13.3 三角形的内角与外角【七大考点+七大题型】 解析版

.3三角形的内角与外角【考点归纳】【知识归纳】知识点一、三角形的内角和定理及推论（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．知识点二．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．知识点三．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．【题型归纳】题型一：三角形内角和定理的应用【例1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，点是内一点，，，，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和等于是解题的关键．根据三角形的内角和定理，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，∵，∴．故选：A．【跟踪训练1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，分别是的高和角平分线，且，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题主要考查了高线以及角平分线的定义，根据高线的定义得出，，根据角平分线的定义得出的度数，进而得出答案．【详解】解：∵是的高，且，，∴，，∴，∵是的角平分线，∴，∴．故选：A．【跟踪训练2】（24-25八年级上·吉林·期末）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．先根据直角三角板的性质得出的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：如图所示，由一副三角板的性质可知：，∴，∴，故选：B．题型二：与平行线有关的三角形内角和问题【例2】（2024·广东汕头·三模）如图，直线，平分．若，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求解．【详解】解：如图，∵平分．，∴，∵，∴，∵，∴，∴；故选B．【跟踪训练1】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，直线，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和求出结论即可．【详解】解：如下图：，，，，，，故选：D．【跟踪训练2】（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键【详解】解：∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴，故选：．题型三：与角平分线有关的三角形内角和问题【例3】（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，为的平分线，为边上的高，与交于点，．求的度数．【答案】【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余．根据三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，然后根据直角三角形两锐角互余可得的度数，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵为的平分线，∴，∵为边上的高，即，∴，∴．【跟踪训练1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，于点D，平分交于点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，首先由垂直定义得到，利用角平分线求出，根据三角形内角和定理求得，即可根据，得出的度数．【详解】解：∵，∴，∵，平分，∴∴∵，∴．故选C．【跟踪训练2】（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知，如图在中，，平分交于F，交于E，．求的度数．【答案】【分析】本题考查三角形的高线、角平分线，三角形内角和定理，由垂直可得，由角平分线可得，由三角形内角和定理计算出，再由对顶角相等即可得出．【详解】解：∵，∴，∵平分，，∴，∴，∴．题型四：三角形折叠中的角度问题【例4】（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠的性质可知，，求出，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：由折叠的性质可知，，∴．在中，，，∴．故选：．【跟踪训练1】（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理求出，进而即可求解．【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处，∴，，∵，∴，∵，∴，∴,故选：C．【跟踪训练2】（24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键．先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答．【详解】解：∵，∴，由折叠得：，，∵，∴，∴，∴，故选：A．题型五：直角三角形的两个锐角互余问题【例5】（24-25八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数．【答案】【分析】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，利用三角形的内角和定理求解角的度数是正确解答本题的关键．本题根据垂直的知识得到，再根据三角形的内角和定理与等量变换得到，然后即可求解；【详解】解：∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．【跟踪训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在中，，E为射线上一点，且于点F．(1)若，则______．(2)探索与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)．理由见解析【分析】（1）在中利用内角和定理易得：进而得到的度数，再在和中利用内角和定理解答即可．（2）根据（1）猜测出与的数量关系即可；在中利用三角形内角和定理结合，得出，再在中利用内角和定理结合对顶角相等得到，再在中利用内角和定理解答即可．【详解】（1）解：故答案为：（2）解：．理由如下：，，，．，．【跟踪训练2】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，AE平分，AD是BC边上的高．(1)在图中将图形补充完整；(2)当，时，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据高的定义补充图形；（2）根据角平分线性质求出，最后结合直角三角形的性质求出．【详解】（1）（1）解：如图所示：（2）解：∵在中，平分，，是边上的高，，，．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质，主要围绕三角形中的角平分线和高展开，通过三角形内角和定理以及角之间的关系来求解角度，熟练运用三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质来建立角之间的关系是解题的关键．题型六：三角形的外角问题【例6】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，求与的度数．