2021北京重点校高一（下）期末数学试卷试题汇编：立体几何初步章节综合

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立体几何初步章节综合一、单选题1．（2021·北京·人大附中高一期末）设为多面体的一个顶点，定义多面体在处的离散曲率为其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面遍历多面体的所有以为公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体(每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体)，若它们在各顶点处的离散曲率分别是，则的大小关系是A． B．C． D．2．（2021·北京·汇文中学高一期末）如图，正四棱锥的高为，且底面边长也为，则点到平面的距离为（）

A． B． C． D．3．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为1，且底面，则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．4．（2021·北京·人大附中高一期末）如图，E是正方体棱的中点，F是棱上的动点，下列命题中：①在平面内总存在与平面BEF平行的直线；②直线和直线EB为异面直线；③四面体EBFC的体积为定值.其中正确命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的高为（）A．1 B． C．5 D．26．（2021·北京·人大附中高一期末）圆锥的表面积为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（）A． B． C． D．7．（2021·北京·人大附中高一期末）下列命题正确的是（）A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．棱柱的侧面都是矩形8．（2021·北京·人大附中高一期末）已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A． B．3 C．6 D．99．（2021·北京师大附中高一期末）圆锥的母线长为，底面半径为，则圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．二、双空题

10．（2021·北京师大附中高一期末）如图，这个组合体是小张同学自己设计的一个小奖杯，计划送给小刘同学，以鼓励其认真努力的学习数学，已知该奖杯中的四棱柱的高为10，底面是长和宽分别为3､2的矩形，则该四棱柱的体积是__________：奖杯顶部两个球的半径分别为5和2，则这两个球的表面积之和为__________.三、填空题11．（2021·北京·人大附中高一期末）棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则△PEQ周长的最小值为________．12．（2021·北京师大附中高一期末）如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则下列说法正确的是__________.①线段的最大值是②③与一定异面④三棱锥的体积为定值13．（2021·北京二中高一期末）若四面体的三组对棱分别相等，即，，，给出下列结论：①四面体每组对棱相互垂直；②四面体每个面的面积相等；③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于；④连结四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长；其中正确结论的序号是__________．（写出所有正确结论的序号）14．（2021·北京·101中学高一期末）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是________．15．（2021·北京师大附中高一期末）我国魏晋时期的数学家刘徽在给《九章算术》作注时，想到了推算球体积的方法，创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形.如图1所示，在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分，就是牟合方盖，如图2所示，牟合方盖恰好把正方体的内切球包含在内并且同球相切.刘微指出，球体积与牟合方盖体积之比等于.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积等于__________.16．（2021·北京·人大附中高一期末）若正四棱锥的底面边长和高都是2，则其体积为________.17．（2021·北京·人大附中高一期末）阿基米德（Archimedes，公元前287年－公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家，他构造了这样的一个几何体：在一个圆柱形容器里放了一个球（如图所示），圆柱的底面直径与高都等于球的直径.若球的体积为，则圆柱的体积为________.四、解答题

18．（2021·北京师大附中高一期末）已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，且，是棱上的动点.（1）求证：平面平面；（2）若平面，求的值；（3）当是中点时，设平面与棱交于点，求截面的面积.

