2021北京重点校高一（下）期末数学试卷试题汇编：三角函数的图象与性质

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三角函数的图像与性质一、单选题1．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）将函数（）的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（）A．为偶函数B．C．当时，在上有3个零点D．若在上单调递减，则的最大值为92．（2021·北京·101中学高一期末）下列区间中，函数单调递增的区间是（）A． B． C． D．3．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）函数是（）A．奇函数，且最小值为B．奇函数，且最大值为C．偶函数，且最小值为D．偶函数，且最大值为4．（2021·北京师大附中高一期末）如图，函数在一个周期内的图象与轴交于点.是其图象上的最高点，是其图象与轴的交点，则与的夹角的余弦值为（）A．0 B． C． D．15．（2021·北京师大附中高一期末）函数的图象（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于点对称二、双空题6．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）用“五点法”作函数的图象时，列表如下：则_________，_________.三、填空题7．（2021·北京·101中学高一期末）已知函数，给出下列五个结论：①；②若，则；③在区间上单调递增；④函数的周期为；⑤的图像关于点成中心对称．其中正确的结论的序号是________．8．（2021·北京·101中学高一期末）已知不等式对于恒成立，则实数m的取值范围是________．9．（2021·北京·人大附中高一期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，C.且满足.且△ABC为锐角三角形，则△ABC面积的取值范围为________.四、解答题10．（2021·北京·101中学高一期末）对，定义．（1）求的最小值；（2），有恒成立，求A的最大值；（3）求证：不存在，且m＞n，使得为恒定常数．11．（2021·北京·人大附中高一期末）设A，B，C为△ABC的三个内角，向量，且.（1）求角A的大小；（2）求sinB＋sinC的取值范围.12．（2021·北京·首都师范大学附属中学高一期末）已知函数.（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在上的最大值和最小值.13．（2021·北京师大附中高一期末）已知函数.（1）求；（2）求的最小正周期：（3）求在区间上的最大值.

参考答案1．D【分析】由平移变换和两角和的正弦公式化简得出函数的解析式，利用定义得出奇偶性，进而判断A选项；将代入函数的解析式，即可判断B选项；由余弦函数的性质判断C，D.【详解】由题意得，由，得出则对A项，函数的定义域为，，则函数为偶函数对B项，对C项，当时，，由得：，可以取，即当时，在上有3个零点对D项，由，解得则函数在区间上单调递减因为在上单调递减，所以，解得即的最大值为故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换求解析式，余弦函数性质的应用，在求余弦型函数的单调性时，利用整体法将余弦型函数的单调性化归为余弦函数的单调性来处理问题，属于中档题.2．A【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．3．D【分析】根据奇偶性判断得函数为偶函数，再将函数变形为，进而得函数有最大值.【详解】解：因为，所以函数为偶函数，，所以由余弦函数及二次函数的性质知，最大值为.故选：D4．C【分析】先根据图象过点，求出的值，再利用五点法求出，，三点的坐标，最后套用向量夹角的坐标公式求值.【详解】把点代入函数，有，又，所以.所以.由图知，点，，分别为五点法中的第1，2，3点.有，，，所以，，.，，记与的夹角为，则.故选：C.5．C【分析】利用正弦函数的对称轴方程和对称中心求解.【详解】函数的对称轴方程为，，.令得，；令，得.可排除A，B.函数的对称中心横坐标为，，.令得，，故选项C正确.故选：C.6．【分析】根据表格中的数据求出、、的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得出和的值.【详解】由表格中的数据可知，，函数的最小正周期为，，，当时，则，解得，则，，.故答案为：；.【点睛】本题考查三角函数值的计算，解题的关键就是利用表格中的数据求出函数解析式，考查计算能力，属于中等题.7．⑤【分析】利用诱导公式进行化简求值，可判①定错误；利用的周期判定②错误；将函数的单调性转化为分段函数的单调性，可判定③错误；利用周期的定义判定④错误；利用判定⑤正确.【详解】①：，故①错误；②：若，则，因为的最小正周期为，故②不正确；③：在区间上，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，故③错误；④：，故④错误；⑤因为，，所以，即的图象关于点成中心对称，故⑤正确．故答案为：⑤．8．【分析】令，化简，求出的范围，结合不等式恒成立得到，再求出的范围即可．【详解】解：令则．因为，所以，所以，由于不等式对于恒成立可得．所以的取值范围为．故答案为：．9．【分析】由余弦定理求出角，，要求△ABC面积的取值范围，只需求出边取值范围，根据正弦定理，将用角表示，结合范围，即可求解.【详解】,，由正弦定理得，所以，又△ABC为锐角三角形，,得所以，.故答案为：.10．（1）；（2）；（3）见解析.【分析】（1）依题意可得，进而可得结果；（2）依题意可得对，，所以，故可得结果；（3）用反证法证明，假设存在，且，使得恒为常数，由，，结合奇偶分析得出矛盾.【详解】（1）依题意得所以当时，有最小值；（2）因为对，，所以，即的最大值为；（3）用反证法：假设存在，且，使得恒为常数，，则，，由可得，即是偶数.而，由于，所以必有.若，则，不合题意；若，则，故.而由，可知：是偶数，是奇数，由可得，显然矛盾.综上，不存在符合题意的，.【点睛】关键点点睛：第（3）问用反证法证明的关键点是：由，，结合奇偶分析得出矛盾.11．（1）；（2）【分析】（1）根据已知结合向量模长坐标公式，得到二次关系，由正弦定理化角为边，最后用余弦定理求出，即可求解；（2）由（1）将角用角表示，再运用三角恒等变换转化为正弦型三角函数，利用角范围，即可得出结论.【详解】（1），所以，，由正弦定理得，所以，又，所以；（1），因为，所以，所以的范围是.12．（1）最小正周期；单调递增区间为；（2），.【分析】利用二倍角和辅助角公式化简；（1）由正弦型函数周期性可得最小正周期；利用整体对应法可解不等式求得单调递增区间；（2）利用的范围可求得的范围，利用整体对应的方式可得的范围，由此可得最值.【详解】；（1）由题意得