【答案】，【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性质；能熟练利用三角形的内角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性质进行求解是解题的关键．由三角形内角和定理，直角三角形的特征得，再由即可求得；由三角形的外角性质得，即可求解．【详解】解：，，，，，，由三角形的外角性质得，．【跟踪训练1】（25-26八年级上·四川绵阳）如图，中，D为边上一点，过D作，交于E；F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且．(1)求证：平分；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形的外角定理是解题的关键．（1）由平行线的性质得到，，，等量代换可得，即可得解；（2）根据三角形的内角和求出，即得，根据对顶角相等得到，再根据三角形的外角定理求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，，∵，∴，∴平分；（2）解：∵，，，∴，∵，∴，∵，∴．【跟踪训练2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，平分的外角，且交的延长线于点E．(1)若，，求的度数；(2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键．（1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论；（2）证明，结合，，可得结论．【详解】（1）解：由条件可知，∵平分，∴，∴；（2）解：，理由如下：由条件可知，又∵，∴，即．题型七：与三角形有关的角综合问题【例7】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点，的外角平分线与的延长线交于点．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）已知，平分，平分，根据角平分线的定义得到的度数，根据内错角相等，两直线平行，即可判断本问结论；（2）根据两直线平行，内错角相等，可得，即可得到的度数，从而求出的度数；已知、分别为、的角平分线，根据角平分线的定义可得的度数，结合三角形内角和即可得到的度数．【详解】（1）证明：∵，平分，平分，∴，∴，∴，∴．∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴．∵、分别为、的角平分线，∴，∴．【跟踪训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，．(1)已知，．①；②若，则；(2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系．【答案】(1)①；②(2)，理由见解析【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等面积法的应用；（1）①先求解，再结合垂直的定义和三角形的内角和定理可得答案；②设，则，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案；（2）由等面积法可得，结合可得答案；【详解】（1）解：①∵，，∴；∵，，∴，∴；②∵，设，则，∵，∴，∵，∴，解得：，∴，，∵，∴；（2）解：，理由见解析；∵，，，∴，，，∵，∴,∴.【跟踪训练2】（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）【问题背景】如图，直线与直线分别交于点平分交于点．【问题探究】（1）求证：；（2）如图1，点、分别是射线、上的点，连接，若，判断与的位置关系，并说明理由；【问题拓展】（3）如图2，点是射线上一点，连接，的平分线与的平分线交于点，连接．若，求的度数．【答案】（1）见解析（2），理由见详解（3）【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，列一元一次方程解决几何问题等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质．（1）利用角平分线的性质得出，根据等量代换得出，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；（2）结合（1）的结论得出，利用三角形内角和得出，再利用角平分线的性质和邻补角的定义得出，利用内错角相等，两直线平行，即可得出结论；（3）根据角平分线的性质得出角之间的关系，假设，则，，利用三角形内角和列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵平分，∴，又∵，∴，∴；（2），理由如下：由（1）得，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴；（3）∵平分，平分，∴，，由（1）得，∴，，假设，则，，∴，∵，∴，解得，，∴，∴．【高分演练】一、单选题1．（2025·陕西汉中·二模）如图，已知，点是边延长线上一点，，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，先求三角形内角和定理求出的度数，再由平行线的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故选：B．2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，垂足为D．下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据直角三角形两锐角互余写出各角的关系，然后选择答案即可．【详解】解：∵，，，∴A、B、D选项结论不一定正确，C选项正确．故选：C．3．（2025·陕西咸阳·一模）如图，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查平行线性质、三角形外角性质等知识，熟记平行线性质及三角形外角性质，数形结合是解决问题的关键．由，根据两直线平行内错角相等得到，在中，是的一个外角，代值求解即可得到答案，【详解】解：，，在中，是的一个外角，则，∵，，故选：C．4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图．等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了三角形外角、三角形内角和的知识，熟练掌握三角形的外角的性质与内角和定理是解题的关键．延长，交于点G，根据三角形外角的性质，得，，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案．【详解】如图，延长，交于点G，∴，∵，∴，故选：A．5．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）将一副三角板按照如图方式摆放，点，，共线，，则的度数为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得出，即可求出的度数，再根据平角的定义即可求出的度数．【详解】解：是的一个外角，，，，，，故选：B．6．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．利用三角形内角和以及角平分线的定义求解即可．【详解】解：在中，，，两锐角的角平分线、交于点F，，，，，故选：A．7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于点F，，交于点E，于点G．则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了三角形角平分线的定义、平行线的性质、垂直的性质以及三角形内角和与外角的性质，解题的关键是利用相关性质推导各角之间的数量关系，进而判断选项的正确性．根据角平分线定义得到角的倍数关系，结合平行线性质（同位角、同旁内角）、垂直性质（直角）及三角形内角和与外角定理，逐一分析各选项中角的关系是否成立．【详解】解：已知在中，，故．∵平分，平分，，．选项∵，∴（两直线平行，同位角相等）．∵平分，∴，∴，A正确．选项∵，，∴（一条直线垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条），即．∴．在中，，∴．∵平分，∴，∴，B正确．选项C：在中，．∵与是对顶角，∴，C错误．选项是的外角，则．，，D正确．故选：C．8．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（

