，线段的中点为，且，.(1)证明：平面；(2)求到平面的距离.6．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，，分别是，的中点.(1)求证：平面平面；(2)求平面和平面夹角的余弦值；(3)在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.角度2：直线到平面的距离1．若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则到底面的距离为__________.2．若正四棱柱的底面边长为1，直线与底面所成角的大小是，则到底面的距离为______．3．在长方体中，M、N分别为、AB的中点，AB＝4，则MN与平面的距离为______．4．如图，在正方体中，，则直线到平面的距离为___________.5．已知正四棱柱中，，为的中点，则直线与平面的距离为________．6．如图所示，在三棱柱中，已知ABCD和为是矩形，平面平面ABCD.若，则直线AB到面的距离为___________.角度3：平面到平面的距离1．如图，在长方体中，设，，，则点B到面的距离为________，直线AC与面的距离为________，面与面的距离为________.2．在长方体中，有一过且与平面平行的平面，棱，，则平面与平面的距离是_________．3．在长方体中，已知，，与平面ABCD所成角的大小是，那么平面ABCD到平面的距离是______．4．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，，的中点，点在棱上，且，，.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求平面与平面的距离.5．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．(1)求证：平面；(2)求平面与平面的距离．题型七：探索性问题角度1：动点问题1．如图，平面平面，，A，B是直线l上的两点，C，D是平面内的两点，且，，，，，若平面内的动点P满足，则四棱锥的体积的最大值为（

）A．24 B． C．48 D．2．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若∥平面，下列说法正确的是（

）A．线段长度最大值为，无最小值B．线段长度最小值为，无最大值C．线段长度最大值为，最小值为D．线段长度无最大值，无最小值3．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为的中点，P为正方体表面上的动点．下列叙述正确的是（

）A．当点P在侧面上运动时，直线与平面所成角的最大值为B．当点P为棱的中点时，CN∥平面C．当点P在棱上时，点P到平面的距离的最小值为D．当点时，满足平面的点