参考答案1．B【分析】根据所给定义，结合图形，分别计算出的值即可.【详解】对于正四面体，其离散曲率对于正八面体，其离散曲率对于正十二面体，其离散曲率对于正二十面体，其离散曲率因为所以，故选：B【点睛】本题考查学生阅读理解能力，合情推理能力，涉及正多面体相关知识，数形结合思想，属于中档题.2．A【分析】结合正四棱锥的性质，利用，代入数据直接计算即可.【详解】解：由正四棱锥的性质可知，其底面为正方形，连接、，设交点为点，连接，则平面，且，底面对角线的长度为，侧棱长度为，斜高，，，设点到平面的距离为，由，即，解得．故选：A.【点睛】本题考查求点到平面的距离，考查正四棱锥的性质与棱锥的体积．掌握正棱锥的计算是解题关键．3．B【分析】根据题意，三棱柱是棱长均为1的正三棱柱，算出它的体积．再根据锥体的体积公式得三棱锥、三棱锥的体积都等于三棱柱体积的，由此用三棱柱体积减去两个三棱锥的体积，即可算出三棱锥的体积．【详解】解：三棱柱的所有棱长均为1，底面为正三角形，面积又底面，三棱柱的体积三棱锥、三棱锥与三棱柱等底等高由此可得三棱锥的体积故选：．【点睛】本题给出棱长均为1的正三棱柱，求其中的三棱锥体积．着重考查了正三棱柱的性质、柱体和锥体的体积公式等知识，属于中档题．4．C【分析】由已知可得平面与平面相交，只要在平面内做交线的平行线，即可判断①；举反例当与重合时，可判断②；到平面距离为定值，且面积为定值，即可判断③.【详解】F是棱上的动点，所以平面与平面相交，设交线为，在平面做交线的平行线，平面，可得平面，所以①正确；若与重合，此时与相交，所以②不正确；到平面距离为定值为定值，所以四面体EBFC的体积为定值，所以③正确.故选：C.5．B【分析】根据侧面展开图求出底面圆的半径，进而结合母线长，求出锥体的高．【详解】圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，该扇形弧长为，即底面圆周长，设圆锥的底面半径为r，根据题意，得，解得，根据勾股定理，得圆锥的高为，故选：B6．A【分析】设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的表面积为，母线长为，由求解.【详解】设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的表面积为，母线长为，所以，即，解得或（舍去）故选：A7．B【分析】根据棱柱的特点一一分析即可得解.【详解】对于A，棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形，故A不正确；对于B，面最少的就是三棱柱，共有五个面，B正确；对于C，长方体是棱柱，但是上下、左右、前后都是互相平行的，C不正确；对于D，斜棱柱的侧面可以不是矩形，D错误.8．C【分析】正三棱锥的外接球即是棱长为的正方体的外接球，即得解.【详解】正三棱锥的外接球即是棱长为的正方体的外接球，所以外接球的直径，所以,外接球的表面积，故选：C【点睛】方法点睛：几何体的外接球的半径的求解，常用的方法有：（1）模型法；（2）观察法；（3）解三角形法.要根据已知条件灵活选择方法求解.9．B【分析】根据圆锥侧面积公式，即可计算结果.【详解】根据圆锥侧面积公式可知.故选：B10．【分析】根据棱柱和球的表面积公式，即可计算结果.【详解】四棱柱体积，球的表面积.故答案为：；11．【详解】由题意得，当△PEQ的周长取得最小值时，点P在上．在平面上，设点E关于B1C的对称点为M，关于的对称点为N，则，由余弦定理得，∴．∴△PEQ周长的最小值为．答案：点睛：（1）解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题．（2）本题中的最值问题可通过对称的方法，将△PEQ周长问题转化为三角形的边长的问题处理．12．①④【分析】过点作出与平面平行的平面，找出其与面的交线，从而确定点在线段上.选项①中线段的最大值可直接得到为；选项②通过建系求向量数量积来说明与平面不垂直，从而不一定成立；选项③通过构造平面来确定位置关系；选项④通过证明平面，来说明三棱锥即的体积为定值.【详解】如图，延长至，使得，则有取的中点，连接，则有，连接并延长交于点，则点为的中点.因为，平面，平面所以平面.同理可得平面.又，在平面内，且相交于点，所以平面平面.故点在线段上.由图知，，故选项①正确；以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，.，，.因为，所以与不垂直，而点在线段上，所以条件不一定成立，故选项②错误；如图，连接，，，则有，且，故四边形为梯形，与为相交直线，故选项③错误；因为点，分别为，的中点，所以.又平面，平面，所以平面.故线段上的点到平面的距离都相等.又点在线段上，所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项④正确.故答案为：①④.【点睛】立体几何问题中与动点相关问题，可以从一下几点考虑：(1)先作辅助线，找出动点所在的线段或轨迹.(2)判断与动点相关的条件是否成立常需结合动点所在的线段或轨迹，利用线线、线面、面面位置关系求解，或线线、线面、面面位置关系的判定或性质求解，或建立空间直角坐标系利用向量法求解.13．②④⑤【详解】把四面体补形为平行六面体,由三组对棱分别相等可知此平行六面体为长方体,如图所示,只有长方体为正方体时①才正确,故①不正确.在长方体中,有△BAC≌△DCA.△ABC≌△DCB,△CBD≌△ADB.∴四面体ABCD每个面的面积都相等,故②正确.对于③,以∠BAC,∠CAD,∠BAD为例说明.∵△BAC≌△DCA,∴∠CAD=∠ACB.又∵△DAB≌△CBA,∴∠BAD=∠ABC.∴∠BAC+∠CAD+∠BAD=∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,故③不正确.对于④,连接四面体ABCD对棱中点的线段即是连接长方体对面中心的线段,显然相互垂直平分,故④正确.对于⑤,以AB、AC、AD为例进行说明.∵AD=BC,AB、AC、BC三边长可构成△ABC,∴AB、AC、AD可以作为一个三角形的三边长.同理可得从其他顶点出发的三条棱的长也可以作为一个三角形的三边长.故⑤正确.14．120【分析】如图，过点作，过点作，垂足分别为，连接，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，从而可求得体积【详解】解：如图，过点作，过点作，垂足分别为，连接，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，则由题意可得底面积为，棱柱的高为8，所以体积为，故答案为：12015．【分析】先根据正方体的棱长为2，确定其内切球的半径为1，体积为，再根据球体积与牟合方盖体积之比等于，可求得“牟合方盖”的体积.【详解】若正方体的棱长为2，则其内切球的半径为1，体积为.根据球体积与牟合方盖体积之比等于知，“牟合方盖”的体积等于.故答案为：.16．【分析】直接根据棱锥的体积公式求解即可．【详解】解：由题意的该四棱锥的体积，故答案为：．17．【分析】由已知结合球的体积公式，求出球半径，可得圆柱的底面半径和高，代入圆柱体积公式，即可求解.【详解】设球的半径为，依题意得，所求的圆柱底面半径为，高为，则体积为.故答案为：.18．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】(1)要证平面平面，只需证明平面，利用线面垂直的判定可证平面.(2)根据题意，作出点，再利用相似三角形求的值(3)从四点共面角度出发，利用平面向量基本定理确定点的位置，再求截面面积