）A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④【答案】B【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．①根据，和，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③证明，根据①的结论，证明结论错误；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．【详解】解：①，，，，，，故①正确；②平分，，又，，，，故②正确；③∵，∴，，，由①得，，，；故③错误；④，又，，，，∴，，，故④正确；综上分析可知，①②④正确，故B正确．故选：B．二、填空题9．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）如图，已知，则．【答案】/80度【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质定理．延长交于点，利用三角形外角的性质定理进行求解即可．【详解】解：如图，延长交于点，，,故答案为：．10．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，将一角折叠，若，则．【答案】/144度【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解．【详解】解：由翻折的性质可知，，，，，，，，，，，，故答案为：．11．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，，，那么的度数是【答案】【分析】此题主要考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义．注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．由，，根据三角形外角的性质，可求得的度数，又由角平分线的定义，求得的度数，又由三角形外角的性质，求得的度数．【详解】解：，，，是的平分线，，，故答案为：．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，若，，，，则．【答案】/40度【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，掌握知识点是解题的关键．根据，求出，继而求出，再由，得到，即可解答．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．故答案为：．13．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，延长至，过点作的垂线，垂足为，且，则．【答案】/25度【分析】由三角形外角的性质得到，即可求出的度数．本题考查角的计算，关键是掌握三角形的外角的性质．【详解】解：，，，，，，，．故答案为：．14．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，．【答案】【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，再由三角形内角和定理可得答案．【详解】解：∵，∴，故答案为：．15．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知、交于点，，，，则的度数是．【答案】【分析】本题主要考查了三角形的内角和的应用、对顶角的性质，根据三角形内角和定理求出，是解题的关键．根据，，得出，根据对顶角相等，得出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可．【详解】解：，，，，，故答案为：．16．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，分别是延长线上的点，连接与交于点．下列结论：①；②；③若，则；④若，则，其中所有正确结论的序号为．【答案】①③④【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质定理，解题的关键是熟练掌握以上性质定理．利用平行线的判定和性质定理，及三角形外角的性质定理，逐项进行判断即可．【详解】解：①∵，∴，该选项正确，符合题意；②根据已知条件无法得出，该选项错误，不符合题意；③∵，∴，又∵，∴，该选项正确，符合题意；④∵，，∴，∴，该选项正确，符合题意；故答案为：①③④．三、解答题17．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，D为延长线上一点，E为上一点，连接交于点F，若，求证：是直角三角形．【答案】见解析【分析】本题考查三角形的内角和定理，互余关系，结合等量代换，得到，进而求出，进而推出，即可得出结果．【详解】证明：∵，∴．又∵，∴，∴，∴，即是直角三角形．18．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，于D平分与交于点F，求．【答案】【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，解题的关键是先根据三角形内角和求出角的度数，再利用角平分线得到平分角的度数，结合高线的垂直关系，通过三角形外角性质求出目标角度．根据三角形内角和定理求出的度数；由角平分线的性质得到的度数；结合得出的度数；再利用三角形外角等于不相邻两个内角之和，求出的度数．【详解】解：∵，而，∴，∵平分，∴，∵于D，∴，∴．故答案为：．19．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一副三角尺摆放在中，点在上，点在上．(1)与平行吗？请说明理由；(2)若为上一点，连接，，且，，求的度数．【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】（）证明即可求证；（）由得，，即得，再根据三角形外角性质解答即可求解；本题考查了邻补角的性质，平行线的判定，三角形的外角性质，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】（1）解：，理由如下：由题意得，，∴，∴，∴；（2）解：，∴，，，，，．20．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”．(1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由；(2)请你利用结论，解决下列问题：①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则_________度．②如图③，平分，平分，若的度数是__